黎曼和、求和记号与定积分记号

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分与变化的累积· 14 分钟阅读

1. 求和记号与核心性质★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

求和（西格玛）记号

\sum_{i=k}^{m} a_i

用于书写一系列项之和的紧凑简写记法，其中 $i$ 是求和指标， $k$ 是下限， $m$ 是上限， $a_{i}$ 是序列中的第 $i$ 项。

常数倍法则：对任意不依赖 $i$ 的常数 $c$ ，有 $\sum_{i = 1}^{n} c a_{i} = c \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
和法则： $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$
常数求和： $\sum_{i = 1}^{n} c = n c$
常用幂和公式： $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ , $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

这些性质可以让你把复杂的和分解为可求解的简单部分，这在处理 $n$ 趋近于无穷的情况时是必须的，因为此时不可能逐项相加。

📐 例题

将 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{n} ((1 + \frac{2 i}{n})^{2} - 1)$ 化简为不含西格玛记号的表达式。

1
展开和内的平方项：
$\left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2 - 1 = 1 + \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2} - 1 = \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2}$
2
利用常数倍法则将常数因子 $\frac{2}{n}$ 提出西格玛：
$\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2} \right)$
3
拆分和式，并提出所有剩余的常数（不含 $i$ 的项）：
$\frac{2}{n} \left( \frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i^2 \right)$
4
代入幂和公式并化简：
$\frac{2}{n} \left( \frac{4}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) = \frac{4(n+1)}{n} + \frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}$
5
这就是不含西格玛记号的完全化简后的表达式。

Exam tip:

如果题目要求你计算西格玛表达式的极限，你永远不需要手动累加从 $i = 1$ 到 $n$ 的每一项。一定要先利用求和性质整理常数，再代入幂和公式。

2. 用黎曼和近似计算净面积★★☆☆☆⏱ 4 min

黎曼和用于近似计算连续函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上与x轴之间的净面积。构造等宽子区间黎曼和的步骤：将 $[a, b]$ 拆分为 $n$ 个子区间，在每个子区间中选取一个采样点，然后计算每个矩形的面积并求和。

📘 定义

黎曼和

\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x

区间 $[a, b]$ 上净面积的近似，其中 $Δ x = \frac{b - a}{n}$ 是每个子区间的宽度， $x_{i}^{*}$ 是第 $i$ 个子区间的采样点。

左黎曼和： $x_{i}^{*}$ 是每个子区间的左端点
右黎曼和： $x_{i}^{*}$ 是每个子区间的右端点
中点黎曼和： $x_{i}^{*}$ 是每个子区间的中点

一个核心性质：黎曼和计算的是净面积，等于函数在x轴上方的面积减去x轴下方的面积。 $f (x_{i}^{*}) < 0$ 的矩形会对总和贡献负值。

📐 例题

用 $n = 2$ 个等宽子区间的右黎曼和近似计算 $f (x) = x^{3} - 2 x$ 在 $[0, 4]$ 上的净面积。

1
计算每个子区间的宽度：
$\Delta x = \frac{4 - 0}{2} = 2, \quad \text{subintervals: } [0, 2], [2, 4]$
2
右黎曼和的采样点是每个子区间的右端点： $x_{1}^{*} = 2$ , $x_{2}^{*} = 4$
3
在每个采样点计算 $f (x)$ 的值：
$f(2) = 2^3 - 2(2) = 4, \quad f(4) = 4^3 - 2(4) = 56$
4
计算总和：
$\text{Right Riemann Sum} = 4(2) + 56(2) = 120$

Exam tip:

当题目给出 $f (x)$ 的数值表（这是AP考试的常见题型），先标记出所有子区间端点再选取采样点，避免混淆左右端点。

3. 作为黎曼和极限的定积分记号★★★☆☆⏱ 3 min

要得到 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的精确净面积，我们取 $n \to \infty$ 时黎曼和的极限，此时 $Δ x \to 0$ 。这个极限就被定义为 $f (x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分：

