# 微积分基本定理与累积函数

> AP 微积分 AB · 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-fundamental-theorem-of-calculus-and/

本子主题涵盖微积分基本定理（第一部分和第二部分）、累积函数定义、可变限累积函数的求导，以及使用原函数计算定积分。该内容占AP微积分AB考试分值的17–20%。

**先修:** 基本函数的原函数; 导数的链式法则; 作为黎曼和极限的定积分

## 学习目标

- 定义累积函数并识别可变积分限
- 使用微积分基本定理第一部分和链式法则对累积函数求导
- 使用微积分基本定理第二部分和原函数精确计算定积分
- 规避与微积分基本定理和累积函数相关的常见考试错误

## 累积函数

累积函数是指，其值等于从固定起始限到可变输入点，在另一个函数下方累积的净带符号面积的函数。其标准形式为：

$$A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$

此处，$a$ 是固定常数，$f$ 在包含 $a$ 和 $x$ 的区间上连续，$t$ 是哑变量：它只是一个占位符，不会出现在 $A(x)$ 的最终结果中。常见变形包括可变下限或双可变限，这类情况可以利用性质 $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ 改写。

**累积函数** — 由至少含一个可变积分限的定积分定义的函数，其值等于从固定限到可变限，被积函数下方累积的净带符号面积。

*记法:* A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt

*例:* g(x) = \int_{2}^{x} (t^2 - 3t) dt

**例题:** 定义 $g(x) = \int_{2}^{x} (t^2 - 3t) dt$。(a) 计算 $g(4)$；(b) 描述 $g(-1)$ 表示的净带符号面积。

1. 代入 $x=4$ 得到定积分：

   $$g(4) = \int_{2}^{4} (t^2 - 3t) dt$$
2. 求被积函数的原函数：

   $$\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2}$$
3. 代入上下限计算，用上限原函数值减下限原函数值：

   $$\left(\frac{64}{3} - 24\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{56}{3} - 18 = \frac{2}{3}$$
4. 对于(b)问，利用积分限翻转性质改写积分：

   $$g(-1) = \int_{2}^{-1} (t^2 - 3t) dt = -\int_{-1}^{2} (t^2 - 3t) dt$$
5. 因此 $g(-1)$ 是 $y = t^2 - 3t$ 在 $t=-1$ 到 $t=2$ 之间的净带符号面积的相反数。

> **tip**
>
> 哑积分变量一定要使用与可变积分限不同的变量，避免混淆——将 $x$ 和 $t$ 混用会频繁导致求导错误。

## FTC 第一部分：累积函数的导数

微积分基本定理（FTC）第一部分明确了积分与求导之间的互逆关系，给出了累积函数的求导方法。该定理的基本表述为：

**微积分基本定理第一部分（基本形式）** — 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且对 $a \leq x \leq b$ 有 $A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$，则对所有 $x \in (a,b)$ 都有 $A'(x) = f(x)$。从直观上看，累积面积在 $x$ 处的变化率等于原函数在 $x$ 处的高度。

*记法:* \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)

针对AP考试，我们结合链式法则将该规则推广到可变限的情况，得到三种常见情形：

- If $A(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) dt$, then $A'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$
- If $A(x) = \int_{v(x)}^{a} f(t) dt$, then $A'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x)$
- If $A(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$, then $A'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$

**例题:** 求 $y = \int_{\cos x}^{2x} e^{t^2} dt$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

1. 应用双可变限累积函数的求导法则。
2. 识别各部分：$f(t) = e^{t^2}$，上限 $u(x) = 2x$，下限 $v(x) = \cos x$。
3. 计算每一项：$f(u(x)) = e^{(2x)^2} = e^{4x^2}$，$u'(x) = 2$；$f(v(x)) = e^{\cos^2 x}$，$v'(x) = -\sin x$。
4. 代入公式得：

   $$\frac{dy}{dx} = (e^{4x^2} \cdot 2) - \left(e^{\cos^2 x} \cdot (-\sin x)\right) = 2e^{4x^2} + \sin x \cdot e^{\cos^2 x}$$

