可分离变量法求通解

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分方程· 14 分钟阅读

1. 识别可分离变量的一阶微分方程★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

可分离微分方程

$\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$

一阶微分方程的一种，其右侧可以完全分解为仅关于 $x$ 的函数与仅关于 $y$ 的函数的乘积。

应用变量分离法前，你必须先确认微分方程是可分离的。很多微分方程乍看不可分离，但可以通过指数法则（例如 $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ ）或因式分解改写为要求的乘积形式。AP微积分AB仅要求你用该方法求解可分离微分方程。

📐 例题

判断下列微分方程是否可分离：(a) $\frac{d y}{d x} = 2 x y + e^{x - y}$ (b) $\frac{d y}{d x} = x^{2} + 3 y^{2}$

1
根据定义：右侧必须能分解为仅含 $x$ 的函数和仅含 $y$ 的函数的乘积。
2
用指数法则化简(a)： $2 x y + e^{x - y} = 2 x y + e^{x} e^{- y}$ 。这是两个乘积的和，不是符合可分离形式的单个乘积，因此(a)不可分离。
3
检查(b)： $x^{2} + 3 y^{2}$ 是和的形式，无法分解为要求的乘积形式。任何分解尝试都会留下同时含两个变量的交叉项，因此(b)也不可分离。
4
结论：两个方程都不可分离。

Exam tip:

如果你的微分方程是项的和，检查能否从整个和中提取出公有的 $x$ 项或 $y$ 项，得到乘积形式。如果不能，在AP微积分AB的考察范围内该方程不可分离。

2. 变量分离法分步讲解★★★☆☆⏱ 4 min

通解是满足一阶微分方程的所有函数构成的集合，包含一个任意常数来表示所有可能的解。确认微分方程可分离后，遵循以下统一流程：

从可分离形式 $\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$ 出发
分离变量：将所有含 $y$ 的项（包括 $d y$ ）移到左侧，所有含 $x$ 的项（包括 $d x$ ）移到右侧，得到 $\frac{1}{h ( y )} d y = g (x) d x$ （该式在 $h (y) \neq = 0$ 时成立）
两边积分：左侧对 $y$ 积分，右侧对 $x$ 积分。仅添加一个任意常数（两个常数的差仍是一个常数）
如果可以，显式解出 $y$ 得到最终通解；如果无法得到显式形式，则保留隐式解

📐 例题

求 $\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y^{3}$ 的通解，其中 $y \neq = 0$

1
确认可分离性： $\frac{d y}{d x} = (4 x^{2}) (y^{3})$ ，符合可分离形式，其中 $g (x) = 4 x^{2}$ ， $h (y) = y^{3}$ 。
2
分离变量：两边除以 $y^{3}$ ，乘以 $d x$ 得：
3
$y^{-3} dy = 4x^2 dx$
4
两边积分：
5
$\int y^{-3} dy = \int 4x^2 dx$
6
计算积分：左侧结果为 $\frac{y ^{- 2}}{- 2} = - \frac{1}{2 y ^{2}}$ 。右侧结果为 $4 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C = \frac{4 x ^{3}}{3} + C$ 。
7
解出 $y$ 得到显式通解。两边乘以 $- 2$ ： $\frac{1}{y ^{2}} = - \frac{8 x ^{3}}{3} - 2 C$ 。将任意常数重命名为 $K = - 2 C$ ，改写化简得：
8
$y^2 = \frac{3}{C' - 8x^3}$
9
其中 $C^{'} = 3 K$ 仍是任意常数，这就是最终的通解。

Exam tip:

你可以随时重命名任意常数来化简最终解——只要能明确看出它是任意常数，AP阅卷老师接受任何合法的常数命名。

3. 化简含对数的通解★★★☆☆⏱ 3 min

可分离微分方程中非常常见的一种情况（尤其是指数增长/衰减和冷却问题）会在 $y$ 侧得到对数原函数，需要特殊化简。对于常见形式 $\frac{d y}{d x} = k y$ ，分离变量后得到 $\frac{1}{y} d y = k d x$ ，积分后得到 $ln ∣ y ∣ = k x + C$ 。

要得到显式解，两边取指数： $∣ y ∣ = e^{k x + C} = e^{C} e^{k x}$ 。我们将绝对值和常数 $e^{C}$ 吸收到新的任意常数 $K = \pm e^{C}$ 中，得到 $y = K e^{k x}$ 。允许 $K = 0$ 还可以包含我们之前除以 $y$ 时漏掉的平凡解 $y = 0$ 。

