带微分方程的指数模型

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分方程· 14 分钟阅读

1. 核心概念：指数模型★★☆☆☆⏱ 3 min

指数模型是AP微积分AB考试中最常见的应用型微分方程，占总分的2-3%，在选择题和自由问答题中均会出现。这类模型描述变化率与当前量成正比的量，符合从人口增长到放射性衰变等诸多现实世界现象。

📘 定义

指数微分方程模型

一种动态模型，其中某一量的变化率与该量的当前值成正比，可写为一阶可分离变量微分方程。

例:

细菌增长、放射性衰变、药物浓度、温度变化

2. 核心比例增长与衰减模型★★☆☆☆⏱ 4 min

任意指数模型的基本关系都对应一个简单微分方程，其中 $k$ 是比例常数：

\frac{dy}{dt} = ky

如果 $k > 0$ ，则该量呈指数增长；如果 $k < 0$ ，则该量呈指数衰减。我们通过分离变量法求解，得到初始条件 $y (0) = y_{0}$ 下的通解：

🔬 推导

目标:

推导初始条件 $\frac{d y}{d t} = k y$ 下 $y (0) = y_{0}$ 的通解

1
分离变量
$\frac{1}{y} dy = k dt$
2
两边积分
$\ln|y| = kt + C$
3
取指数消去对数
$|y| = e^{kt+C} = e^C e^{kt}$
4
化简，令 $A = \pm e^{C}$ 以考虑绝对值
$y = A e^{kt}$
5
应用初始条件 $y (0) = y_{0}$
$y_0 = A e^0 \implies A = y_0$

结果:

基本指数模型的最终解为：

y(t) = y_0 e^{kt}

📐 例题

某细菌培养物的增长速率与当前细菌数量成正比。 $t = 0$ 小时时有200个细菌， $t = 3$ 小时时有480个细菌。写出时间 $t$ 时细菌数量 $y (t)$ 的显式公式。

1
将初始条件代入通解
$y(t) = y_0 e^{kt}, \quad y_0 = 200 \implies y(t) = 200 e^{kt}$
2
代入已知点 $t = 3, y = 480$
$480 = 200 e^{3k} \implies 2.4 = e^{3k}$
3
求解 $k$
$\ln(2.4) = 3k \implies k = \frac{\ln(2.4)}{3} \approx 0.2918$
4
写出最终公式
$y(t) = 200 e^{\left(\frac{\ln 2.4}{3}\right)t}$

3. 倍增时间与半衰期★★☆☆☆⏱ 3 min

倍增时间（用于增长）和半衰期（用于衰减）是特殊情况，可以让你无需第二次测量就能直接求出 $k$ ，或者计算达到特定量所需的时间。

对于具有倍增时间 $T_{double}$ （初始量翻倍所需时间）的指数增长：

T_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{k}, \quad k = \frac{\ln 2}{T_{\text{double}}}

对于具有半衰期 $T_{half}$ （初始量减少一半所需时间）的指数衰减：

T_{\text{half}} = -\frac{\ln 2}{k}, \quad k = -\frac{\ln 2}{T_{\text{half}}}

由于衰减时 $k$ 为负，因此 $T_{half}$ 始终为正，符合其物理意义。

📐 例题

放射性碳-14的半衰期为5730年。一块化石碎片剩余的碳-14为原始量的12%，该化石的年龄是多少？结果保留到最近的100年。

1
根据给定半衰期计算 $k$
$k = -\frac{\ln 2}{5730} \approx -1.21 \times 10^{-4}$
2
建立剩余质量为12%的方程
$0.12 y_0 = y_0 e^{kt} \implies 0.12 = e^{kt}$
3
取自然对数并求解 $t$
$\ln(0.12) = kt \implies t = \frac{\ln(0.12)}{k}$
4
代入 $k$ 计算
$t = 5730 \cdot \frac{\ln(0.12)}{-\ln 2} \approx 17500$

4. 牛顿冷却定律★★★☆☆⏱ 4 min

牛顿冷却定律是改进后的指数模型，描述物体相对于恒定环境温度的温度变化。物体温度的变化率与物体温度和环境温度的差值成正比。

\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)

其中 $T (t)$ 是物体在时间 $t$ 的温度， $T_{s}$ 是恒定环境温度，且 $k$ 始终小于0。通过分离变量法求解得到初始温度 $T (0) = T_{0}$ 下的通解：

