微积分基本定理与定积分（AP微积分AB）

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — 积分与变化的积累· 14 分钟阅读

1. 微积分第二基本定理（FTC 2）：定积分的计算★★☆☆☆⏱ 4 min

FTC 2 提供了利用原函数计算定积分精确值的方法，无需再计算无穷黎曼和的极限。该定理适用条件为： $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意一个原函数（即对区间 $[a, b]$ 内所有 $x$ 都满足 $F^{'} (x) = f (x)$ ）。

int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

该计算的标准记号为 $F (x) ∣_{a}^{b}$ ，明确表示'在上限 $b$ 处计算 $F$ 的值，减去 $F$ 在下限 $a$ 处的值'。计算定积分时可以完全省略积分常数 $+ C$ ，因为它在 $F (b)$ 减 $F (a)$ 的过程中会抵消。FTC 2 仅当 $f$ 在整个积分区间上连续时才能使用；区间内的间断点（如垂直渐近线）会导致无法直接应用该定理。

📘 定义

微积分第二基本定理

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

将原函数与连续函数定积分的精确计算联系起来的定理。

📐 例题

计算定积分 $\int_{1}^{4} (3 x^{2} - 2 x) d x$ 。

1
首先，利用原函数的幂函数法则求出每一项的原函数： $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ，适用于 $n \neq = - 1$ 。
2
$3 x^{2}$ 的原函数是 $3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ 。 $- 2 x = - 2 x^{1/2}$ 的原函数是 $- 2 \cdot \frac{x ^{3/2}}{3/2} = - \frac{4}{3} x^{3/2}$ 。
3
合并各项得 $F (x) = x^{3} - \frac{4}{3} x^{3/2}$ ，省略 $+ C$ 。
4
在上限 $x = 4$ 处计算：
5
$F(4) = 4^3 - \frac{4}{3}(4)^{3/2} = 64 - \frac{32}{3} = \frac{160}{3}$
6
在下限 $x = 1$ 处计算：
7
$F(1) = 1^3 - \frac{4}{3}(1)^{3/2} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
8
用上限值减去下限值得到最终结果：
9
$\int_1^4 (3x^2 - 2\sqrt{x}) dx = F(4) - F(1) = \frac{160}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{161}{3}$

Exam tip:

请务必显式写出计算式 $F (x) ∣_{a}^{b}$ ，避免混淆上下限顺序。颠倒上下限会改变答案符号，这是一个可以避免的常见错误。

2. 微积分第一基本定理（FTC 1）：累积函数的导数★★★☆☆⏱ 4 min

FTC 1 形式化证明了积分和微分的互逆关系，是AP微积分AB选择题中涉及累积函数（由积分定义的函数）的高频考点。下限为常数、上限为变量 $x$ 的基础形式为：

\frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) dt \right] = f(x)

如果上限是 $x$ 的函数 $u (x)$ 而非 $x$ 本身，我们需要应用链式法则得到一般形式。如果上下限都是 $x$ 的函数，我们可以在某个常数处拆分积分得到拓展法则。对于 $g (x) = \int_{v (x)}^{u (x)} f (t) d t$ ，拓展法则为：

g'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)

📘 定义

累积函数

一个或两个上下限都是自变量的函数的定积分所定义的函数，表示曲线下的累积面积。

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} [\int_{c o s x}^{x^{3}} e^{2 t} d t]$ 。

1
应用上下限都可变的拓展FTC 1法则：导数等于 $f (上限) \cdot \frac{d}{d x} (上限) - f (下限) \cdot \frac{d}{d x} (下限)$ 。
2
识别各部分： $f (t) = e^{2 t}$ ，上限 $u (x) = x^{3}$ ，下限 $v (x) = cos x$ 。
3
计算上下限的导数： $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ ， $v^{'} (x) = - sin x$ 。
4
在两个上下限处计算 $f$ 的值： $f (u (x)) = e^{2 (x^{3})} = e^{2 x^{3}}$ ， $f (v (x)) = e^{2 c o s x}$ 。
5
代入法则并化简：
6
$\frac{d}{dx} \left[ \int_{\cos x}^{x^3} e^{2t} dt \right] = (e^{2x^3})(3x^2) - (e^{2\cos x})(-\sin x) = 3x^2 e^{2x^3} + e^{2\cos x} \sin x$

Exam tip:

如果求导变量出现在下限，拆分积分后不要遗漏必要的负号。提交最终答案前，请再次检查下限项的符号。

3. 净变化定理：实际问题中的FTC应用★★★☆☆⏱ 3 min

净变化定理是FTC 2在实际问题中的直接应用：我们对变化率积分即可得到区间内的总累积变化。该定理指出：量 $F (t)$ 从 $t = a$ 到 $t = b$ 的净变化等于其变化率 $f (t) = F^{'} (t)$ 在该区间上的定积分：

\text{Net Change} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) dt

该定理是AP微积分AB所有实际背景积分问题的基础，包括质点位移、种群变化、血液中的药物量，以及边际利润求总利润等。净变化会抵消正负变化（例如质点向左运动和向右运动抵消），这和总路程不同，总路程需要对变化率的绝对值积分。如果已知初始量 $F (a)$ ，要求 $t = b$ 处的最终量，整理公式可得： $F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} f (t) d t$ 。

📐 例题

水箱进水的速率为 $r (t) = 2 t + 5 sin (\frac{π t}{12})$ 加仑/分钟， $0 \leq t \leq 20$ 分钟。若 $t = 0$ 时水箱初始有30加仑水，求 $t = 10$ 分钟时水箱中有多少水？

