# 带微分方程的指数模型

> AP 微积分 AB · 第7单元：微分方程
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-exponential-models-with-differential-equations/

本指南讲解由微分方程推导得到的指数模型，包括核心比例增长/衰减、倍增时间、半衰期和牛顿冷却定律，这些内容均为AP微积分AB考试的高频考点。

**先修:** [可分离变量微分方程的分离变量法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-separable-differential-equations/); 指数函数和对数函数的导数与原函数法则; 对微分方程应用初始条件

## 学习目标

- 将比例变化的文字描述转化为微分方程
- 用分离变量法求解指数增长/衰减模型
- 计算指数模型的倍增时间和半衰期
- 将牛顿冷却定律应用于温度问题

## 核心概念：指数模型

指数模型是AP微积分AB考试中最常见的应用型微分方程，占总分的2-3%，在选择题和自由问答题中均会出现。这类模型描述变化率与当前量成正比的量，符合从人口增长到放射性衰变等诸多现实世界现象。

**指数微分方程模型** — 一种动态模型，其中某一量的变化率与该量的当前值成正比，可写为一阶可分离变量微分方程。

*例:* 细菌增长、放射性衰变、药物浓度、温度变化

## 核心比例增长与衰减模型

任意指数模型的基本关系都对应一个简单微分方程，其中$k$是比例常数：

$$\frac{dy}{dt} = ky$$

如果$k>0$，则该量呈指数增长；如果$k<0$，则该量呈指数衰减。我们通过分离变量法求解，得到初始条件$y(0)=y_0$下的通解：

**推导:** 推导初始条件$\frac{dy}{dt} = ky$下$y(0)=y_0$的通解

1. 分离变量

   $$\frac{1}{y} dy = k dt$$
2. 两边积分

   $$\ln|y| = kt + C$$
3. 取指数消去对数

   $$|y| = e^{kt+C} = e^C e^{kt}$$
4. 化简，令$A = \pm e^C$以考虑绝对值

   $$y = A e^{kt}$$
5. 应用初始条件$y(0)=y_0$

   $$y_0 = A e^0 \implies A = y_0$$

*结论:* 基本指数模型的最终解为：

$$y(t) = y_0 e^{kt}$$

**例题:** 某细菌培养物的增长速率与当前细菌数量成正比。$t=0$小时时有200个细菌，$t=3$小时时有480个细菌。写出时间$t$时细菌数量$y(t)$的显式公式。

1. 将初始条件代入通解

   $$y(t) = y_0 e^{kt}, \quad y_0 = 200 \implies y(t) = 200 e^{kt}$$
2. 代入已知点$t=3, y=480$

   $$480 = 200 e^{3k} \implies 2.4 = e^{3k}$$
3. 求解$k$

   $$\ln(2.4) = 3k \implies k = \frac{\ln(2.4)}{3} \approx 0.2918$$
4. 写出最终公式

   $$y(t) = 200 e^{\left(\frac{\ln 2.4}{3}\right)t}$$

> **tip**
>
> 求解后务必检查$k$的符号：增长要求$k$为正，衰减要求$k$为负。这个步骤可以避免考试中80%的常见符号错误。

## 倍增时间与半衰期

倍增时间（用于增长）和半衰期（用于衰减）是特殊情况，可以让你无需第二次测量就能直接求出$k$，或者计算达到特定量所需的时间。

对于具有倍增时间$T_{\text{double}}$（初始量翻倍所需时间）的指数增长：

$$T_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{k}, \quad k = \frac{\ln 2}{T_{\text{double}}}$$