📐 例题

求 $\frac{d y}{d t} = \frac{y ( 2 - t )}{5}$ 的通解，其中 $y > 0$

1
确认可分离性： $\frac{d y}{d t} = y \cdot \frac{2 - t}{5}$ ，符合可分离形式。
2
分离变量：两边除以 $y$ ，乘以 $d t$ 得：
3
$\frac{1}{y} dy = \frac{2 - t}{5} dt$
4
两边积分：
5
$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2 - t}{5} dt$
6
计算积分：左侧为 $ln ∣ y ∣$ 。右侧化简为 $\frac{4 t - t ^{2}}{10} + C$ 。
7
因为 $y > 0$ ，我们可以去掉绝对值。两边取指数解出 $y$ ：
8
$y = e^{\frac{4 t - t ^{2}}{10} + C} = e^{C} e^{\frac{4 t - t ^{2}}{10}}$ 。将常数重命名为 $K = e^{C}$ ，因此最终通解为：
9
$y = K e^{\frac{4t - t^2}{10}}$

Exam tip:

当你得到 $ln ∣ y ∣ = f (x) + C$ 时，记住 $e^{f (x) + C} = e^{C} e^{f (x)}$ ，而不是 $e^{f (x)} + C$ ——这是AP考试中学生最常犯的错误之一。

4. 概念检测★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

对于微分方程 $\frac{d y}{d t} = \frac{t e ^{t}}{2 y}$ （ $y > 0$ ），下列哪一项是它的通解？
- A) $y^{2} = 2 e^{t} (t - 1) + C$
- B) $y^{2} = t e^{t} - e^{t} + C$
- C) $y^{2} = 2 t e^{t} + C$
- D) $y^{2} = e^{t} (t - 1) + C$
显示答案
D —
求解过程：分离变量得 $2 y d y = t e^{t} d t$ 。左侧积分得 $y^{2}$ ，右侧用分部积分得 $e^{t} (t - 1) + C$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

求解 $ln y = x + C$ 时，取指数得到 $y = e^{x} + C$ 。

原因:

学生错误应用指数法则，忘记指数相加对应底数相乘，不是相加。

正确做法:

始终将 $e^{f (x) + C}$ 化简为 $e^{C} e^{f (x)}$ ，因此常数是前面的乘积因子，而不是相加项。

错误做法:

在积分后的方程两边都加积分常数，并且在最终通解中保留两个独立常数。

原因:

学生被教导每个不定积分都要加常数，因此他们两边各加一个，不进行合并。

正确做法:

将两个常数合并为一个任意常数，因为两个常数的差仍是一个常数。

错误做法:

分离变量后，对左侧含 $y$ 的项关于 $x$ 积分。

原因:

学生分离变量后混淆微分，忘记哪个变量对应哪个积分。

正确做法:

始终将 $d y$ 和 $y$ 项放在一起，因此含 $y$ 项的一侧对 $y$ 积分，含 $x$ 项的一侧对 $x$ 积分。

错误做法:

尝试对 $\frac{d y}{d x} = g (x) + h (y)$ 分离变量，写成 $\frac{1}{h ( y )} d y = g (x) d x$ 。

原因:

学生混淆加法和乘法，错误地尝试分离不可分离微分方程。

正确做法:

尝试分离前始终确认右侧是 $x$ 的函数和 $y$ 的函数的乘积；如果是和的形式，在AP微积分AB考察范围内它是不可分离的。

错误做法:

忘记 $\int \frac{1}{y} d y = ln ∣ y ∣$ 中的绝对值，导致只得到正解。

原因:

学生把原函数记成 $ln y$ ，省略了绝对值。

正确做法:

始终写出绝对值，然后在取指数时将符号吸收到任意常数中，这样就能包含所有解。

6. 速查表

类别	公式	说明
可分离微分方程定义	$\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$	右侧必须是仅含 $x$ 和仅含 $y$ 函数的乘积
分离变量步骤	$\frac{1}{h ( y )} d y = g (x) d x$	$h (y) \neq = 0$ 时成立；若 $h (c) = 0$ 则存在常数解
积分步骤	$\int \frac{1}{h ( y )} d y = \int g (x) d x + C$	一阶微分方程仅需要一个任意常数
$1/ y$ 的原函数	$\int \frac{1}{y} d y = ln ∣ y ∣ + C$	始终包含绝对值；符号被吸收到常数中
对数解的指数化	$ln ∣ y ∣ = f (x) + C ⟹ y = K e^{f (x)}$	$K = \pm e^{C}$ 是任意常数； $K = 0$ 包含平凡解
隐式通解	$F (x, y) = C$	无法显式解出 $y$ 时可接受
显式通解	$y = f (x, C)$	可解时AP考试更偏好该形式

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
识别可分离微分方程
2022 · FRQ
求可分离微分方程的通解

下一步

掌握变量分离法求通解是AP微积分AB第7单元后续核心主题的必要前提。如果不能先正确求出通解，你就无法求解积分常数，得到符合给定初值条件的特解，而这是考试中所有实际应用微分方程问题的要求。本主题也是AP考试中所有微分方程应用问题的基础，包括指数增长衰减、牛顿冷却定律，以及需要通过积分从变化率求原函数的速率问题。接下来你将应用在这里学到的技巧求解初值问题和常考的上下文应用问题，这类问题在考试的两个部分都会出现。