单元总览
积分与变化的累积 单元总览
AP 微积分 AB· 5 分钟阅读 📊 占AP微积分AB考试总分的17-20%
1. 单元概览
我们首先将积分与求导的逆运算联系起来，介绍原函数和基本不定积分法则。接下来，我们建立积分是曲线下面积的直观认知，从使用黎曼和进行近似开始，再正式给出定积分的定义。
本单元的核心内容是微积分基本定理（FTC），它将求导与积分统一起来，并引入了描述到任意点为止总变化的累积函数。最后我们学习包括u换元法在内的核心积分技术，练习为不同被积函数选择正确方法。
本单元从基础定义逐步推进到应用技术，包含以下子主题：
AP 微积分 AB 原函数与不定积分（基本法则）
学习什么是原函数，并应用基本法则计算不定积分。
★★⏱ 10 min
AP 微积分 AB 使用黎曼和近似计算面积
使用左黎曼和、右黎曼和与中点黎曼和近似计算曲线下面积。
★★⏱ 8 min
AP 微积分 AB 探究变化的累积
将定积分与真实世界中随时间的总累积变化例子联系起来。
★★★⏱ 7 min
AP 微积分 AB 微积分基本定理与定积分
介绍用于计算定积分的微积分基本定理。
★★★⏱ 9 min
AP 微积分 AB 微积分基本定理与累积函数
探究由积分定义的累积函数及其导数。
★★★★⏱ 10 min
AP 微积分 AB 换元积分法（u换元）
掌握u换元法，这是积分复合函数最常用的基础技术。
★★★★⏱ 12 min
AP 微积分 AB 长除法与配方法积分
学习在积分前使用代数变形改写有理被积函数。
★★★★⏱ 8 min
AP 微积分 AB 解读累积函数的性质
分析累积函数的增减性和凹凸性。
★★★★⏱ 9 min
AP 微积分 AB 定积分的性质
使用积分性质简化计算，合并积分结果。
★★⏱ 7 min
AP 微积分 AB 黎曼和、求和符号与定积分符号
用求和符号正式定义黎曼和，介绍定积分符号。
★★★⏱ 10 min
AP 微积分 AB 选择求原函数的技术
练习为给定被积函数选择正确的积分策略。
★★★★⏱ 8 min
2. 常见陷阱
错误做法:
计算不定积分时忘记积分常数
原因:
这个常见错误会导致AP考试选择题和自由问答题都失分
正确做法:
每次计算不定积分，都一定要在结果末尾加上 。
错误做法:
混淆微积分基本定理的两种形式
原因:
混淆用于计算定积分的FTC和用于对累积函数求导的FTC会导致符号错误和导数错误
正确做法:
分别记忆两种形式，练习判断每个问题适用哪一种形式。
错误做法:
对不定积分做u换元后，忘记回代得到x的表达式
原因:
即使中间步骤正确，最终答案保留u的形式会导致整个解答错误
正确做法:
一定要反转u换元，将最终的原函数写为原变量的表达式。
3. 速查表
概念 / 法则 | 公式 / 核心陈述 |
|---|---|
积分幂法则 | |
积分的线性性质 | $ \ ext{af(x)} + bg(x)) dx = a \ (x)dx + b \ ext{g(x)}dx + C$ |
左黎曼和 | $L_n = sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x$ |
积分的可加性 | $ |
定积分符号性质 | $ |
微积分基本定理第一部分（计算定积分） | $ |
微积分基本定理第二部分（累积函数求导） | $ \frac{d}{dx} |
换元积分法则 | $ |
由变化率求总变化 | $ \text{Total change from } a \text{ to } b = |
$ \frac{1}{x}$ 的原函数 | $ |
下一步
准备好开始本单元的学习了吗？从第一个关于原函数和不定积分的子主题开始，构建你积分的基础知识。完成本单元所有子主题后，你将进入单元7：微分方程，在那里你会应用积分解决常见的微分方程问题。