求解最优化问题

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 第5单元微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 1. 最优化问题简介★★☆☆☆⏱ 2 min

最优化问题是应用型的绝对极值问题，要求你在给定约束条件下，求得现实世界物理量（面积、体积、利润、时间）的最大或最小可能值。与直接给出函数的抽象极值问题不同，求解最优化问题需要你先将文字题转化为单变量目标函数，再寻找绝对极值。

该主题在AP 微积分 AB 考试的选择题和自由作答题部分都经常出现，通常作为占多分数值的多小问FRQ，属于第5单元15-18%的考试分值占比范围。

📘 定义

最优化问题

在固定约束条件下，求情境化物理量最大值或最小值的应用型极值问题。

例:

求周长固定的矩形的最大面积是一道经典的最优化问题。

2. 2. 建立目标函数与约束条件★★★☆☆⏱ 3 min

最优化问题最具挑战性的步骤就是将文字描述正确转化为数学方程。每道最优化问题都有两个不可或缺的核心组成部分。

明确定义所有变量，标注每个变量代表的含义（适用时注明单位）
将目标物理量写为所有变量的函数
利用约束条件将一个变量用另一个变量表示，代入目标函数得到单变量函数
根据问题的物理约束条件求目标函数的有效定义域

📐 例题

你有120英尺长的围栏，要沿着笔直的河岸围一块矩形围栏，河岸不需要围栏。建立求围栏最大面积的目标函数，并写出正确的定义域。

1
定义变量：设 $x$ = 垂直于河岸的每侧围栏长度， $y$ = 平行于河岸的围栏长度。所有长度都为正： $x > 0, y > 0$ 。
2
目标：最大化面积 $A = x y$ 。
3
约束：总围栏长度为120英尺，因此 $2 x + y = 120$ 。
4
从约束条件解出 $y$ ：
5
$y = 120 - 2x$
6
代入得到单变量目标函数：
7
$A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$
8
求定义域：由于 $x > 0$ 且 $y = 120 - 2 x > 0$ ，可得 $0 < x < 60$ 。
9
最终结果：目标函数 $A (x) = 120 x - 2 x^{2}$ ，定义域 $(0, 60)$ 。

Exam tip:

求导前一定要先明确求出定义域。情境问题几乎总是存在对最终答案至关重要的定义域限制，跳过这一步会得到无效结果。

3. 3. 最优化的闭区间法★★★☆☆⏱ 3 min

如果目标函数在闭有界区间 $[a, b]$ 上连续，极值定理保证该函数在区间上同时存在绝对最大值和绝对最小值。闭区间法是寻找这些绝对极值最直接、最可靠的方法，也是AP考试中最常考的方法。

确认目标函数在 $[a, b]$ 上连续（AP问题中几乎总是成立）
求开区间 $(a, b)$ 内 $f (x)$ 的所有临界点
在每个临界点和两个端点 $x = a$ 和 $x = b$ 处计算 $f (x)$ 的值
最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值

📐 例题

沿用前一节的围栏问题： $A (x) = 120 x - 2 x^{2}$ ，定义域为 $[0, 60]$ ，求围栏的最大可能面积。

1
确认连续性： $A (x)$ 是多项式，因此在 $[0, 60]$ 上连续，极值定理适用。
2
求临界点：计算一阶导数：
3
$A'(x) = 120 - 4x$
4
令导数等于零：
5
$120 - 4x = 0 \implies x=30$
6
区间内有一个临界点在 $x = 30$ 。
7
计算所有候选点的 $A (x)$ 值： $A (0) = 0$ ， $A (30) = 1800$ ， $A (60) = 0$
8
最大的值是1800，因此最大面积为1800平方英尺。

Exam tip:

即使临界点明显就是最大值，你仍必须计算端点的值才能在FRQ中获得满分。AP阅卷官要求明确证明内点的值大于端点。

4. 4. 开区间上的最优化★★★☆☆⏱ 3 min

许多最优化问题的定义域是开区间（例如 $0 < x < \infty$ ），或者只有一个端点。这种情况下，极值定理不保证存在绝对极值，但对于几乎所有AP情境问题，定义域内恰好只有一个临界点。我们可以使用一阶或二阶导数测试来证明这个临界点就是绝对极值。

