# 定积分的性质

> AP 微积分 AB · 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-properties-of-definite-integrals/

本模块讲解AP微积分AB中定积分的核心性质，包括积分限反转、区间可加性、奇偶函数对称性和比较界值法则。这些规则可以简化积分计算，无需求出完整原函数即可解决问题。

**先修:** [定积分的黎曼和定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-definite-integral-riemann-sum/); 偶函数和奇函数的定义; 基础代数运算

## 学习目标

- 运用定积分的核心代数性质简化计算
- 利用区间可加性，根据已知值计算分段函数的积分和未知积分
- 运用对称性性质计算对称区间上奇偶函数的积分
- 利用比较性质估计未知积分的取值范围

## 定积分的基本代数性质

这四条核心规则直接来源于定积分的黎曼和定义，它们可以让你结合已知积分值求出未知积分，这是AP考试中非常常见的题型。

- 积分限反转：交换上下限会改变积分的符号
- 零长度积分：当上下限相等时，积分值为0
- 常数倍法则：函数乘以常数，积分结果也乘以同一个常数
- 和差法则：和/差的积分等于积分的和/差

$$\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx$$

$$\int_a^a f(x)dx = 0$$

$$\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$$

$$\int_a^b \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$$

> **info**
>
> 这些规则对所有可积函数都成立，不管函数是否连续，并且对任意实常数$k$（正数或负数）都适用。

**例题:** 已知$\int_2^5 f(x)dx = 4$，$\int_2^5 g(x)dx = -3$，求$\int_5^2 \left[2f(x) - 3g(x)\right]dx$的值。

1. 应用积分限反转法则改变积分顺序

   $$\int_5^2 \left[2f(x) - 3g(x)\right]dx = -\int_2^5 \left[2f(x) - 3g(x)\right]dx$$
2. 用差法则拆分积分

   $$- \left( \int_2^5 2f(x) dx - \int_2^5 3g(x) dx \right)$$
3. 用常数倍法则提出常数

   $$- \left( 2\int_2^5 f(x) dx - 3\int_2^5 g(x) dx \right)$$
4. 代入已知值化简

   $$- \left( 2(4) - 3(-3) \right) = - (8 + 9) = -17$$

> **考试提示:** 提出常数或拆分积分前，一定要先反转积分限并添加负号，避免符号错误。

## 积分对区间的可加性

可加性允许你把大区间上的积分拆分为相邻小区间上积分的和，这对分段函数，以及根据已知相关值求未知积分尤其有用。

该法则对任意三个实数$a, b, c$都成立，无论$c$是否在$a$和$b$之间：

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

直观理解：$a$到$b$的总净面积等于$a$到$c$的净面积加上$c$到$b$的净面积。如果$c$在区间$[a,b]$之外，积分限反转法则会自动调整符号，保证等式成立。

**例题:** 已知$\int_1^6 f(x)dx = 12$，$\int_4^6 f(x)dx = 7$，求$\int_1^4 3f(x)dx$的值。

1. 利用可加性在$x=4$处拆分完整区间的积分

   $$\int_1^6 f(x)dx = \int_1^4 f(x)dx + \int_4^6 f(x)dx$$
2. 整理等式求解未知积分

   $$\int_1^4 f(x)dx = \int_1^6 f(x)dx - \int_4^6 f(x)dx$$
3. 代入已知值

   $$\int_1^4 f(x)dx = 12 - 7 = 5$$
4. 应用常数倍法则得到最终结果

   $$\int_1^4 3f(x)dx = 3(5) = 15$$

> **考试提示:** 如果你已知完整区间的积分，需要求子区间的积分，一定要整理可加性公式来求解未知量，不要乱猜积分限的顺序。

## 奇偶函数的对称性性质

对称性是AP考试中非常有用的省时工具，它让你无需计算原函数就能求出对称区间上的积分。回顾一下：偶函数满足$f(-x)=f(x)$（关于y轴对称），奇函数满足$f(-x)=-f(x)$（关于原点对称）。

对于对称区间$[-a, a]$上的积分，规则如下：

- 奇函数：正半轴x轴上方的净面积会抵消负半轴的净面积，因此$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$
- 偶函数：y轴左侧的面积等于y轴右侧的面积，因此$\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$

$$\int_{-a}^a f(x) dx = 0 \quad (\text{for odd } f)$$

$$\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx \quad (\text{for even } f)$$

**例题:** 计算$\int_{-3}^3 \left(5x^7 - 4x^3 + 2x\right) dx$。

1. 代入$-x$验证被积函数是否为奇函数

   $$f(-x) = 5(-x)^7 - 4(-x)^3 + 2(-x) = -5x^7 + 4x^3 - 2x = -f(x)$$
2. 确认积分区间$[-3, 3]$关于原点对称，满足对称性法则的使用条件
3. 应用奇函数对称性法则得到最终结果

   $$\int_{-3}^3 \left(5x^7 - 4x^3 + 2x\right) dx = 0$$

> **考试提示:** 开始积分前一定要先检查对称性——如果区间是对称的，你通常可以立刻省去所有计算。

## 比较与界值性质

当你无法计算积分的精确值时，比较性质可以帮助你估计积分的取值范围，这是AP考试选择题中非常常见的题型。

核心比较法则指出：如果对所有$x \in [a,b]$都有$f(x) \leq g(x)$，那么：

$$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$$

一个非常有用的特例是界值性质：它利用$f(x)$在$[a,b]$上的最小值和最大值来估计积分范围。如果$m = \min f(x)$，$M = \max f(x)$在$[a,b]$上，那么：

