多项式长除法与配方法积分

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB 课程与考试说明（CED）—— 积分与变化的积累· 14 分钟阅读

1. 利用长除法对假有理函数积分★★☆☆☆⏱ 4 min

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对于有理函数 $f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ ，若分子 $N (x)$ 的次数大于或等于分母 $D (x)$ 的次数，则称该函数为假有理函数。假有理函数无法直接用基本规则积分，因此我们需要用多项式长除法将其改写为可积分的形式。

\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}, \quad \deg(R(x)) < \deg(D(x))

其中 $Q (x)$ 是商多项式， $R (x)$ 是余式。根据积分的线性性，我们可以用你已经掌握的规则分别对每一项积分。

📐 例题

计算不定积分 $\int \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 4}{x + 1} d x$

1
检查次数：分子次数为3，分母次数为1。由于 $3 \geq 1$ ，被积函数是假有理函数，因此需要使用长除法。
2
将 $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ 除以 $x + 1$ ： $x^{3} \div x = x^{2}$ ，计算 $x^{2} (x + 1) = x^{3} + x^{2}$ ，相减得到 $- 3 x^{2} + 3 x$ 。接下来， $- 3 x^{2} \div x = - 3 x$ ，计算 $- 3 x (x + 1) = - 3 x^{2} - 3 x$ ，相减得到 $6 x - 4$ 。接下来， $6 x \div x = 6$ ，计算 $6 (x + 1) = 6 x + 6$ ，相减得到余式 $- 10$ 。结果为：
3
$\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x + 1} = x^2 - 3x + 6 - \frac{10}{x+1}$
4
根据积分的线性性拆分积分：
5
$\int \left(x^2 - 3x + 6 - \frac{10}{x+1}\right) dx = \int x^2 dx - 3\int x dx + 6\int 1 dx - 10\int \frac{1}{x+1} dx$
6
逐项积分得到最终原函数：
7
$\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 6x - 10\ln|x+1| + C$

2. 不可约二次式的配方法★★★☆☆⏱ 5 min

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当遇到分母为二次式的真有理函数时，首先计算判别式 $b^{2} - 4 a c$ 。若判别式为负，则该二次式不可约（无法在实数范围内因式分解），因此我们使用配方法将其改写为反正切原函数的形式。

将首项系数 $a$ 从前两项中提出： $a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$
在括号内加上再减去 $(\frac{b}{2 a})^{2}$ ： $a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2}] + c$
化简常数项： $a (x + h)^{2} + k$ ，其中 $h = \frac{b}{2 a}$ ， $k = c - \frac{b ^{2}}{4 a}$

\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C

📐 例题

计算不定积分 $\int \frac{x + 5}{x ^{2} + 4 x + 8} d x$

1
检查分母的判别式： $b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 (1) (8) = - 16 < 0$ ，因此该二次式不可约，需要进行配方。
2
对分母进行配方：
3
$x^2 + 4x + 8 = (x^2 + 4x + 4) + (8 - 4) = (x + 2)^2 + 2^2$
4
分母的导数是 $2 x + 4 = 2 (x + 2)$ ，因此将分子改写为 $x + 5 = (x + 2) + 3$ ，再拆分积分：
5
$\int \frac{(x+2) + 3}{(x+2)^2 + 4} dx = \int \frac{x+2}{(x+2)^2 + 4} dx + 3\int \frac{1}{(x+2)^2 + 4} dx$
6
用换元法积分第一项：该二次式恒正，因此可以去掉绝对值，得到 $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 4 x + 8) + C_{1}$ 。
7
用反正切积分公式积分第二项：
8
$3\int \frac{1}{w^2 + 2^2} dw = \frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) + C_2$
9
合并项得到最终原函数：
10
$\frac{1}{2}\ln(x^2 + 4x + 8) + \frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) + C$

3. 定积分的计算★★★☆☆⏱ 3 min

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AP考试中该主题的大多数题目都要求计算定积分，定积分计算需要结合上述代数预处理和微积分基本定理第二部分（FTC 2）： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ，其中 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意一个原函数。一定要确认被积函数在整个积分区间上连续。

📐 例题

计算定积分 $\int_{0}^{2} \frac{x ^{2} + 2 x + 2}{x + 1} d x$

1
检查次数：分子次数2 > 分母次数1，因此需要长除法。
2
做除法得到化简后的被积函数：
3
$\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} = x + 1 + \frac{1}{x+1}$
4
求原函数（计算定积分时可以忽略积分常数）： $F (x) = \frac{x ^{2}}{2} + x + ln ∣ x + 1∣$
5
应用微积分基本定理第二部分，化简已知数值：
6
$F(2) - F(0) = \left(\frac{4}{2} + 2 + \ln 3\right) - \left(0 + 0 + \ln 1\right) = 4 + \ln 3$

4. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 2 min

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✓ 快速检测

用这些AP风格题目测试你的理解：

以下哪一项是 $\int \frac{2 x ^{2} + 5 x + 9}{x + 2} d x$ 的原函数？
- $x^{2} + x - 7 ln ∣ x + 2∣ + C$
- $2 x + 1 + \frac{7}{x + 2} + C$
- $\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 7 + C$
- $x^{2} + x + 7 ln ∣ x + 2∣ + C$
显示答案
3 —
正确：长除法后，被积函数化简为 $2 x + 1 + \frac{7}{x + 2}$ ，积分后得到该结果。
$\int_{0}^{2} \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + x}{x ^{2} - 2 x + 2} d x$ 的精确值是多少？
- $2 + \frac{π}{2}$
- $2 - \frac{π}{2}$
- $\frac{π}{2} - 2$
- $- 2 - \frac{π}{2}$
显示答案
1 —
正确：经过长除法、配方法和应用微积分基本定理第二部分后，精确值为 $2 - \frac{π}{2}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记检查分子/分母次数，直接对 $\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$ 尝试u换元法

原因:

学生不检查形式就急于积分，误以为所有有理函数都可以用u换元法求解

正确做法:

一定要先比较次数；如果分子次数≥分母次数，先做长除法

错误做法:

对 $2 x^{2} + 4 x + 5$ 配方错误，得到 $2 (x + 1)^{2} + 5$ 而非正确的 $2 (x + 1)^{2} + 3$

原因:

学生把括号内减去的常数移到括号外时，忘记乘首项系数

正确做法:

在括号内配方后，先将减去的常数乘首项系数，再与末尾常数相加

错误做法:

将 $\frac{x + 5}{( x + 2 ) ^{2} + 4}$ 拆分为 $\frac{x}{( x + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{5}{( x + 2 ) ^{2} + 4}$ ，而非正确的 $\frac{( x + 2 ) + 3}{( x + 2 ) ^{2} + 4}$

原因:

学生没有让分子匹配分母的导数，导致积分无法求解

正确做法:

一定要将一次分子改写为配方后得到的 $(x + h)$ 项的倍数加上常数余式

错误做法:

将 $\frac{1}{( x + h ) ^{2} + k ^{2}}$ 的原函数写为 $k arctan (\frac{x + h}{k}) + C$ ，而非正确的 $\frac{1}{k} arctan (\frac{x + h}{k}) + C$

原因:

学生混淆了反正切的求导和积分规则

正确做法:

快速对你得到的原函数求导，确认它和原被积函数一致

错误做法:

应用微积分基本定理第二部分时颠倒上下限，计算 $F (a) - F (b)$ 而非 $F (b) - F (a)$

原因:

学生在考场上匆忙答题，记错了减法顺序

正确做法:

计算前一定要在试卷上明确写下「上限原函数减去下限原函数」

6. 速查表

分类	公式/规则	注释
假有理函数除法	$\frac{N ( x )}{D ( x )} = Q (x) + \frac{R ( x )}{D ( x )}, de g (R) < de g (D)$	当 $de g (N) \geq de g (D)$ 时使用
$1/ u$ 的积分	$\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + C$	除非自变量恒正，否则保留绝对值
配方法	$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a})$	用于判别式为负的不可约二次式
反正切积分公式	$\int \frac{1}{u ^{2} + a ^{2}} d u = \frac{1}{a} arctan (\frac{u}{a}) + C$	对不可约分母配方后使用
拆分一次分子	$\frac{m x + n}{( x + h ) ^{2} + k ^{2}} = \frac{( x + h ) + C}{( x + h ) ^{2} + k ^{2}}$	改写后拆分为对数项和反正切项
定积分微积分基本定理	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	始终用上限原函数减去下限原函数
二次式可去掉绝对值	$ln ∣ a x^{2} + b x + c ∣ = ln (a x^{2} + b x + c)$	仅当判别式为负（二次式恒正）时成立

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
利用长除法计算积分
2023 · FRQ
有理函数的定积分

下一步

本主题培养了处理所有含有理函数积分问题所需的关键代数熟练度，是AP微积分AB的核心技能。掌握长除法和配方法后，你就可以将任何无法直接积分的有理函数改写为你已经知道原函数的简单函数之和。这些技能是AP考试中许多高分值主题的基础，包括微分方程、曲线间面积和旋转体体积。如果不扎实掌握这些预处理步骤，你将无法解决许多经常出现在选择题和自由问答题部分的积累、面积和微分方程问题。