一阶导数测试：若函数在 $c$ 左侧递增、右侧递减 → 绝对最大值；若在 $c$ 左侧递减、右侧递增 → 绝对最小值
二阶导数测试：若 $f^{''} (c) < 0$ （下凹） → 绝对最大值；若 $f^{''} (c) > 0$ （上凹） → 绝对最小值

📐 例题

一家小企业售卖定制手机壳，生产 $x$ 个手机壳的日利润为 $P (x) = - 0.5 x^{2} + 35 x - 150$ ， $x > 0$ 。求最大可能日利润。

1
定义域为 $(0, \infty)$ ，是开区间，因此我们使用二阶导数测试。
2
求临界点：一阶导数为：
3
$P'(x) = -x + 35$
4
令导数等于零：
5
$-x + 35 = 0 \implies x=35$
6
$x = 35$ 是定义域内唯一的临界点。
7
二阶导数为：
8
$P''(x) = -1$
9
对所有 $x$ 都有 $P^{''} (x) < 0$ ，因此 $x = 35$ 是局部最大值。由于它是唯一的临界点，因此它就是绝对最大值。
10
计算利润：
11
$P(35) = -0.5(35)^2 + 35(35) - 150 = 462.5$
12
最终结果：最大日利润是 $462.50。

Exam tip:

如果定义域内只有一个临界点，一定要根据测试结果明确说明它就是绝对极值——这是FRQ获得满分的必要步骤。

5. 5. 更多AP风格求解示例★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

你有80米长的围栏，要围一块四边都需要围栏的矩形花园。花园的最大可能面积是多少？
A) $200 m^{2}$ B) $300 m^{2}$ C) $400 m^{2}$ D) $1600 m^{2}$

1
定义变量： $x$ = 一条边的长度， $y$ = 邻边长度。目标：最大化 $A = x y$ 。约束：周长 = 80 → $y = 40 - x$ 。定义域 $[0, 40]$ 。
2
目标函数：
3
$A(x) = x(40 - x) = 40x - x^2$
4
求临界点：
5
$A'(x) = 40 - 2x = 0 \implies x=20$
6
计算候选点值： $A (0) = 0$ ， $A (20) = 400$ ， $A (40) = 0$ 。最大面积为 $400 m^{2}$ ，正确答案是C。

📐 例题

要制作一个无盖纸板盒，方法是从一块10英寸×15英寸的纸板的每个角剪下边长为 $x$ 的相等正方形，然后折起侧边。(a) 写出 $V (x)$ 并说明其定义域。(b) 求临界点并分类。(c) 求最大体积并给出证明。

1
(a)问：裁剪后，底面尺寸为 $(15 - 2 x)$ × $(10 - 2 x)$ ，高为 $x$ 。体积为：
2
$V(x) = x(15-2x)(10-2x) = 4x^3 - 50x^2 + 150x$
3
所有边长都为正 → 定义域为 $[0, 5]$ 。
4
(b)问：一阶导数为：
5
$V'(x) = 12x^2 - 100x + 150$
6
二次求根公式得到根为 $x = \frac{25 \pm 5 7}{6}$ ，只有 $x \approx 1.96$ 在定义域内。 $V^{''} (1.96) \approx - 53 < 0$ ，因此它是局部最大值。端点处体积为0，是最小值。
7
(c)问：根据闭区间法， $V (1.96) \approx 132$ 立方英寸，大于端点值。因此最大体积约为132立方英寸。