> **tip**
>
> 当下限为可变限时，求导前一定要先添加负号翻转积分限改写积分，这样负号就很明确，避免漏写符号。

## FTC 第二部分：定积分的计算

微积分基本定理第二部分给出了利用原函数计算定积分精确值的方法，无需用黎曼和近似。其正式表述为：

**微积分基本定理第二部分** — 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的任意一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则定积分的值等于原函数代入上限的值减去原函数代入下限的值。积分常数会抵消，因此定积分计算中不需要加 $+C$。

*记法:* \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

该定理成立的一个关键要求是 $f$ 在整个区间 $[a,b]$ 上连续——如果被积函数在区间内部存在间断点，定理不适用。

**例题:** 计算 $\int_{0}^{\pi/2} \left(3\sin x + 2\cos 2x\right) dx$。

1. 确认被积函数在 $[0, \pi/2]$ 上连续，因此可以使用微积分基本定理第二部分。
2. 逐项求原函数：$3\sin x$ 的原函数是 $-3\cos x$，$2\cos 2x$ 的原函数是 $\sin 2x$，因此：

   $$F(x) = -3\cos x + \sin 2x$$
3. 代入上限计算 $F$：

   $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin(\pi) = -3(0) + 0 = 0$$
4. 代入下限计算 $F$，再用上减下：

   $$F(0) = -3\cos(0) + \sin(0) = -3(1) + 0 = -3 \\ \int_{0}^{\pi/2} \left(3\sin x + 2\cos 2x\right) dx = 0 - (-3) = 3$$

> **tip**
>
> 代入积分限之前，一定要对原函数求导检查错误——10秒的检查就能发现正弦和余弦的常见符号错误。

## AP 风格练习题

**概念自测**

用这些AP风格习题测试你的理解：

1. 若 $h(x) = \int_{1}^{x^2} \sqrt[3]{1 + t^2} dt$，则 $h'(2)$ 等于多少？

   - $\sqrt[3]{5}$
   - $4 \sqrt[3]{17}$
   - $2 \sqrt[3]{17}$
   - $2 \sqrt[3]{5}$

   *答案:* $4 \sqrt[3]{17}$

   *解析:* 回答正确。结合链式法则应用微积分基本定理第一部分：$h'(x) = \sqrt[3]{1+(x^2)^2} \cdot 2x$，因此 $h'(2) = 4\sqrt[3]{17}$。

**例题:** 设对所有实数 $t$ 有 $f(t) = 4 - 2t$，定义 $A(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$。(a) 求 $A(x)$ 关于 $x$ 的函数表达式；(b) 计算 $A'(x)$ 并验证结果符合微积分基本定理第一部分；(c) $A(x)$ 在 $x$ 取哪些值时单调递增？证明你的结论。

1. (a) 利用微积分基本定理第二部分计算定积分：

   $$A(x) = \int_{0}^{x} (4 - 2t) dt = \left[4t - t^2\right]_{0}^{x} = 4x - x^2$$
2. (b) 直接对 $A(x)$ 求导：

   $$A'(x) = \frac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x = f(x)$$
3. 这与微积分基本定理第一部分中 $\int_{a}^{x} f(t) dt$ 的导数为 $f(x)$ 的结论一致。
4. (c) 函数一阶导数为正时函数单调递增，解不等式：

   $$A'(x) = 4 - 2x > 0 \implies x < 2$$
5. 因此根据一阶导数测试，$A(x)$ 在所有满足 $x < 2$ 的实数上单调递增。

