# 原函数与不定积分（基本法则）

> AP 微积分 AB · 积分与变化的累积
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本小节介绍原函数与不定积分的核心定义，以及代数函数、指数函数和三角函数的基本积分法则。它是AP微积分AB中所有后续积分主题的基础。

**先修:** 多项式、指数函数和三角函数的求导法则; 多项式与有理项的基本代数变形; 链式求导法则

## 学习目标

- 定义原函数与不定积分
- 对代数函数应用基本积分法则
- 利用初始条件求特定原函数
- 对基本指数函数和三角函数求积分

## 原函数、不定积分与积分常数

**原函数** — 若可导函数$F(x)$在区间上满足对所有$x$都有$F'(x) = f(x)$，则$F(x)$是$f(x)$在该区间上的一个原函数。

**不定积分** — $f(x)$所有可能原函数的通用表示形式，包含任意积分常数$+C$。它表示一族函数，而非一个数值。

*记法:* \int f(x) \, dx

由于任意常数的导数都为零，因此若$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则对任意实常数$C$，$F(x) + C$也是$f(x)$的原函数。记号中的微分$dx$明确标识了积分变量。若给出初始条件（原函数必须经过的点），你就可以解出$C$的具体值，得到特定原函数。

**例题:** 已知$f(x) = 6x^2$，(1) 写出$f(x)$的一般不定积分，(2) 求满足$F(1) = 10$的特定原函数。

1. 回忆得$x^3$的导数是$3x^2$，因此$x^2$的原函数是$\frac{x^3}{3} + C$。
2. 应用常数倍法则得到一般不定积分：

   $$\int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2x^3 + C$$
3. 将初始条件$F(1) = 10$代入通式：

   $$F(1) = 2(1)^3 + C = 2 + C = 10$$
4. 求解$C$：$C = 10 - 2 = 8$。
5. 特定原函数为：

   $$F(x) = 2x^3 + 8$$

> **考试提示:** 一定要通过求导来检验你的原函数！如果你的结果的导数等于原被积函数，就说明你的计算是正确的。这个方法可以找出考试中90%的常见符号错误和计算错误。

## 代数函数的基本积分法则

代数积分法则是求导法则反过来直接得到的。常数倍法则为：对任意常数$k$，$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$，和差法则为：$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$。最常用的法则是积分的幂法则。

**积分幂法则** — 它是求导幂法则的逆运算。关键例外是当$n=-1$时，需要使用对数原函数法则。应用法则前一定要将根号和倒数改写为$x^n$的形式：$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$和$\sqrt{x} = x^{1/2}$。

*记法:* \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad n \neq -1

**例题:** 计算不定积分$\int \left( 4x^3 - \frac{2}{\sqrt{x}} + 5 \right) dx$。

1. 将所有项改写为$x^n$的形式：

   $$\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}, \quad 5 = 5x^0 \implies \int \left( 4x^3 - 2x^{-1/2} + 5x^0 \right) dx$$
2. 利用和差法则与常数倍法则拆分积分：

   $$4 \int x^3 dx - 2 \int x^{-1/2} dx + 5 \int x^0 dx$$
3. 对每一项应用幂法则：

   $$4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 5 \cdot \frac{x^1}{1} + C$$
4. 化简得到最终结果：

   $$x^4 - 4\sqrt{x} + 5x + C$$
5. 通过求导验证：结果的导数与原被积函数一致。

> **考试提示:** 应用幂法则前一定要将根号和倒数改写为幂次形式。跳过这一步是AP考试中幂法则计算指数错误的最常见原因。

## 基本超越函数的原函数（指数函数与三角函数）

所有非代数函数的积分法则都是你已经学过的求导法则的逆运算。AP微积分AB中需要掌握的核心结论如下：

- 指数函数：$\int e^x dx = e^x + C$；对$a>0, a \neq 1$，有$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
- 倒数（$n=-1$的例外情况）：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$。绝对值覆盖所有非零$x$。
- 三角函数：$\int \cos x dx = \sin x + C$，$\int \sin x dx = -\cos x + C$，$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$，$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$

**例题:** 计算$\int \left( 3e^x + 2 \sin x - \sec x \tan x + \frac{4}{x} \right) dx$。

1. 利用和差法则将积分拆分为单独的项：

   $$3 \int e^x dx + 2 \int \sin x dx - \int \sec x \tan x dx + 4 \int \frac{1}{x} dx$$
2. 对每一项应用对应的原函数法则：

   $$3(e^x) + 2(-\cos x) - (\sec x) + 4(\ln|x|) + C$$
3. 化简得到最终结果：

   $$3e^x - 2\cos x - \sec x + 4\ln|x| + C$$
4. 通过求导验证结果与原被积函数一致。

> **考试提示:** 如果你不确定三角函数原函数的符号，花10秒对结果求导来确认是否与原被积函数一致即可。自由问答题阅卷人会对错误符号扣分，因此这个检查非常值得花时间。

## AP风格概念检测练习

**概念自测**

通过以下AP风格习题检验你的理解：

1. 以下哪个选项是$\int \left( \frac{3x^2 - 2\sqrt{x}}{x} \right) dx$的一般不定积分？

   - $\frac{3}{2}x^2 - 4\sqrt{x} + C$
   - $3x^2 - 2\sqrt{x} + C$
   - $3x - 4\sqrt{x} + C$
   - $x^3 - 2x^2 + C$

