绘制f、f'、f''的图像

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分的解析应用· 14 分钟阅读

1. 关联f和f'的关键特征★★☆☆☆⏱ 4 min

一阶导数 $f^{'}$ 给出了 $f$ 在任意点 $x$ 处的切线斜率，因此 $f$ 的每一个关键性质都对应着 $f^{'}$ 的一个图像特征，反之亦然。该考点考察你对导数意义的概念理解，而不只是计算能力。

当 $f$ 在某个区间上单调递增时，所有切线斜率都为正，因此 $f^{'} (x) > 0$ ， $f^{'}$ 的图像位于 $x$ 轴上方。
当 $f$ 在某个区间上单调递减时，所有切线斜率都为负，因此 $f^{'} (x) < 0$ ， $f^{'}$ 的图像位于 $x$ 轴下方。
对于可导函数 $f$ ， $f$ 的局部极值点出现在 $f^{'}$ 穿过 $x$ 轴的位置： $f$ 的局部极大值对应 $f^{'}$ 由正变负， $f$ 的局部极小值对应 $f^{'}$ 由负变正。
对于多项式，求导会使次数降低1次： $n$ 次多项式 $f$ 的导数 $f^{'}$ 是 $n - 1$ 次多项式，这是选择题匹配题中可以快速排错的技巧。

📐 例题

可导三次函数 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 的临界点在 $x = - 2$ 和 $x = 2$ ，利用 $f$ 的图像绘制 $f^{'}$ 的关键特征。

1
首先，确定 $f$ 的递增/递减区间：当 $x < - 2$ 时， $f$ 单调递增，因此 $f^{'} (x) > 0$ ，即 $f^{'}$ 在 $(- \infty, - 2)$ 上位于 $x$ 轴上方。
2
当 $- 2 < x < 2$ 时， $f$ 在该区间上单调递减，因此 $f^{'} (x) < 0$ ， $f^{'}$ 位于 $x$ 轴下方。
3
当 $x > 2$ 时， $f$ 在 $(2, \infty)$ 上单调递增，因此 $f^{'} (x) > 0$ ， $f^{'}$ 位于 $x$ 轴上方。
4
$f^{'}$ 在 $x = - 2$ 和 $x = 2$ 处有 $x$ 截距，对应 $f$ 的临界点。由于 $f$ 是3次多项式， $f^{'}$ 是开口向上的2次抛物线，这和我们的符号分析结果一致。

2. 将f和f'的特征与f''关联起来★★★☆☆⏱ 4 min

二阶导数 $f^{''}$ 是 $f^{'}$ 的导数，因此 $f$ 和 $f^{'}$ 之间的关系同样适用于 $f^{'}$ 和 $f^{''}$ 。此外， $f^{''}$ 反映了原函数 $f$ 的凹凸性，这是一个关键的图像性质。

当 $f$ 为上凹时，图像向上弯曲， $f$ 的斜率递增，因此 $f^{''} (x) > 0$ 。
当 $f$ 为下凹时，图像向下弯曲， $f$ 的斜率递减，因此 $f^{''} (x) < 0$ 。
拐点出现在 $f$ 改变凹凸性的位置，这意味着 $f^{''}$ 在该点处变号。对于二阶可导的 $f$ ，这也意味着 $f^{'}$ 在该横坐标处有一个局部极值。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ ，通过分析 $f^{'}$ 的图像求 $f$ 的拐点横坐标，再用 $f^{''}$ 验证结果。

1
首先计算得 $f^{'} = 4 x^{3} - 12 x$ ，这是一个三次函数， $x$ 截距在 $x = - 3, 0, 3$ 。 $f$ 的拐点对应 $f^{'}$ 的局部极值，因此我们分析 $f^{'}$ 的递增和递减区间。
2
区间测试：当 $x < - 1$ 时 $f^{'}$ 递增，当 $- 1 < x < 1$ 时 $f^{'}$ 递减，当 $x > 1$ 时 $f^{'}$ 再次递增。因此 $f^{'}$ 在 $x = - 1$ 处有局部极大值，在 $x = 1$ 处有局部极小值。
3
由于 $f^{'}$ 在 $x = - 1$ 处由递增变为递减，在 $x = 1$ 处由递减变为递增，因此 $f^{''}$ 在 $x = \pm 1$ 两处都变号，意味着 $f$ 在这些点改变凹凸性。
4
直接验证： $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x^{2} - 1)$ ，它在 $x = \pm 1$ 处穿过 $x$ 轴，且在两处都变号，和我们从 $f^{'}$ 得到的分析结果一致。

3. 根据已知的f'图像绘制f的图像★★★☆☆⏱ 4 min

AP微积分AB非常常见的一道自由作答题会给出 $f^{'}$ 的图像（通常是分段线性的，方便分析）和初始条件 $f (a) = k$ ，然后要求你绘制 $f$ 或者识别它的关键特征。可以遵循以下步骤：

将 $x$ 轴按 $f^{'}$ 的 $x$ 截距分割成区间（这些截距就是 $f$ 的临界点）。
找出每个区间上 $f^{'}$ 的符号，将临界点分类为局部极大值、局部极小值或非极值。
再按 $f^{'}$ 的局部极值进一步分割区间（这些极值就是 $f$ 的拐点），然后找出每个区间上 $f$ 的凹凸性。
利用微积分基本定理计算 $f$ 关键点的 $y$ 值： $f (b) = f (a) + \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x$ ，当 $f^{'}$ 是分段线性时，积分可以简化为几何图形的面积相加。

