# 微积分基本定理与定积分（AP微积分AB）

> AP 微积分 AB · 积分与变化的积累
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-ftc-and-definite-integrals/

本模块讲解微积分基本定理（FTC）的两个部分，包括利用原函数计算定积分、对累积函数求导，以及微分和积分的互逆关系，所有内容都是AP微积分AB考试的高频考点。

**先修:** 基本函数原函数的计算方法; 求导时链式法则的应用; 定积分作为黎曼和极限的意义

## 学习目标

- 利用微积分第二基本定理计算定积分
- 利用微积分第一基本定理对累积函数求导
- 应用净变化定理解决实际背景下的变化率问题
- 在AP考题中应用FTC法则时避开常见错误

## 微积分第二基本定理（FTC 2）：定积分的计算

FTC 2 提供了利用原函数计算定积分精确值的方法，无需再计算无穷黎曼和的极限。该定理适用条件为：$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即对区间 $[a,b]$ 内所有 $x$ 都满足 $F'(x) = f(x)$）。

$$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

该计算的标准记号为 $\left. F(x) \right|_a^b$，明确表示'在上限 $b$ 处计算 $F$ 的值，减去 $F$ 在下限 $a$ 处的值'。计算定积分时可以完全省略积分常数 $+C$，因为它在 $F(b)$ 减 $F(a)$ 的过程中会抵消。FTC 2 仅当 $f$ 在整个积分区间上连续时才能使用；区间内的间断点（如垂直渐近线）会导致无法直接应用该定理。

**微积分第二基本定理** — 将原函数与连续函数定积分的精确计算联系起来的定理。

*记法:* $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

**例题:** 计算定积分 $\int_1^4 (3x^2 - 2\sqrt{x}) dx$。

1. 首先，利用原函数的幂函数法则求出每一项的原函数：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，适用于 $n \neq -1$。
2. $3x^2$ 的原函数是 $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$。$-2\sqrt{x} = -2x^{1/2}$ 的原函数是 $-2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{4}{3}x^{3/2}$。
3. 合并各项得 $F(x) = x^3 - \frac{4}{3}x^{3/2}$，省略 $+C$。
4. 在上限 $x=4$ 处计算：
5. $$F(4) = 4^3 - \frac{4}{3}(4)^{3/2} = 64 - \frac{32}{3} = \frac{160}{3}$$
6. 在下限 $x=1$ 处计算：
7. $$F(1) = 1^3 - \frac{4}{3}(1)^{3/2} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$
8. 用上限值减去下限值得到最终结果：
9. $$\int_1^4 (3x^2 - 2\sqrt{x}) dx = F(4) - F(1) = \frac{160}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{161}{3}$$

> **考试提示:** 请务必显式写出计算式 $\left. F(x) \right|_a^b$，避免混淆上下限顺序。颠倒上下限会改变答案符号，这是一个可以避免的常见错误。

## 微积分第一基本定理（FTC 1）：累积函数的导数

FTC 1 形式化证明了积分和微分的互逆关系，是AP微积分AB选择题中涉及累积函数（由积分定义的函数）的高频考点。下限为常数、上限为变量 $x$ 的基础形式为：

$$\frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) dt \right] = f(x)$$

如果上限是 $x$ 的函数 $u(x)$ 而非 $x$ 本身，我们需要应用链式法则得到一般形式。如果上下限都是 $x$ 的函数，我们可以在某个常数处拆分积分得到拓展法则。对于 $g(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$，拓展法则为：