**例题:** 面包店的揉面机往碗里添加面粉的速率是 $r(t) = 3t + 2$ 盎司/分钟，其中 $t$ 是开工后的分钟数。$t=0$ 时，碗里已经有8盎司面粉。写出 $x$ 分钟后总面粉量的累积函数，并求5分钟后的总面粉量。

1. 总面粉量等于初始量加上累积添加的面粉量，因此累积函数为：

   $$F(x) = 8 + \int_{0}^{x} (3t + 2) dt$$
2. 计算从 $t=0$ 到 $t=5$ 的定积分：

   $$\int_{0}^{5} (3t + 2) dt = \left[\frac{3t^2}{2} + 2t\right]_{0}^{5} = 47.5$$
3. 加上初始的8盎司：

   $$F(5) = 8 + 47.5 = 55.5$$
4. 5分钟后，搅拌碗里共有55.5盎司面粉。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于 $y = \int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，错写为 $y' = f(u(x))$，漏掉了链式法则项 $u'(x)$。
  - 原因: 学生忘记上限是 $x$ 的函数，因此跳过了链式法则步骤。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理第一部分时，一定要先判断积分限是否为 $x$ 的函数，如果是则自动乘上它的导数。
- **错误做法:** 对于 $y = \int_{v(x)}^{a} f(t) dt$，错写为 $y' = f(v(x)) v'(x)$，没有添加负号。
  - 原因: 学生忘记翻转积分限会引入负号。
  - 正确做法: 求导前将所有可变下限的积分改写为 $- \int_{a}^{v(x)} f(t) dt$，这样负号就很明确。
- **错误做法:** 将 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 错算为 $F(a) - F(b)$，而非正确的 $F(b) - F(a)$。
  - 原因: 学生记忆微积分基本定理第二部分时搞混了减法顺序。
  - 正确做法: 代入数值前，一定要先在步骤中写下「上限结果减下限结果」，确保顺序正确。
- **错误做法:** 错写为 $A(x) = \int_{a}^{x} f(x) dx$，将 $x$ 同时用作积分限和哑积分变量。
  - 原因: 学生习惯重复使用输出变量，导致求导时出现混淆。
  - 正确做法: 定义累积函数时，哑积分变量一定要用不同的字母（例如 $t$、$s$）。
- **错误做法:** 对 $\int_{-1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ 应用微积分基本定理第二部分，得到最终答案 $- \frac{3}{2}$。
  - 原因: 学生忘记微积分基本定理仅适用于被积函数在整个区间上连续的情况；$\frac{1}{x^2}$ 在区间 $[-1,2]$ 内部的 $x=0$ 处有无穷间断点。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理前，一定要检查被积函数在积分区间内部是否存在间断点。
- **错误做法:** 对于 $A(x) = \int_{1}^{4} f(t) dt$，错算为 $A'(x) = f(4) - f(1)$。
  - 原因: 学生将常数定积分与含可变限的累积函数混淆。
  - 正确做法: 如果两个积分限都是常数，整个积分就是常数，因此它对 $x$ 的导数为0。

## 速查表

| 类型 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 基本累积函数 | $A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ | $a$ 为常数，$t$ 为哑变量，$f$ 连续 |
| FTC 第一部分（基本形式） | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ | 仅适用于连续函数 $f$ |
| FTC 第一部分（可变上限） | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$ | 始终需要链式法则项 $u'(x)$ |
| FTC 第一部分（可变下限） | $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{a} f(t) dt = -f(v(x)) \cdot v'(x)$ | 负号来自翻转积分限 |
| FTC 第一部分（双可变限） | $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$ | 结合上下限法则 |
| FTC 第二部分（计算定积分） | $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a), F'(x)=f(x)$ | 仅当 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续时适用 |
| 常数积分的导数 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{b} f(t) dt = 0$ | 两个限都是常数 → 积分是常数 |

## 下一步

本主题是AP微积分AB中所有后续积分主题的基础。接下来你将应用微积分基本定理和累积函数解决实际情境中的净变化问题，包括直线运动、种群变化和流体流动，你将从给定的速率函数建模得到总变化量。要正确解决这些应用问题，以及后续的曲线间面积、旋转体体积等主题，都需要掌握微积分基本定理的法则，所有这些内容都依赖FTC来建立和计算积分。本主题还培养了AP微积分的核心能力：联系导数与积分，这几乎是考试中所有自由问答题的核心。

- [累积函数的性质分析](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-interpreting-behavior-of-accumulation-functions/)
- [定积分的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-properties-of-definite-integrals/)
- [微积分基本定理与定积分（AP微积分AB）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-ftc-and-definite-integrals/)

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