📐 例题

$f^{'}$ 的图像是一条过 $(0, 4)$ 和 $(2, 0)$ 的直线，已知 $f (0) = 1$ ，绘制 $f$ 的图像并标出所有关键特征。

1
求出 $f^{'}$ 的方程：斜率为 $\frac{0 - 4}{2 - 0} = - 2$ ，因此 $f^{'} (x) = - 2 x + 4$ 。当 $x < 2$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ，因此 $f$ 递增；当 $x > 2$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ，因此 $f$ 递减。临界点在 $x = 2$ 。
2
分类临界点： $f^{'}$ 在 $x = 2$ 处由正变负，因此 $f$ 在 $x = 2$ 处有局部极大值。计算 $y$ 值：
3
$f(2) = f(0) + \text{area under } f' \text{ from } 0 \text{ to } 2 = 1 + \frac{(2)(4)}{2} = 5$
4
因此局部极大值点在 $(2, 5)$ 。求凹凸性： $f^{''} (x)$ 等于 $f^{'}$ 的恒定斜率 $- 2$ ，始终为负，因此 $f$ 始终是下凹的，没有拐点。
5
最终绘制：从 $(0, 1)$ 出发，以递减的斜率上升到 $(2, 5)$ ，然后以越来越负的斜率下降，整个图像始终保持下凹。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对核心关系的理解：

二阶可导函数 $f$ 在 $x = 3$ 处有局部极小值，在 $x = - 1$ 处凹凸性从下凹变为上凹，下列哪项一定正确？
- A) $f^{'} (3) = 0$ and $f^{''} (- 1) > 0$
- B) $f^{'} (3) = 0$ , $f^{''} (- 1) = 0$ , and $f^{''}$ changes from negative to positive at $x = - 1$
- C) $f^{'} (3) > 0$ , $f^{''} (- 1) = 0$ , and $f^{''}$ changes from negative to positive at $x = - 1$
- D) $f^{'} (3) = 0$ , $f^{''} (- 1) = 0$ , and $f^{''}$ changes from positive to negative at $x = - 1$
显示答案
1 —
可导函数的任何局部极值都满足 $f^{'} (x) = 0$ ，因此排除选项C。凹凸性从下凹变为上凹意味着 $f^{''}$ 在拐点处由负变正，因此B是正确答案。

5. 常见陷阱

错误做法:

在f'的x截距处寻找f的拐点

原因:

学生混淆了f的临界点（即f'的x截距）和f的拐点（即f''的x截距或f'的局部极值）。

正确做法:

记住：f'的x截距 = f的临界点；f'的局部极值 = f的拐点。

错误做法:

仅仅因为f''(c) = 0就认为f在x=c处一定有拐点

原因:

拐点要求f''变号，不只是值为零。例如， $f (x) = x^{4}$ 有 $f^{''} (0) = 0$ 但没有变号，因此没有拐点。

正确做法:

找到f''(c)=0后，一定要确认f''在x=c附近变号，才能确定是拐点。

错误做法:

从f推导f'时颠倒符号：f递增时标记f'为负

原因:

考试的时间压力导致反向推导时关系颠倒。

正确做法:

开始做匹配题前，在草稿纸顶部写下基本规则：'f递增 → f'为正，f递减 → f'为负'。

错误做法:

从f'绘制f时，在f'的x截距处画拐点

原因:

这源于时间压力下混淆了临界点和拐点。

正确做法:

从f'绘制f时，在f'的局部极大值/极小值处标记f的拐点，而不是在f'的x截距处。

错误做法:

认为三次函数f的导数f'也一定是三次的

原因:

学生忘记求导会使多项式的次数降低1。

正确做法:

做多项式匹配题时，先检查f的次数，排除所有次数错误的f'选项。

6. 速查表

类别	关系	注释
f的单调性与f'	$f$ increasing on $I ⟺ f^{'} (x) > 0$ for all $x \in I$ ; $f$ decreasing on $I ⟺ f^{'} (x) < 0$ for all $x \in I$	适用于所有可导f；f为常数 $⟺ f^{'} (x) = 0$
f的局部极值	Local extremum at $x = c ⟹ f^{'} (c) = 0$ for differentiable f. Local max: f' changes + to -; Local min: f' changes - to +	f'的x截距不能保证一定是极值；必须有变号
f的凹凸性与f''	$f$ concave up on $I ⟺ f^{''} (x) > 0$ for all $x \in I$ ; $f$ concave down on $I ⟺ f^{''} (x) < 0$ for all $x \in I$	上凹：切线位于f下方；下凹：切线位于f上方
f的拐点	Inflection point at $x = c ⟺$ f changes concavity at $c ⟺$ f'' changes sign at $c ⟺$ f' has local extremum at $c$	$f^{''} (c) = 0$ alone is not sufficient; a sign change is required
由f'求f的y值	$f (b) = f (a) + \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x$	对于分段线性f'，用三角形/矩形的几何面积计算积分
多项式次数关系	If f is degree $n$ , f' is degree $n - 1$ , f'' is degree $n - 2$	可用于在选择题匹配题中排除错误选项
变号总结	Local extremum of f: f' changes sign; Inflection point of f: f'' changes sign	Always check for sign changes, not just zero values

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
将f的图像与f'匹配
2022 · FRQ
已知f'和初始条件绘制f的图像

下一步

本主题是AP微积分AB中所有后续导数学习和图像分析的概念基础。接下来，你会把这些关系应用到单变量函数的完整曲线绘制和最优化问题中，也就是通过分类临界点来求解实际问题中函数的最大值或最小值。如果不掌握 $f$ 、 $f^{'}$ 和 $f^{''}$ 特征之间的对应关系，你就无法在最优化问题中正确分类极值、解读结果，而最优化是AP考试中占分很高的常见FRQ考点。这个技巧也可以直接用到积分学习中，你会反复利用这里练习的面积计算和特征映射方法，根据导数图像绘制原函数（反导数）图像。