# 积分与变化的累积 单元总览

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-overview/
> 占比: 占AP微积分AB考试总分的17-20%

本单元介绍积分，这是微积分的第二个核心运算，将其与求导以及区间内总累积变化的测量联系起来。掌握积分内容占AP考试的很大比重。

**先修:** [单元2：求导：定义与基本性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-overview/); [单元3：求导：复合、隐函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-overview/); [函数的极限与连续性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-limits-continuity-overview/)

## 学习目标

- 将积分定义为求导的逆运算，以及测量区间内总累积变化的工具
- 使用黎曼和和数值方法近似计算曲线下面积和累积变化
- 应用微积分基本定理的两种形式关联导数与积分
- 使用基本法则和核心积分技术计算定积分和不定积分
- 分析累积函数的图像和数值性质

## 单元概览

我们首先将积分与求导的逆运算联系起来，介绍原函数和基本不定积分法则。接下来，我们建立积分是曲线下面积的直观认知，从使用黎曼和进行近似开始，再正式给出定积分的定义。

本单元的核心内容是微积分基本定理（FTC），它将求导与积分统一起来，并引入了描述到任意点为止总变化的累积函数。最后我们学习包括u换元法在内的核心积分技术，练习为不同被积函数选择正确方法。

本单元从基础定义逐步推进到应用技术，包含以下子主题：
- [AP 微积分 AB 原函数与不定积分（基本法则）](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/) — 学习什么是原函数，并应用基本法则计算不定积分。
- [AP 微积分 AB 使用黎曼和近似计算面积](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-approximating-areas-with-riemann-sums/) — 使用左黎曼和、右黎曼和与中点黎曼和近似计算曲线下面积。
- [AP 微积分 AB 探究变化的累积](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-exploring-accumulations-of-change/) — 将定积分与真实世界中随时间的总累积变化例子联系起来。
- [AP 微积分 AB 微积分基本定理与定积分](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-ftc-and-definite-integrals/) — 介绍用于计算定积分的微积分基本定理。
- [AP 微积分 AB 微积分基本定理与累积函数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-fundamental-theorem-of-calculus-and/) — 探究由积分定义的累积函数及其导数。
- [AP 微积分 AB 换元积分法（u换元）](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-integration-by-substitution/) — 掌握u换元法，这是积分复合函数最常用的基础技术。
- [AP 微积分 AB 长除法与配方法积分](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-integration-with-long-division-and/) — 学习在积分前使用代数变形改写有理被积函数。
- [AP 微积分 AB 解读累积函数的性质](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-interpreting-behavior-of-accumulation-functions/) — 分析累积函数的增减性和凹凸性。
- [AP 微积分 AB 定积分的性质](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-properties-of-definite-integrals/) — 使用积分性质简化计算，合并积分结果。
- [AP 微积分 AB 黎曼和、求和符号与定积分符号](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-riemann-sums-summation-notation-definite/) — 用求和符号正式定义黎曼和，介绍定积分符号。
- [AP 微积分 AB 选择求原函数的技术](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u6-selecting-techniques-for-antidifferentiation/) — 练习为给定被积函数选择正确的积分策略。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算不定积分时忘记积分常数 $+C$
  - 原因: 这个常见错误会导致AP考试选择题和自由问答题都失分
  - 正确做法: 每次计算不定积分，都一定要在结果末尾加上 $+C$。
- **错误做法:** 混淆微积分基本定理的两种形式
  - 原因: 混淆用于计算定积分的FTC和用于对累积函数求导的FTC会导致符号错误和导数错误
  - 正确做法: 分别记忆两种形式，练习判断每个问题适用哪一种形式。
- **错误做法:** 对不定积分做u换元后，忘记回代得到x的表达式
  - 原因: 即使中间步骤正确，最终答案保留u的形式会导致整个解答错误
  - 正确做法: 一定要反转u换元，将最终的原函数写为原变量的表达式。

## 速查表

| 概念 / 法则 | 公式 / 核心陈述 |
| --- | --- |
| 积分幂法则 | $\\int x^n dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$ |
| 积分的线性性质 | $ \\\text{af(x)} + bg(x)) dx = a \\f(x)dx + b \\text{g(x)}dx + C$ |
| 左黎曼和 | $L_n =  sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x$ |
| 积分的可加性 | $ \ _a^c f(x)dx =  \ _a^b f(x)dx +  \ _b^c f(x)dx$ |
| 定积分符号性质 | $ \ _a^b f(x)dx = -  \ _b^a f(x)dx$ |
| 微积分基本定理第一部分（计算定积分） | $ \ _a^b f(x)dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)$ |
| 微积分基本定理第二部分（累积函数求导） | $ \frac{d}{dx}  \ _a^x f(t)dt = f(x)$ |
| 换元积分法则 | $ \  f(g(x))g'(x)dx =  \  f(u)du$ |
| 由变化率求总变化 | $ \text{Total change from } a \text{ to } b =  \ _a^b \text{(rate of change)} dt$ |
| $ \frac{1}{x}$ 的原函数 | $ \ \frac{1}{x} dx =  \ln\|x\| + C$ |

## 下一步

准备好开始本单元的学习了吗？从第一个关于原函数和不定积分的子主题开始，构建你积分的基础知识。完成本单元所有子主题后，你将进入单元7：微分方程，在那里你会应用积分解决常见的微分方程问题。

- [AP 微积分 AB 原函数与不定积分（基本法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/)
- [变化累积探究](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-exploring-accumulations-of-change/)
- [用黎曼和近似面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-approximating-areas-with-riemann-sums/)

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