# 求解最优化问题

> AP 微积分 AB · 微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-solving-optimization-problems/

本模块讲解AP 微积分 AB 最优化问题的核心求解技巧，包括建立目标函数、应用定义域限制、使用闭区间法，以及针对选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）的极值检验方法。

**先修:** 计算常见函数的一阶和二阶导数; [求函数的临界点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-extreme-value-theorem/); [检验局部极值和绝对极值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-extreme-value-theorem/)

## 学习目标

- 将情境化最优化文字题转化为具有有效定义域的单变量目标函数
- 应用闭区间法求闭区间上的绝对极值
- 使用一阶和二阶导数测试求开区间上的绝对极值
- 识别并规避AP风格最优化问题中的常见考试陷阱

## 1. 最优化问题简介

最优化问题是应用型的绝对极值问题，要求你在给定约束条件下，求得现实世界物理量（面积、体积、利润、时间）的最大或最小可能值。与直接给出函数的抽象极值问题不同，求解最优化问题需要你先将文字题转化为单变量目标函数，再寻找绝对极值。

该主题在AP 微积分 AB 考试的选择题和自由作答题部分都经常出现，通常作为占多分数值的多小问FRQ，属于第5单元15-18%的考试分值占比范围。

**最优化问题** — 在固定约束条件下，求情境化物理量最大值或最小值的应用型极值问题。

*例:* 求周长固定的矩形的最大面积是一道经典的最优化问题。

## 2. 建立目标函数与约束条件

最优化问题最具挑战性的步骤就是将文字描述正确转化为数学方程。每道最优化问题都有两个不可或缺的核心组成部分。

1. 明确定义所有变量，标注每个变量代表的含义（适用时注明单位）
2. 将目标物理量写为所有变量的函数
3. 利用约束条件将一个变量用另一个变量表示，代入目标函数得到单变量函数
4. 根据问题的物理约束条件求目标函数的有效定义域

**例题:** 你有120英尺长的围栏，要沿着笔直的河岸围一块矩形围栏，河岸不需要围栏。建立求围栏最大面积的目标函数，并写出正确的定义域。

1. 定义变量：设$x$ = 垂直于河岸的每侧围栏长度，$y$ = 平行于河岸的围栏长度。所有长度都为正：$x>0, y>0$。
2. 目标：最大化面积 $A = xy$。
3. 约束：总围栏长度为120英尺，因此 $2x + y = 120$。
4. 从约束条件解出$y$：
5. $$y = 120 - 2x$$
6. 代入得到单变量目标函数：
7. $$A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$$
8. 求定义域：由于 $x>0$ 且 $y=120-2x>0$，可得 $0 < x < 60$。
9. 最终结果：目标函数 $A(x) = 120x - 2x^2$，定义域 $(0, 60)$。

> **考试提示:** 求导前一定要先明确求出定义域。情境问题几乎总是存在对最终答案至关重要的定义域限制，跳过这一步会得到无效结果。

## 3. 最优化的闭区间法

如果目标函数在闭有界区间 $[a,b]$ 上连续，极值定理保证该函数在区间上同时存在绝对最大值和绝对最小值。闭区间法是寻找这些绝对极值最直接、最可靠的方法，也是AP考试中最常考的方法。

1. 确认目标函数在$[a,b]$上连续（AP问题中几乎总是成立）
2. 求开区间$(a,b)$内$f(x)$的所有临界点
3. 在每个临界点和两个端点$x=a$和$x=b$处计算$f(x)$的值
4. 最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值

**例题:** 沿用前一节的围栏问题：$A(x) = 120x - 2x^2$，定义域为$[0,60]$，求围栏的最大可能面积。

1. 确认连续性：$A(x)$是多项式，因此在$[0,60]$上连续，极值定理适用。
2. 求临界点：计算一阶导数：
3. $$A'(x) = 120 - 4x$$
4. 令导数等于零：
5. $$120 - 4x = 0 \implies x=30$$
6. 区间内有一个临界点在$x=30$。
7. 计算所有候选点的$A(x)$值：$A(0) = 0$，$A(30) = 1800$，$A(60) = 0$
8. 最大的值是1800，因此最大面积为1800平方英尺。