$$g'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$$

**累积函数** — 一个或两个上下限都是自变量的函数的定积分所定义的函数，表示曲线下的累积面积。

**例题:** 求 $\frac{d}{dx} \left[ \int_{\cos x}^{x^3} e^{2t} dt \right]$。

1. 应用上下限都可变的拓展FTC 1法则：导数等于 $f(\text{上限}) \cdot \frac{d}{dx}(\text{上限}) - f(\text{下限}) \cdot \frac{d}{dx}(\text{下限})$。
2. 识别各部分：$f(t) = e^{2t}$，上限 $u(x) = x^3$，下限 $v(x) = \cos x$。
3. 计算上下限的导数：$u'(x) = 3x^2$，$v'(x) = -\sin x$。
4. 在两个上下限处计算 $f$ 的值：$f(u(x)) = e^{2(x^3)} = e^{2x^3}$，$f(v(x)) = e^{2\cos x}$。
5. 代入法则并化简：
6. $$\frac{d}{dx} \left[ \int_{\cos x}^{x^3} e^{2t} dt \right] = (e^{2x^3})(3x^2) - (e^{2\cos x})(-\sin x) = 3x^2 e^{2x^3} + e^{2\cos x} \sin x$$

> **考试提示:** 如果求导变量出现在下限，拆分积分后不要遗漏必要的负号。提交最终答案前，请再次检查下限项的符号。

## 净变化定理：实际问题中的FTC应用

净变化定理是FTC 2在实际问题中的直接应用：我们对变化率积分即可得到区间内的总累积变化。该定理指出：量 $F(t)$ 从 $t=a$ 到 $t=b$ 的净变化等于其变化率 $f(t) = F'(t)$ 在该区间上的定积分：

$$\text{Net Change} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) dt$$

该定理是AP微积分AB所有实际背景积分问题的基础，包括质点位移、种群变化、血液中的药物量，以及边际利润求总利润等。净变化会抵消正负变化（例如质点向左运动和向右运动抵消），这和总路程不同，总路程需要对变化率的绝对值积分。如果已知初始量 $F(a)$，要求 $t=b$ 处的最终量，整理公式可得：$F(b) = F(a) + \int_a^b f(t) dt$。

**例题:** 水箱进水的速率为 $r(t) = 2t + 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ 加仑/分钟，$0 \leq t \leq 20$ 分钟。若 $t=0$ 时水箱初始有30加仑水，求 $t=10$ 分钟时水箱中有多少水？

1. 设 $W(t)$ 为 $t$ 时刻水箱中的总水量。已知 $W(0) = 30$，$W'(t) = r(t)$，根据净变化定理：
2. $$W(10) = W(0) + \int_0^{10} r(t) dt$$
3. 求 $r(t)$ 的原函数：
4. $$\int \left(2t + 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt = t^2 - \frac{60}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$$
5. 计算定积分：
6. $$\left[ 10^2 - \frac{60}{\pi} \cos\left(\frac{10\pi}{12}\right) \right] - \left[ 0^2 - \frac{60}{\pi} \cos(0) \right] = 100 - \frac{60}{\pi}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{60}{\pi}(1) \approx 135.64$$
7. 加上初始量得到最终总水量：
8. $$W(10) = 30 + 135.64 \approx 165.64$$
9. t=10分钟时水箱中约有165.64加仑水。

> **考试提示:** 题目要求某物理量的最终量时，定积分仅给出净变化，而非最终量。务必将净变化加到给定的初始量上才能得到正确答案。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这些AP风格题目测试你对FTC法则的理解：

1. 若 $F(x) = \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^3} dt$，求 $F'(2)$ 的值？

   - A) $\sqrt{65}$
   - B) $4\sqrt{65}$
   - C) $\sqrt{41}$
   - D) $2\sqrt{65}$

   *答案:* B) $4\sqrt{65}$

   *解析:* 正确。结合链式法则应用FTC 1得：$F'(x) = 2x\sqrt{1 + x^6}$，因此 $F'(2) = 4\sqrt{65}$。

2. 计算 $\int_0^2 (2x - 6e^x) dx$，哪个结果正确？

   - A) $10 - 6e^2 \approx -34.17$
   - B) $4 - 6e^2 \approx -40.17$
   - C) $-6e^2 \approx -44.17$
   - D) $10 - 6e \approx -6.31$