📐 例题

一位徒步者离一条笔直的铺装公路有2英里远。他越野的速度是4英里每小时，公路上的速度是5英里每小时。他要到达离公路上最近点6英里远的停车场，求最小可能的行程时间。

1
设 $x$ = 公路上最近点到越野出口点的距离。越野距离为 $x^{2} + 4$ ，公路距离为 $6 - x$ 。定义域为 $[0, 6]$ 。
2
时间 = 距离/速度，因此：
3
$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{6-x}{5}$
4
令导数为零得： $\frac{x}{4 x ^{2} + 4} = \frac{1}{5}$ → 求解得 $x = \frac{8}{3} \approx 2.67$ ，在定义域内。
5
计算候选点值： $T (0) = 1.7$ 小时， $T (8/3) = 1.5$ 小时， $T (6) \approx 1.58$ 小时。最小时间为1.5小时（90分钟）。

6. 常见陷阱

错误做法:

忘记将目标函数的定义域限制为物理有效值，例如允许边长为负。

原因:

学生建立函数后急于求导，跳过了定义域步骤，导致检验了无效的 $x$ 值。

正确做法:

建立目标函数后、开始寻找临界点前，一定要明确写出定义域。

错误做法:

找到临界点后就停止，不证明它就是绝对最大/最小值，尤其是在开区间上。

原因:

学生假设任何临界点都是所求极值，不给出证明，这会在FRQ中失分。

正确做法:

对于闭区间，在端点和临界点计算 $f (x)$ 的值；对于开区间，应用一阶或二阶导数测试，明确得出它就是绝对极值的结论。

错误做法:

对错误的物理量求最大或最小值，例如在围栏问题中最大化边长而非面积。

原因:

学生误读题目描述，混淆了目标和约束。

正确做法:

第一次读题时，下划线标出题目要求你最大化/最小化的物理量，并用该物理量清晰标注你的目标函数。

错误做法:

代入后目标函数仍保留为二元函数。

原因:

学生代入时粗心，没有检查所有额外变量都已消去。

正确做法:

代入后，确认你的目标函数只有一个自变量，没有剩余其他变量。

错误做法:

忘记绝对极值可以出现在定义域的端点，即使端点不是临界点。

原因:

学生只检验临界点，跳过端点，当最大/最小值在边界时就会得到错误答案。

正确做法:

对于闭区间，一定要将端点加入你需要计算的候选点列表。

错误做法:

当 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在时仍使用二阶导数测试。

原因:

学生过度推广二阶导数测试，忘记了它的局限性。

正确做法:

如果 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在，改用一阶导数测试对临界点分类。

7. 速查表

类别	公式/步骤	说明
目标函数	$f (x)$ = 待最大化/最小化的物理量	代入约束后必须是单变量
约束条件	变量间的固定关系	用于消去额外变量；不要与目标混淆
闭区间法	求临界点；2. 在临界点+端点计算 $f$ 的值；3. 选出最大/最小值	仅适用于闭有界区间上的连续函数；AP FRQ获得满分的要求
开区间一阶导数测试	$c$ 左侧递增、右侧递减 → 绝对最大值；左侧递减、右侧递增 → 绝对最小值	开定义域内恰好有一个临界点时使用
开区间二阶导数测试	$f^{''} (c) < 0$ → 绝对最大值； $f^{''} (c) > 0$ → 绝对最小值	仅在 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c) \neq = 0$ 时适用； $f^{''} (c) = 0$ 时使用一阶导数
定义域限制	$x$ 必须满足物理约束	所有长度、面积、数量都为正；求极值前必须确定定义域
极值定理	$[a, b]$ 上的连续函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上存在绝对最大值和最小值	保证闭区间最优化问题存在极值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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official syllabusAP 微积分 AB 课程与考试描述官方主题参考

下一步

求解最优化问题是第5单元「微分的分析应用」的核心应用技能终点。掌握最优化后，你接下来会把「将情境转化为数学方程」的相同核心技能应用到相关变化率问题中，这类问题需要隐函数求导来求解未知变化率。如果没有掌握本主题中的变量定义、方程建立和基于导数的极值分类，相关变化率和其他应用型导数问题会更难正确求解。最优化也建立在你第5单元前面学到的极值概念之上，为你后续AP 微积分 AB 课程中积分应用（例如从边际成本函数求总利润）做好准备。