   *答案:* $\frac{3}{2}x^2 - 4\sqrt{x} + C$

   *解析:* 正确：将被积函数化简为$3x - 2x^{-1/2}$，再应用幂法则即可得到该结果。

**例题:** 设$f''(x) = 2\cos x + 12x^2$，已知$f'(0) = 2$，$f(0) = 5$。(a) 求通式$f'(x)$，(b) 求特定$f'(x)$，(c) 求特定$f(x)$。

1. 对$f''(x)$积分得到通式$f'(x)$：

   $$f'(x) = \int (2\cos x + 12x^2) dx = 2\sin x + 4x^3 + C$$
2. 代入$f'(0) = 2$求解$C$：

   $$f'(0) = 0 + 0 + C = 2 \implies C = 2 \implies f'(x) = 2\sin x + 4x^3 + 2$$
3. 对$f'(x)$积分得到通式$f(x)$：

   $$f(x) = \int (2\sin x + 4x^3 + 2) dx = -2\cos x + x^4 + 2x + K$$
4. 代入$f(0) = 5$求解$K$：

   $$f(0) = -2(1) + K = 5 \implies K=7 \implies f(x) = x^4 - 2\cos x + 2x + 7$$

**例题:** 抛射体的速度为$v(t) = 3t^2 - 2t + 4$ m/s。$t=0$时初始位置为10 m。求位置函数$s(t)$和$t=3$ s时的位置。

1. 位置是速度的原函数：

   $$s(t) = \int (3t^2 - 2t + 4) dt$$
2. 应用幂法则得到通式：

   $$s(t) = t^3 - t^2 + 4t + C$$
3. 利用初始条件$s(0)=10$得到$C=10$，因此：

   $$s(t) = t^3 - t^2 + 4t + 10$$
4. 代入$t=3$计算：

   $$s(3) = 27 - 9 + 12 + 10 = 40$$
5. $t=3$秒时，抛射体距离原点40米。

## 常见错误

- **错误做法:** 写出$\int x^{-1} dx = \frac{x^{0}}{0} + C$，使答案无定义，或错误地将$\frac{1}{0}$化简为1。
  - 原因: 学生盲目应用幂法则，忘记了$n=-1$是例外情况。
  - 正确做法: 应用幂法则前一定要检查$n$是否等于-1；如果是，改用$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$。
- **错误做法:** 将初始条件代入原被积函数$f(x)$而非一般原函数来求解$C$。例如，已知$f(x)=6x^2$和$F(1)=10$，错误计算为$6(1)^2=10+C$得到$C=-4$。
  - 原因: 学生混淆了被积函数和它的原函数。
  - 正确做法: 一定要先求出一般原函数，再将给定的$x$值代入一般原函数求解$C$。
- **错误做法:** 省略$\ln|x|+C$中的绝对值，错写为$\ln x + C$。
  - 原因: 学生记住了法则，但忘记$\frac{1}{x}$的定义域包含负$x$。
  - 正确做法: 对于$\int \frac{1}{x} dx$，一定要在对数的真数外加绝对值，即使题目没有指定定义域，这样才能在自由问答题中拿到满分。
- **错误做法:** 写出$\int (2x+1)^2 dx = \frac{(2x+1)^3}{3} + C$，没有考虑$x$的内层系数。
  - 原因: 学生在学习换元法之前直接对复合函数应用基本幂法则。
  - 正确做法: 如果只使用基本积分法则，就先展开多项式幂，或者等学习换元法后再积分非基本复合函数。
- **错误做法:** 给每一项都加一个单独的积分常数，例如错写为$\int 4x^3 - 2x dx = x^4 + C_1 - x^2 + C_2$。
  - 原因: 学生认为每个项都需要自己的常数。
  - 正确做法: 只需要在整个原函数的末尾加一个积分常数$+C$即可，因为多个任意常数的和仍然是一个任意常数。
- **错误做法:** 错写为$\int 2^x dx = \frac{2^x}{2} + C$。
  - 原因: 学生混淆了多项式的幂法则和指数函数的积分法则。
  - 正确做法: 记住$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$；分母是底数的自然对数，不是底数本身。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 一般不定积分 | $\int f(x) dx = F(x) + C$, where $F'(x)=f(x)$ | 每个完整积分仅含一个$+C$；$C$为任意常数 |
| 幂法则 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | 仅适用于$n \neq -1$；先将根号/倒数改写为幂次形式 |
| 倒数法则 | $\int \frac{1}{x} dx = \ln\|x\| + C$ | 保留绝对值以覆盖负$x$的情况 |
| 常数倍法则 | $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ | 对任意实常数$k$都成立 |
| 和差法则 | $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ | 拆分积分后分别应用基本法则 |
| 指数法则 | $\int e^x dx = e^x + C$; $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ | $a>0, a \neq 1$；不要与多项式幂法则混淆 |
| 基本三角法则1 | $\int \cos x dx = \sin x + C$; $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | 记住正弦的原函数带有负号 |
| 基本三角法则2 | $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$; $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ | 所有法则都是求导法则的逆运算 |

## 下一步

掌握本主题的基本原函数法则是AP微积分AB所有后续积分主题必不可少的前提。接下来你将学习换元法，这是积分复合函数的核心技巧，它完全依赖你在完成换元步骤后快速回忆并应用这些基本原函数法则的能力。如果不能熟练掌握这些法则，你就无法专注于换元的逻辑，甚至在常规题目中也会频繁出现计算错误。本主题也是求解可分离微分方程、计算累积变化、求曲线间面积、求解运动学问题的基础——这些都是AP考试中占分很高的内容。

- [换元积分法（u换元）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-integration-by-substitution/)
- [多项式长除法与配方法积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-integration-with-long-division-and/)
- [反导数求解方法的选择](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-selecting-techniques-for-antidifferentiation/)

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