对于具有半衰期$T_{\text{half}}$（初始量减少一半所需时间）的指数衰减：

$$T_{\text{half}} = -\frac{\ln 2}{k}, \quad k = -\frac{\ln 2}{T_{\text{half}}}$$

由于衰减时$k$为负，因此$T_{\text{half}}$始终为正，符合其物理意义。

**例题:** 放射性碳-14的半衰期为5730年。一块化石碎片剩余的碳-14为原始量的12%，该化石的年龄是多少？结果保留到最近的100年。

1. 根据给定半衰期计算$k$

   $$k = -\frac{\ln 2}{5730} \approx -1.21 \times 10^{-4}$$
2. 建立剩余质量为12%的方程

   $$0.12 y_0 = y_0 e^{kt} \implies 0.12 = e^{kt}$$
3. 取自然对数并求解$t$

   $$\ln(0.12) = kt \implies t = \frac{\ln(0.12)}{k}$$
4. 代入$k$计算

   $$t = 5730 \cdot \frac{\ln(0.12)}{-\ln 2} \approx 17500$$

> **tip**
>
> 如果题目要求精确形式，将答案保留自然对数形式。只有题目明确要求数值结果时才进行近似。

## 牛顿冷却定律

牛顿冷却定律是改进后的指数模型，描述物体相对于恒定环境温度的温度变化。物体温度的变化率与物体温度和环境温度的差值成正比。

$$\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$$

其中$T(t)$是物体在时间$t$的温度，$T_s$是恒定环境温度，且$k$始终小于0。通过分离变量法求解得到初始温度$T(0)=T_0$下的通解：

$$T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}$$

该模型适用于冷却（热物体放在冷房间）和升温（冷物体放在暖房间）两种情况：随着时间推移，物体温度始终会趋近于环境温度。

**例题:** 一杯95°C的热茶放在20°C的房间里，5分钟后茶的温度为70°C，10分钟后茶的温度是多少？

1. 将已知值代入通解

   $$T(t) = 20 + (95 - 20)e^{kt} = 20 + 75 e^{kt}$$
2. 利用已知点求出$e^{5k}$

   $$70 = 20 + 75 e^{5k} \implies \frac{2}{3} = e^{5k}$$
3. 不对$k$进行近似，直接化简$e^{10k}$

   $$e^{10k} = (e^{5k})^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$
4. 计算$T(10)$

   $$T(10) = 20 + 75\left(\frac{4}{9}\right) \approx 53.3^\circ\text{C}$$

> **tip**
>
> 将中间结果保留精确形式，避免四舍五入误差导致你在自由问答题中失分。

## 常见错误

- **错误做法:** 将牛顿冷却定律写为$\frac{dT}{dt} = kT$，而非$\frac{dT}{dt} = k(T-T_s)$
  - 原因: 将牛顿冷却定律与基本指数增长/衰减模型混淆；变化率取决于温度差，而非绝对温度
  - 正确做法: 解温度问题时，在写出$\frac{dT}{dt}$后立即加上$(T-T_s)$项
- **错误做法:** 半衰期问题误用倍增时间公式$k = \frac{\ln 2}{T}$，导致衰减问题中得到正的$k$
  - 原因: 混淆了增长和衰减的公式，忘记检查$k$的符号
  - 正确做法: 任何衰减问题计算出$k$后，确认其为负数；如果得到正数，添加负号即可
- **错误做法:** 牛顿冷却定律通解中遗漏$+T_s$项，写为$T(t) = (T_0 - T_s)e^{kt}$
  - 原因: 积分后忘记完全分离出$T$，将恒定环境温度项留在了错误的一侧
  - 正确做法: 积分化简后，应用初始条件前务必完全分离出$T$
- **错误做法:** 当$y_0 = 0$时约去$y_0$，导致模型无定义
  - 原因: 忘记指数模型假设初始量非零；初始量为零是平凡的特殊情况
  - 正确做法: 如果初始量为零，那么该量始终为零，所以解写为$y(t) = 0$
- **错误做法:** 积分得到$\ln|y|$后设$A = e^C$（仅为正数），导致$y$的符号错误
  - 原因: 忘记$\ln|y|$中的绝对值要求允许$A$为负数，以匹配初始量的符号
  - 正确做法: 用初始条件解出$A$后，确认$A$的符号与初始量的符号一致

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 核心指数微分方程 | $\frac{dy}{dt} = ky$ | 变化率与当前量成正比；$k>0$为增长，$k<0$为衰减 |
| 核心通解 | $y(t) = y_0 e^{kt}$ | $y_0 = y(0)$是$t=0$时的初始量 |
| 倍增时间（增长） | $T_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{k}, \quad k = \frac{\ln 2}{T_{\text{double}}}$ | 仅适用于正$k$（指数增长） |
| 半衰期（衰减） | $T_{\text{half}} = -\frac{\ln 2}{k}, \quad k = -\frac{\ln 2}{T_{\text{half}}}$ | 仅适用于负$k$（指数衰减）；$T_{\text{half}}$始终为正 |
| 牛顿冷却定律微分方程 | $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$ | $T_s$=恒定环境温度；$k$始终为负 |
| 牛顿冷却定律通解 | $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}$ | $T_0$=$t=0$时物体的初始温度 |
| 求解$k$ | $k = \frac{\ln(y_1/y_0)}{t_1}$ | 任意指数模型中已知$y(t_1) = y_1$时使用该式 |

## 下一步

指数模型是AP微积分AB中最基础的应用型微分方程，它为你学习第7单元的下一个核心主题做好准备：逻辑斯蒂微分方程模型，该模型在人口增长中加入了环境容纳量，以反映资源有限的情况。如果不掌握如何将文字描述的变化率转化为微分方程、用分离变量法求解、并结合上下文解释结果，你就无法正确建立和求解逻辑斯蒂模型，而逻辑斯蒂模型经常出现在考试的自由问答题部分。除了第7单元，指数模型还与积分应用和反常积分相关，是微积分在动态系统的所有现实应用中的核心工具。

- [积分应用概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-overview/)
- [区间上函数的平均值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-average-value-of-a-function/)
- [通过积分求位置、速度与加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-position-velocity-acceleration-via-integration/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-exponential-models-with-differential-equations/