T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}

该模型适用于冷却（热物体放在冷房间）和升温（冷物体放在暖房间）两种情况：随着时间推移，物体温度始终会趋近于环境温度。

📐 例题

一杯95°C的热茶放在20°C的房间里，5分钟后茶的温度为70°C，10分钟后茶的温度是多少？

1
将已知值代入通解
$T(t) = 20 + (95 - 20)e^{kt} = 20 + 75 e^{kt}$
2
利用已知点求出 $e^{5 k}$
$70 = 20 + 75 e^{5k} \implies \frac{2}{3} = e^{5k}$
3
不对 $k$ 进行近似，直接化简 $e^{10 k}$
$e^{10k} = (e^{5k})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$
4
计算 $T (10)$
$T(10) = 20 + 75\left(\frac{4}{9}\right) \approx 53.3^\circ\text{C}$

5. 常见陷阱

错误做法:

将牛顿冷却定律写为 $\frac{d T}{d t} = k T$ ，而非 $\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$

原因:

将牛顿冷却定律与基本指数增长/衰减模型混淆；变化率取决于温度差，而非绝对温度

正确做法:

解温度问题时，在写出 $\frac{d T}{d t}$ 后立即加上 $(T - T_{s})$ 项

错误做法:

半衰期问题误用倍增时间公式 $k = \frac{l n 2}{T}$ ，导致衰减问题中得到正的 $k$

原因:

混淆了增长和衰减的公式，忘记检查 $k$ 的符号

正确做法:

任何衰减问题计算出 $k$ 后，确认其为负数；如果得到正数，添加负号即可

错误做法:

牛顿冷却定律通解中遗漏 $+ T_{s}$ 项，写为 $T (t) = (T_{0} - T_{s}) e^{k t}$

原因:

积分后忘记完全分离出 $T$ ，将恒定环境温度项留在了错误的一侧

正确做法:

积分化简后，应用初始条件前务必完全分离出 $T$

错误做法:

当 $y_{0} = 0$ 时约去 $y_{0}$ ，导致模型无定义

原因:

忘记指数模型假设初始量非零；初始量为零是平凡的特殊情况

正确做法:

如果初始量为零，那么该量始终为零，所以解写为 $y (t) = 0$

错误做法:

积分得到 $ln ∣ y ∣$ 后设 $A = e^{C}$ （仅为正数），导致 $y$ 的符号错误

原因:

忘记 $ln ∣ y ∣$ 中的绝对值要求允许 $A$ 为负数，以匹配初始量的符号

正确做法:

用初始条件解出 $A$ 后，确认 $A$ 的符号与初始量的符号一致

6. 速查表

类别	公式	说明
核心指数微分方程	$\frac{d y}{d t} = k y$	变化率与当前量成正比； $k > 0$ 为增长， $k < 0$ 为衰减
核心通解	$y (t) = y_{0} e^{k t}$	$y_{0} = y (0)$ 是 $t = 0$ 时的初始量
倍增时间（增长）	$T_{double} = \frac{l n 2}{k}, k = \frac{l n 2}{T _{double}}$	仅适用于正 $k$ （指数增长）
半衰期（衰减）	$T_{half} = - \frac{l n 2}{k}, k = - \frac{l n 2}{T _{half}}$	仅适用于负 $k$ （指数衰减）； $T_{half}$ 始终为正
牛顿冷却定律微分方程	$\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$	$T_{s}$ =恒定环境温度； $k$ 始终为负
牛顿冷却定律通解	$T (t) = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{k t}$	$T_{0}$ = $t = 0$ 时物体的初始温度
求解 $k$	$k = \frac{l n ( y _{1} / y _{0} )}{t _{1}}$	任意指数模型中已知 $y (t_{1}) = y_{1}$ 时使用该式

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
半衰期衰减计算
2022 · FRQ
牛顿冷却定律问题
2021 · MCQ
指数增长模型求解

下一步

指数模型是AP微积分AB中最基础的应用型微分方程，它为你学习第7单元的下一个核心主题做好准备：逻辑斯蒂微分方程模型，该模型在人口增长中加入了环境容纳量，以反映资源有限的情况。如果不掌握如何将文字描述的变化率转化为微分方程、用分离变量法求解、并结合上下文解释结果，你就无法正确建立和求解逻辑斯蒂模型，而逻辑斯蒂模型经常出现在考试的自由问答题部分。除了第7单元，指数模型还与积分应用和反常积分相关，是微积分在动态系统的所有现实应用中的核心工具。