> **考试提示:** 即使临界点明显就是最大值，你仍必须计算端点的值才能在FRQ中获得满分。AP阅卷官要求明确证明内点的值大于端点。

## 4. 开区间上的最优化

许多最优化问题的定义域是开区间（例如$0 < x < \infty$），或者只有一个端点。这种情况下，极值定理不保证存在绝对极值，但对于几乎所有AP情境问题，定义域内恰好只有一个临界点。我们可以使用一阶或二阶导数测试来证明这个临界点就是绝对极值。

- **一阶导数测试**：若函数在$c$左侧递增、右侧递减 → 绝对最大值；若在$c$左侧递减、右侧递增 → 绝对最小值
- **二阶导数测试**：若$f''(c) < 0$（下凹） → 绝对最大值；若$f''(c) > 0$（上凹） → 绝对最小值

**例题:** 一家小企业售卖定制手机壳，生产$x$个手机壳的日利润为$P(x) = -0.5x^2 + 35x - 150$，$x>0$。求最大可能日利润。

1. 定义域为$(0, \infty)$，是开区间，因此我们使用二阶导数测试。
2. 求临界点：一阶导数为：
3. $$P'(x) = -x + 35$$
4. 令导数等于零：
5. $$-x + 35 = 0 \implies x=35$$
6. $x=35$是定义域内唯一的临界点。
7. 二阶导数为：
8. $$P''(x) = -1$$
9. 对所有$x$都有$P''(x) < 0$，因此$x=35$是局部最大值。由于它是唯一的临界点，因此它就是绝对最大值。
10. 计算利润：
11. $$P(35) = -0.5(35)^2 + 35(35) - 150 = 462.5$$
12. 最终结果：最大日利润是 \$462.50。

> **考试提示:** 如果定义域内只有一个临界点，一定要根据测试结果明确说明它就是绝对极值——这是FRQ获得满分的必要步骤。

## 5. 更多AP风格求解示例

**例题:** 你有80米长的围栏，要围一块四边都需要围栏的矩形花园。花园的最大可能面积是多少？<br>A) $200 \text{ m}^2$ B) $300 \text{ m}^2$ C) $400 \text{ m}^2$ D) $1600 \text{ m}^2$

1. 定义变量：$x$ = 一条边的长度，$y$ = 邻边长度。目标：最大化$A = xy$。约束：周长 = 80 → $y = 40 - x$。定义域$[0,40]$。
2. 目标函数：
3. $$A(x) = x(40 - x) = 40x - x^2$$
4. 求临界点：
5. $$A'(x) = 40 - 2x = 0 \implies x=20$$
6. 计算候选点值：$A(0)=0$，$A(20)=400$，$A(40)=0$。最大面积为$400 \text{ m}^2$，正确答案是C。

**例题:** 要制作一个无盖纸板盒，方法是从一块10英寸×15英寸的纸板的每个角剪下边长为$x$的相等正方形，然后折起侧边。(a) 写出$V(x)$并说明其定义域。(b) 求临界点并分类。(c) 求最大体积并给出证明。

1. (a)问：裁剪后，底面尺寸为$(15-2x)$ × $(10-2x)$，高为$x$。体积为：
2. $$V(x) = x(15-2x)(10-2x) = 4x^3 - 50x^2 + 150x$$
3. 所有边长都为正 → 定义域为$[0, 5]$。
4. (b)问：一阶导数为：
5. $$V'(x) = 12x^2 - 100x + 150$$
6. 二次求根公式得到根为$x = \frac{25 \pm 5\sqrt{7}}{6}$，只有$x \approx 1.96$在定义域内。$V''(1.96) \approx -53 < 0$，因此它是局部最大值。端点处体积为0，是最小值。
7. (c)问：根据闭区间法，$V(1.96) \approx 132$立方英寸，大于端点值。因此最大体积约为132立方英寸。

