定积分的性质

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 定积分的基本代数性质★★☆☆☆⏱ 4 min

这四条核心规则直接来源于定积分的黎曼和定义，它们可以让你结合已知积分值求出未知积分，这是AP考试中非常常见的题型。

积分限反转：交换上下限会改变积分的符号
零长度积分：当上下限相等时，积分值为0
常数倍法则：函数乘以常数，积分结果也乘以同一个常数
和差法则：和/差的积分等于积分的和/差

\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx

\int_a^a f(x)dx = 0

\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx

\int_a^b \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx

📐 例题

已知 $\int_{2}^{5} f (x) d x = 4$ ， $\int_{2}^{5} g (x) d x = - 3$ ，求 $\int_{5}^{2} [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ 的值。

1
应用积分限反转法则改变积分顺序
$\int_5^2 \left[2f(x) - 3g(x)\right]dx = -\int_2^5 \left[2f(x) - 3g(x)\right]dx$
2
用差法则拆分积分
$- \left( \int_2^5 2f(x) dx - \int_2^5 3g(x) dx \right)$
3
用常数倍法则提出常数
$- \left( 2\int_2^5 f(x) dx - 3\int_2^5 g(x) dx \right)$
4
代入已知值化简
$- \left( 2(4) - 3(-3) \right) = - (8 + 9) = -17$

Exam tip:

提出常数或拆分积分前，一定要先反转积分限并添加负号，避免符号错误。

2. 积分对区间的可加性★★☆☆☆⏱ 3 min

可加性允许你把大区间上的积分拆分为相邻小区间上积分的和，这对分段函数，以及根据已知相关值求未知积分尤其有用。

该法则对任意三个实数 $a, b, c$ 都成立，无论 $c$ 是否在 $a$ 和 $b$ 之间：

\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx

直观理解： $a$ 到 $b$ 的总净面积等于 $a$ 到 $c$ 的净面积加上 $c$ 到 $b$ 的净面积。如果 $c$ 在区间 $[a, b]$ 之外，积分限反转法则会自动调整符号，保证等式成立。

📐 例题

已知 $\int_{1}^{6} f (x) d x = 12$ ， $\int_{4}^{6} f (x) d x = 7$ ，求 $\int_{1}^{4} 3 f (x) d x$ 的值。

1
利用可加性在 $x = 4$ 处拆分完整区间的积分
$\int_1^6 f(x)dx = \int_1^4 f(x)dx + \int_4^6 f(x)dx$
2
整理等式求解未知积分
$\int_1^4 f(x)dx = \int_1^6 f(x)dx - \int_4^6 f(x)dx$
3
代入已知值
$\int_1^4 f(x)dx = 12 - 7 = 5$
4
应用常数倍法则得到最终结果
$\int_1^4 3f(x)dx = 3(5) = 15$

Exam tip:

如果你已知完整区间的积分，需要求子区间的积分，一定要整理可加性公式来求解未知量，不要乱猜积分限的顺序。

3. 奇偶函数的对称性性质★★★☆☆⏱ 3 min

对称性是AP考试中非常有用的省时工具，它让你无需计算原函数就能求出对称区间上的积分。回顾一下：偶函数满足 $f (- x) = f (x)$ （关于y轴对称），奇函数满足 $f (- x) = - f (x)$ （关于原点对称）。

对于对称区间 $[- a, a]$ 上的积分，规则如下：

奇函数：正半轴x轴上方的净面积会抵消负半轴的净面积，因此 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$
偶函数：y轴左侧的面积等于y轴右侧的面积，因此 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$

\int_{-a}^a f(x) dx = 0 \quad (\text{for odd } f)

\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx \quad (\text{for even } f)

📐 例题

计算 $\int_{- 3}^{3} (5 x^{7} - 4 x^{3} + 2 x) d x$ 。

1
代入 $- x$ 验证被积函数是否为奇函数
$f(-x) = 5(-x)^7 - 4(-x)^3 + 2(-x) = -5x^7 + 4x^3 - 2x = -f(x)$
2
确认积分区间 $[- 3, 3]$ 关于原点对称，满足对称性法则的使用条件
3
应用奇函数对称性法则得到最终结果
$\int_{-3}^3 \left(5x^7 - 4x^3 + 2x\right) dx = 0$

Exam tip:

开始积分前一定要先检查对称性——如果区间是对称的，你通常可以立刻省去所有计算。

4. 比较与界值性质★★★☆☆⏱ 3 min

当你无法计算积分的精确值时，比较性质可以帮助你估计积分的取值范围，这是AP考试选择题中非常常见的题型。

核心比较法则指出：如果对所有 $x \in [a, b]$ 都有 $f (x) \leq g (x)$ ，那么：

\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx

一个非常有用的特例是界值性质：它利用 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值来估计积分范围。如果 $m = min f (x)$ ， $M = max f (x)$ 在 $[a, b]$ 上，那么：

m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)