\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

在这个记号中： $\int$ 是积分符号（来源于单词"sum"/和）， $a$ 是积分下限， $b$ 是积分上限， $f (x)$ 是被积函数， $d x$ 来源于 $Δ x$ ，代表每个子区间的无穷小宽度。AP考试中这里最常考的能力是将黎曼和的极限转换为定积分，遵循三个步骤：(1) 识别出 $Δ x = \frac{c}{n}$ ，因此 $b - a = c$ ；(2) 匹配 $x_{i}^{*} = a + i Δ x$ 得到积分下限 $a$ ；(3) 计算 $b = a + c$ ，写出 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

📐 例题

写出与 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (3 + \frac{4 i}{n})^{3} \cdot \frac{4}{n}$ 等价的定积分。

1
识别 $Δ x$ ：乘在 $1/ n$ 外的项就是 $Δ x$ ，因此 $Δ x = \frac{4}{n}$ ，即 $b - a = 4$
2
匹配 $x_{i}^{*} = 3 + \frac{4 i}{n} = a + i Δ x$ ，因此积分下限 $a = 3$
3
计算积分上限： $b = a + (b - a) = 3 + 4 = 7$
4
被积函数 $f (x) = x^{3}$ ，因此定积分为：
$\int_{3}^{7} x^3 dx$

✓ 快速检测

下列哪个定积分与 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 1 + (1 + \frac{2 i}{n}) \cdot \frac{2}{n}$ 等价？

- A) $\int_{1}^{2} 1 + x d x$
- B) $\int_{0}^{2} 1 + x d x$
- C) $\int_{1}^{3} 1 + x d x$
- D) $\int_{1}^{3} 1 + (1 + x) d x$
显示答案
2 —
正确： $Δ x = 2/ n$ 所以 $b - a = 2$ , $a = 1$ , $b = 3$ , 被积函数为 $1 + x$ 。

Exam tip:

不要仅仅因为和式从 $i = 1$ 开始就假设积分下限是0。很多AP陷阱题会使用非零下限，考察你匹配 $x_{i}^{*}$ 和 $a + i Δ x$ 的能力。

4. AP风格完整练习题★★★☆☆⏱ 3 min

📐 例题

设 $f (x) = cos (x)$ 定义在区间 $[0, π]$ 上。(a) 用 $n = 4$ 个等宽子区间计算 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的左黎曼和，结果保留三位小数。(b) (a)的结果相比 $f (x)$ 从 $0$ 到 $π$ 的实际定积分是高估还是低估？证明你的结论。(c) 将 $n \to \infty$ 时 $[0, π]$ 上右黎曼和的极限写为定积分记号。

1
(a)问：计算子区间宽度：
$\Delta x = \frac{\pi - 0}{4} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854$
2
子区间端点为 $0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, π$ ，左采样点是每个子区间的左端点。
3
在每个采样点计算 $f$ 的值并求和：
$(1 + 0.7071 + 0 - 0.7071)\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$
4
(b)问： $f (x) = cos (x)$ 在 $[0, π]$ 上是递减的，因为对 $0 < x < π$ 有 $f^{'} (x) = - sin (x) < 0$ 。对于递减函数，左端点是每个子区间上的最高点，因此所有左矩形都延伸到曲线上方，说明左黎曼和是高估。
5
(c)问：根据定义， $n \to \infty$ 时右黎曼和的极限就是定积分：
$\int_{0}^{\pi} \cos(x) dx$

📐 例题

一家面包店记录了8小时工作日（ $0 \leq t \leq 8$ 小时）内的曲奇生产速率 $r (t) = - 0.1 t^{2} + 0.6 t + 2$ ，单位为百块/小时。使用 $n = 4$ 个等宽子区间的中点黎曼和近似计算一天内生产的曲奇总数，答案需要包含单位。