$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$$

直观理解：$f(x)$下方的净面积介于两个矩形面积之间，两个矩形的宽都是区间长度$b-a$，高分别是$m$和$M$。

**例题:** 求$I = \int_1^3 \frac{1}{x^2 + 1} dx$的最紧整数范围。

1. 分析$f(x)$在$[1,3]$上的单调性：对所有$x>0$导数都为负，因此$f(x)$是减函数

   $$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} < 0$$
2. 求最小值和最大值：对于减函数，最大值在左端点，最小值在右端点

   $$M = f(1) = \frac{1}{2} = 0.5, \quad m = f(3) = \frac{1}{10} = 0.1$$
3. 计算区间宽度

   $$b - a = 3 - 1 = 2$$
4. 应用界值性质得到整数范围

   $$0.1(2) \leq I \leq 0.5(2) \implies 0.2 \leq I \leq 1, \text{ so } 0 < I < 1$$

> **考试提示:** 如果函数在区间上是单调的，那么最小值和最大值一定在端点处，因此你不需要找临界点。

## AP风格概念检查

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 已知$\int_0^4 f(x) dx = 8$，$\int_1^4 f(x) dx = 3$，$\int_0^2 g(x) dx = -5$，求$\int_0^1 2f(x) dx + \int_0^2 3g(x) dx$的值。

   - 15
   - 5
   - -5
   - -15

   *解析:* 用可加性求出$\int_0^1 f(x) dx = 8 - 3 = 5$，然后应用常数倍法则：$2(5) + 3(-5) = 10 - 15 = -5$。

## 常见错误

- **错误做法:** 当利用可加性，已知$\int_a^c$和$\int_b^c$求$\int_a^b f(x)dx$时，错误地写成$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$
  - 原因: 当$c$在$a$和$b$之间时，学生搞错第二个积分的积分限顺序。
  - 正确做法: 永远按从下限到上限标记区间：$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$，因此要正确整理等式，交换积分限后一定要添加负号。
- **错误做法:** 对奇函数套用偶函数对称性法则，例如错误地写成$\int_{-2}^2 x^3 dx = 2\int_0^2 x^3 dx = 4$
  - 原因: 学生混淆了奇偶函数的对称性法则，或者应用法则前没有确认函数类型。
  - 正确做法: 应用任何对称性法则前，一定要将$-x$代入被积函数，确认它是偶函数还是奇函数。
- **错误做法:** 计算$\int_b^a kf(x)dx$时，写成$k\int_b^a f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$，忘记反转积分限带来的负号
  - 原因: 学生先提出常数，忘记反转积分限会改变整个积分的符号。
  - 正确做法: 提出常数或拆分积分前，一定要先反转积分限并添加负号。
- **错误做法:** 对非对称区间上的积分应用奇函数对称性法则，例如因为$x^5$是奇函数就声称$\int_{-2}^4 x^5 dx = 0$
  - 原因: 学生记住了对称性法则，但忘记它只适用于关于原点对称的区间。
  - 正确做法: 应用对称性前，确认下限是上限的相反数；如果不是，在0处拆分积分，只对对称部分使用对称性。
- **错误做法:** 使用比较性质时，用$|f(x)|$的最小值代替$f(x)$的最小值，导致负被积函数的范围错误
  - 原因: 学生混淆了净面积（定积分实际测量的量）和总面积。
  - 正确做法: 应用界值法则前，一定要确认不等式$m \leq f(x) \leq M$对区间内所有$x$都成立，包括取负值的情况。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 积分限反转 | $\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx$ | 对任意可积$f$，任意实数$a,b$都成立 |
| 零长度积分 | $\int_a^a f(x)dx = 0$ | 恒成立，即使$f$不连续也成立 |
| 常数倍法则 | $\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ | 对任意常数$k$都成立，无论正负 |
| 和差法则 | $\int_a^b [f(x)\pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$ | 可推广到任意多个项 |
| 区间可加性 | $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ | 对任意$c$都成立，无论$c$是否在$[a,b]$内 |
| 奇函数对称性 | $\int_{-a}^a f(x)dx = 0$ | 仅适用于关于$x=0$对称的区间 |
| 偶函数对称性 | $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$ | 仅适用于关于$x=0$对称的区间 |
| 比较性质 | 如果$f(x)\leq g(x)$在$[a,b]$上成立，那么$\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$ | 不等式必须对区间内所有$x$都成立 |
| 积分界值法则 | $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$ | $m = \min f(x)$，$M = \max f(x)$，都在$[a,b]$上 |

## 下一步

掌握定积分的性质是学习第6单元剩余内容和AP微积分AB所有核心主题的关键前提。接下来，你会将这些性质与微积分基本定理（FTC）结合使用，微积分基本定理是计算定积分的核心工具。即使你正确应用了FTC，这些性质中的符号和顺序错误也会导致结果错误。从长远来看，这些性质会用于求曲线间面积、建立情境和运动问题的累积模型、求解微分方程，这些内容在AP考试中都占很大分值。

- [微积分基本定理与定积分（AP微积分AB）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-ftc-and-definite-integrals/)
- [原函数与不定积分（基本法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/)
- [换元积分法（u换元）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-integration-by-substitution/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-properties-of-definite-integrals/