直观理解： $f (x)$ 下方的净面积介于两个矩形面积之间，两个矩形的宽都是区间长度 $b - a$ ，高分别是 $m$ 和 $M$ 。

📐 例题

求 $I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x ^{2} + 1} d x$ 的最紧整数范围。

1
分析 $f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的单调性：对所有 $x > 0$ 导数都为负，因此 $f (x)$ 是减函数
$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} < 0$
2
求最小值和最大值：对于减函数，最大值在左端点，最小值在右端点
$M = f(1) = \frac{1}{2} = 0.5, \quad m = f(3) = \frac{1}{10} = 0.1$
3
计算区间宽度
$b - a = 3 - 1 = 2$
4
应用界值性质得到整数范围
$0.1(2) \leq I \leq 0.5(2) \implies 0.2 \leq I \leq 1, \text{ so } 0 < I < 1$

Exam tip:

如果函数在区间上是单调的，那么最小值和最大值一定在端点处，因此你不需要找临界点。

5. AP风格概念检查★★★☆☆⏱ 1 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

已知 $\int_{0}^{4} f (x) d x = 8$ ， $\int_{1}^{4} f (x) d x = 3$ ， $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 5$ ，求 $\int_{0}^{1} 2 f (x) d x + \int_{0}^{2} 3 g (x) d x$ 的值。
- 15
- 5
- -5
- -15
显示答案
-5 —
用可加性求出 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 8 - 3 = 5$ ，然后应用常数倍法则： $2 (5) + 3 (- 5) = 10 - 15 = - 5$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

当利用可加性，已知 $\int_{a}^{c}$ 和 $\int_{b}^{c}$ 求 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 时，错误地写成 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$

原因:

当 $c$ 在 $a$ 和 $b$ 之间时，学生搞错第二个积分的积分限顺序。

正确做法:

永远按从下限到上限标记区间： $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ ，因此要正确整理等式，交换积分限后一定要添加负号。

错误做法:

对奇函数套用偶函数对称性法则，例如错误地写成 $\int_{- 2}^{2} x^{3} d x = 2 \int_{0}^{2} x^{3} d x = 4$

原因:

学生混淆了奇偶函数的对称性法则，或者应用法则前没有确认函数类型。

正确做法:

应用任何对称性法则前，一定要将 $- x$ 代入被积函数，确认它是偶函数还是奇函数。

错误做法:

计算 $\int_{b}^{a} k f (x) d x$ 时，写成 $k \int_{b}^{a} f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ，忘记反转积分限带来的负号

原因:

学生先提出常数，忘记反转积分限会改变整个积分的符号。

正确做法:

提出常数或拆分积分前，一定要先反转积分限并添加负号。

错误做法:

对非对称区间上的积分应用奇函数对称性法则，例如因为 $x^{5}$ 是奇函数就声称 $\int_{- 2}^{4} x^{5} d x = 0$

原因:

学生记住了对称性法则，但忘记它只适用于关于原点对称的区间。

正确做法:

应用对称性前，确认下限是上限的相反数；如果不是，在0处拆分积分，只对对称部分使用对称性。

错误做法:

使用比较性质时，用 $∣ f (x) ∣$ 的最小值代替 $f (x)$ 的最小值，导致负被积函数的范围错误

原因:

学生混淆了净面积（定积分实际测量的量）和总面积。

正确做法:

应用界值法则前，一定要确认不等式 $m \leq f (x) \leq M$ 对区间内所有 $x$ 都成立，包括取负值的情况。

7. 速查表

类别	公式	说明
积分限反转	$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$	对任意可积 $f$ ，任意实数 $a, b$ 都成立
零长度积分	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$	恒成立，即使 $f$ 不连续也成立
常数倍法则	$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$	对任意常数 $k$ 都成立，无论正负
和差法则	$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$	可推广到任意多个项
区间可加性	$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$	对任意 $c$ 都成立，无论 $c$ 是否在 $[a, b]$ 内
奇函数对称性	$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$	仅适用于关于 $x = 0$ 对称的区间
偶函数对称性	$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$	仅适用于关于 $x = 0$ 对称的区间
比较性质	如果 $f (x) \leq g (x)$ 在 $[a, b]$ 上成立，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$	不等式必须对区间内所有 $x$ 都成立
积分界值法则	$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$	$m = min f (x)$ ， $M = max f (x)$ ，都在 $[a, b]$ 上

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
根据已知值求未知积分
2022 · FRQ
利用对称性简化积分

下一步

掌握定积分的性质是学习第6单元剩余内容和AP微积分AB所有核心主题的关键前提。接下来，你会将这些性质与微积分基本定理（FTC）结合使用，微积分基本定理是计算定积分的核心工具。即使你正确应用了FTC，这些性质中的符号和顺序错误也会导致结果错误。从长远来看，这些性质会用于求曲线间面积、建立情境和运动问题的累积模型、求解微分方程，这些内容在AP考试中都占很大分值。