1
计算每个子区间的宽度：
$\Delta t = \frac{8 - 0}{4} = 2 \text{ 小时}$
2
子区间为 $[0, 2], [2, 4], [4, 6], [6, 8]$ ，因此中点为 $t = 1, 3, 5, 7$ 。
3
在每个中点计算 $r (t)$ ： $r (1) = 2.5$ , $r (3) = 2.9$ , $r (5) = 2.5$ , $r (7) = 1.3$ ，单位均为百块/小时。
4
计算总和：
$(2.5 + 2.9 + 2.5 + 1.3)(2) = 18.4 \text{ 百块曲奇}$
5
转换为总曲奇数： $18.4 \times 100 = 1840$ 块曲奇。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{2 i}{n})^{2} \cdot \frac{1}{n}$ 转换为 $\int_{1}^{3} x^{2} d x$ ，声称因为 $x_{i}^{*} = 1 + 2 i / n$ 所以 $b - a = 2$

原因:

混淆了 $x_{i}^{*}$ 中 $i / n$ 的系数和 $Δ x$ ；函数外与 $1/ n$ 相乘的项才是 $Δ x$

正确做法:

求解 $a$ 之前，一定要先提出含 $1/ n$ 的因子得到 $Δ x = c / n$ ，从而得到 $b - a = c$

错误做法:

对于递增函数，声称左黎曼和会高估面积

原因:

错误记忆了高估/低估的结论，没有根据函数形状推导

正确做法:

快速画出函数在区间上的图像，观察左/右矩形是延伸在曲线上方还是下方，就能得到正确的高估/低估结论

错误做法:

计算 $[0, 6]$ 上 $n = 3$ 的中点黎曼和时，使用采样点 $x = 1, 2, 3$

原因:

忘记子区间是 $[0, 2], [2, 4], [4, 6]$ ，因此中点是 $1, 3, 5$ ，不是从1开始的连续整数

正确做法:

列出所有子区间端点后，先计算每个区间两个端点的平均值得到中点，再计算 $f$ 的值

错误做法:

将含求和指标 $i$ 的项提出西格玛，例如 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{3 i}{n} = \frac{3 i}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1$

原因:

混淆了依赖 $i$ 的项（每一项都不同）和不依赖 $i$ 的常数

正确做法:

只把不含求和指标 $i$ 的项提出西格玛；所有含 $i$ 的项都留在和式内

错误做法:

当题目要求求函数在 $[a, b]$ 上（函数全为负）的总几何面积时，直接写出计算得到的负黎曼和值

原因:

忘记黎曼和计算的是净面积，不是总几何面积

正确做法:

如果题目要求x轴下方函数的总面积，给黎曼和结果加负号得到正的总面积

6. 速查表

类别	公式	说明
常数求和	$\sum_{i = 1}^{n} c = n c$	$c$ 是不依赖 $i$ 的常数
常数倍法则	$\sum_{i = 1}^{n} c a_{i} = c \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$	仅将不含 $i$ 的常数提出和式
等子区间宽度	$Δ x = \frac{b - a}{n}$	对应 $[a, b]$ 上 $n$ 个等宽子区间
一般黎曼和	$\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$	近似净面积； $f < 0$ 时贡献负值
作为极限的定积分	$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$	$f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的精确净面积
左黎曼和采样点	$x_{i}^{*} = a + (i - 1) Δ x$	第一个采样点永远是下限 $a$
右黎曼和采样点	$x_{i}^{*} = a + i Δ x$	最后一个采样点永远是上限 $b$
中点黎曼和采样点	$x_{i}^{*} = \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2}$	通常比左/右黎曼和更准确

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
将黎曼和转换为积分
2023 · FRQ
实际情境中的黎曼和近似计算
2021 · MCQ
识别正确的黎曼和构造

下一步

本主题是所有积分内容的基础，因此掌握它对AP微积分AB课程后续内容的学习至关重要。接下来你将学习微积分基本定理，它将黎曼和、定积分记号与原函数联系起来，让你不需要计算无穷和的极限就能得到定积分的精确值。如果不理解黎曼和如何转化为定积分，你将很难理解积分在实际情境中的含义，并且会在面积、累积变化等应用问题的积分构造中频繁出错。本主题也是所有后续积分内容的基础，从换元法到积分应用都依赖它。