   *答案:* A) $10 - 6e^2 \approx -34.17$

   *解析:* 正确。原函数为 $x^2 - 6e^x$，代入上下限0到2计算：$(4 - 6e^2) - (0 - 6e^0) = 10 - 6e^2$。

## 常见错误

- **错误做法:** 对 $g(x) = \int_2^{x^2} \sqrt{t^3 + 1} dt$ 求导时，写出 $g'(x) = \sqrt{(x^2)^3 + 1}$，遗漏了链式法则项。
  - 原因: 学生记得FTC要求被积函数在上限处取值，但忘记当上是 $x$ 的函数时需要应用链式法则。
  - 正确做法: 务必检查上下限是否是 $x$ 的函数；如果是，每次都要乘以上下限的导数。
- **错误做法:** 计算 $\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} dx$ 时，直接应用FTC 2得到 $\left. -\frac{1}{x} \right|_{-2}^2 = -1$ 并将其作为最终答案。
  - 原因: 学生忘记FTC 2要求 $f$ 在整个积分区间上连续，而该函数在区间内 $x=0$ 处存在间断点。
  - 正确做法: 应用FTC 2前务必检查被积函数在区间内是否存在间断点；AP微积分AB仅要求你对连续函数应用FTC。
- **错误做法:** 计算定积分时，你用下限值减去了上限值。
  - 原因: 学生混淆了计算顺序，尤其是题目中上下限颠倒书写时。
  - 正确做法: 始终遵循记号约定 $\left. F(x) \right|_a^b = F(b) - F(a)$，即上限减下限，没有例外。
- **错误做法:** 已知初始种群数量为1000，增长率为 $r(t)$，求t=10时的最终种群数量，你将 $\int_0^{10} r(t) dt$ 的值作为最终答案。
  - 原因: 学生混淆了净变化和最终总数量。
  - 正确做法: 记住变化率的积分仅给出净变化；将净变化加到初始量上才能得到最终总数量。
- **错误做法:** 对 $\int_{x}^5 e^{\sin t} dt$ 求导时，你得到 $-e^{\sin x}$ 后又去掉了负号，因为你认为这是错误的。
  - 原因: 学生习惯了下限为常数的情况，忘记当求导变量在下限时必须保留负号。
  - 正确做法: 翻转上下限得到 $-\int_5^x e^{\sin t} dt$，应用FTC后在最终导数中保留负号。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| FTC 2（计算定积分） | $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)$ | $f$ 必须在 $[a,b]$ 上连续；积分常数会抵消，不需要 $+C$ |
| FTC 1（下限常数，上限可变） | $\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_a^{u(x)} f(t) dt \right] = f(u(x)) \cdot u'(x)$ | 若 $u(x) = x$，$u'(x) = 1$，因此导数直接简化为 $f(x)$ |
| FTC 1（上下限都可变） | $\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt \right] = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$ | 下限项的负号是必须的，不要遗漏 |
| 净变化定理 | $\text{净变化 } F(t) = F(b) - F(a) = \int_a^b F'(t) dt$ | 给出的是净变化（正负变化会抵消），不是量的总变化 |
| 由变化率求最终量 | $\displaystyle F(b) = F(a) + \int_a^b F'(t) dt$ | 适用于所有要求 $t=b$ 时刻总数量的实际问题 |
| 标准计算记号 | $\displaystyle \left. F(x) \right\|_a^b = F(b) - F(a)$ | 按约定，始终是上限值减去下限值；颠倒上下限会改变符号 |

## 下一步

掌握微积分基本定理是AP微积分AB几乎所有剩余主题的前提。学完本主题后，你接下来会应用FTC计算曲线间面积，解决换元积分问题，分析涉及运动、种群增长和累积变化的实际问题。如果不能熟练掌握FTC的两个部分，你会在FRQ部分几乎所有应用积分问题上遇到困难，而FRQ部分占考试总分的很大比例。FTC也是统一微分和积分这两个微积分核心思想的核心结果，贯穿整个考试。

- [换元积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-integration-by-substitution/)
- [原函数与不定积分（基本法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/)
- [多项式长除法与配方法积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-integration-with-long-division-and/)

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