1
设 $W (t)$ 为 $t$ 时刻水箱中的总水量。已知 $W (0) = 30$ ， $W^{'} (t) = r (t)$ ，根据净变化定理：
2
$W(10) = W(0) + \int_0^{10} r(t) dt$
3
求 $r (t)$ 的原函数：
4
$\int \left(2t + 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt = t^2 - \frac{60}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$
5
计算定积分：
6
$\left[ 10^2 - \frac{60}{\pi} \cos\left(\frac{10\pi}{12}\right) \right] - \left[ 0^2 - \frac{60}{\pi} \cos(0) \right] = 100 - \frac{60}{\pi}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{60}{\pi}(1) \approx 135.64$
7
加上初始量得到最终总水量：
8
$W(10) = 30 + 135.64 \approx 165.64$
9
t=10分钟时水箱中约有165.64加仑水。

Exam tip:

题目要求某物理量的最终量时，定积分仅给出净变化，而非最终量。务必将净变化加到给定的初始量上才能得到正确答案。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格题目测试你对FTC法则的理解：

若 $F (x) = \int_{0}^{x^{2}} 1 + t^{3} d t$ ，求 $F^{'} (2)$ 的值？
- A) $65$
- B) $465$
- C) $41$
- D) $265$
显示答案
1 —
正确。结合链式法则应用FTC 1得： $F^{'} (x) = 2 x 1 + x^{6}$ ，因此 $F^{'} (2) = 465$ 。
计算 $\int_{0}^{2} (2 x - 6 e^{x}) d x$ ，哪个结果正确？
- A) $10 - 6 e^{2} \approx - 34.17$
- B) $4 - 6 e^{2} \approx - 40.17$
- C) $- 6 e^{2} \approx - 44.17$
- D) $10 - 6 e \approx - 6.31$

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $g (x) = \int_{2}^{x^{2}} t^{3} + 1 d t$ 求导时，写出 $g^{'} (x) = (x^{2})^{3} + 1$ ，遗漏了链式法则项。

原因:

学生记得FTC要求被积函数在上限处取值，但忘记当上是 $x$ 的函数时需要应用链式法则。

正确做法:

务必检查上下限是否是 $x$ 的函数；如果是，每次都要乘以上下限的导数。

错误做法:

计算 $\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x$ 时，直接应用FTC 2得到 $- \frac{1}{x}_{- 2}^{2} = - 1$ 并将其作为最终答案。

原因:

学生忘记FTC 2要求 $f$ 在整个积分区间上连续，而该函数在区间内 $x = 0$ 处存在间断点。

正确做法:

应用FTC 2前务必检查被积函数在区间内是否存在间断点；AP微积分AB仅要求你对连续函数应用FTC。

错误做法:

计算定积分时，你用下限值减去了上限值。

原因:

学生混淆了计算顺序，尤其是题目中上下限颠倒书写时。

正确做法:

始终遵循记号约定 $F (x) ∣_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ ，即上限减下限，没有例外。

错误做法:

已知初始种群数量为1000，增长率为 $r (t)$ ，求t=10时的最终种群数量，你将 $\int_{0}^{10} r (t) d t$ 的值作为最终答案。

原因:

学生混淆了净变化和最终总数量。

正确做法:

记住变化率的积分仅给出净变化；将净变化加到初始量上才能得到最终总数量。

错误做法:

对 $\int_{x}^{5} e^{s i n t} d t$ 求导时，你得到 $- e^{s i n x}$ 后又去掉了负号，因为你认为这是错误的。

原因:

学生习惯了下限为常数的情况，忘记当求导变量在下限时必须保留负号。

正确做法:

翻转上下限得到 $- \int_{5}^{x} e^{s i n t} d t$ ，应用FTC后在最终导数中保留负号。

6. 速查表

类别	公式	说明
FTC 2（计算定积分）	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)$	$f$ 必须在 $[a, b]$ 上连续；积分常数会抵消，不需要 $+ C$
FTC 1（下限常数，上限可变）	$\frac{d}{d x} [\int_{a}^{u (x)} f (t) d t] = f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	若 $u (x) = x$ ， $u^{'} (x) = 1$ ，因此导数直接简化为 $f (x)$
FTC 1（上下限都可变）	$\frac{d}{d x} [\int_{v (x)}^{u (x)} f (t) d t] = f (u (x)) u^{'} (x) - f (v (x)) v^{'} (x)$	下限项的负号是必须的，不要遗漏
净变化定理	$净变化 F (t) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} (t) d t$	给出的是净变化（正负变化会抵消），不是量的总变化
由变化率求最终量	$F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} F^{'} (t) d t$	适用于所有要求 $t = b$ 时刻总数量的实际问题
标准计算记号	$F (x) ∣_{a}^{b} = F (b) - F (a)$	按约定，始终是上限值减去下限值；颠倒上下限会改变符号

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
对可变上下限的累积函数求导
2022 · FRQ
实际体积问题中的净变化计算

深入阅读

unit overview第6单元：积分与变化的积累概述本主题对应的父单元概述

下一步

掌握微积分基本定理是AP微积分AB几乎所有剩余主题的前提。学完本主题后，你接下来会应用FTC计算曲线间面积，解决换元积分问题，分析涉及运动、种群增长和累积变化的实际问题。如果不能熟练掌握FTC的两个部分，你会在FRQ部分几乎所有应用积分问题上遇到困难，而FRQ部分占考试总分的很大比例。FTC也是统一微分和积分这两个微积分核心思想的核心结果，贯穿整个考试。