**例题:** 一位徒步者离一条笔直的铺装公路有2英里远。他越野的速度是4英里每小时，公路上的速度是5英里每小时。他要到达离公路上最近点6英里远的停车场，求最小可能的行程时间。

1. 设$x$ = 公路上最近点到越野出口点的距离。越野距离为$\sqrt{x^2 + 4}$，公路距离为$6-x$。定义域为$[0,6]$。
2. 时间 = 距离/速度，因此：
3. $$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{6-x}{5}$$
4. 令导数为零得：$\frac{x}{4\sqrt{x^2+4}} = \frac{1}{5}$ → 求解得$x = \frac{8}{3} \approx 2.67$，在定义域内。
5. 计算候选点值：$T(0) = 1.7$小时，$T(8/3) = 1.5$小时，$T(6) \approx 1.58$小时。最小时间为1.5小时（90分钟）。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记将目标函数的定义域限制为物理有效值，例如允许边长为负。
  - 原因: 学生建立函数后急于求导，跳过了定义域步骤，导致检验了无效的$x$值。
  - 正确做法: 建立目标函数后、开始寻找临界点前，一定要明确写出定义域。
- **错误做法:** 找到临界点后就停止，不证明它就是绝对最大/最小值，尤其是在开区间上。
  - 原因: 学生假设任何临界点都是所求极值，不给出证明，这会在FRQ中失分。
  - 正确做法: 对于闭区间，在端点和临界点计算$f(x)$的值；对于开区间，应用一阶或二阶导数测试，明确得出它就是绝对极值的结论。
- **错误做法:** 对错误的物理量求最大或最小值，例如在围栏问题中最大化边长而非面积。
  - 原因: 学生误读题目描述，混淆了目标和约束。
  - 正确做法: 第一次读题时，下划线标出题目要求你最大化/最小化的物理量，并用该物理量清晰标注你的目标函数。
- **错误做法:** 代入后目标函数仍保留为二元函数。
  - 原因: 学生代入时粗心，没有检查所有额外变量都已消去。
  - 正确做法: 代入后，确认你的目标函数只有一个自变量，没有剩余其他变量。
- **错误做法:** 忘记绝对极值可以出现在定义域的端点，即使端点不是临界点。
  - 原因: 学生只检验临界点，跳过端点，当最大/最小值在边界时就会得到错误答案。
  - 正确做法: 对于闭区间，一定要将端点加入你需要计算的候选点列表。
- **错误做法:** 当$f''(c) = 0$或$f'(c)$不存在时仍使用二阶导数测试。
  - 原因: 学生过度推广二阶导数测试，忘记了它的局限性。
  - 正确做法: 如果$f''(c) = 0$或$f'(c)$不存在，改用一阶导数测试对临界点分类。

## 速查表

| 类别 | 公式/步骤 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 目标函数 | $f(x)$ = 待最大化/最小化的物理量 | 代入约束后必须是单变量 |
| 约束条件 | 变量间的固定关系 | 用于消去额外变量；不要与目标混淆 |
| 闭区间法 | 1. 求临界点；2. 在临界点+端点计算$f$的值；3. 选出最大/最小值 | 仅适用于闭有界区间上的连续函数；AP FRQ获得满分的要求 |
| 开区间一阶导数测试 | $c$左侧递增、右侧递减 → 绝对最大值；左侧递减、右侧递增 → 绝对最小值 | 开定义域内恰好有一个临界点时使用 |
| 开区间二阶导数测试 | $f''(c) < 0$ → 绝对最大值；$f''(c) > 0$ → 绝对最小值 | 仅在$f'(c)=0$且$f''(c) \neq 0$时适用；$f''(c)=0$时使用一阶导数 |
| 定义域限制 | $x$必须满足物理约束 | 所有长度、面积、数量都为正；求极值前必须确定定义域 |
| 极值定理 | $[a,b]$上的连续函数$f$在$[a,b]$上存在绝对最大值和最小值 | 保证闭区间最优化问题存在极值 |

## 下一步

求解最优化问题是第5单元「微分的分析应用」的核心应用技能终点。掌握最优化后，你接下来会把「将情境转化为数学方程」的相同核心技能应用到相关变化率问题中，这类问题需要隐函数求导来求解未知变化率。如果没有掌握本主题中的变量定义、方程建立和基于导数的极值分类，相关变化率和其他应用型导数问题会更难正确求解。最优化也建立在你第5单元前面学到的极值概念之上，为你后续AP 微积分 AB 课程中积分应用（例如从边际成本函数求总利润）做好准备。

- [中值定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-mean-value-theorem/)
- [隐式关系的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-behaviors-of-implicit-relations/)
- [积分与变化的累积 单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-overview/)

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