# 绘制f、f'、f''的图像

> AP 微积分 AB · 微分的解析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-sketching-graphs-of-f-f/

本模块讲解函数$f$、一阶导数$f'$和二阶导数$f''$之间的图像关系，包括如何匹配图像、识别关键特征，以及根据另一函数的信息绘制对应图像，这是AP微积分AB中考察频率很高的考点。

**先修:** 计算常见函数的一阶和二阶导数; 通过导数判别法分类临界点和拐点; 识别核心图像特征（截距、斜率）

## 学习目标

- 将f的关键图像特征与f'和f''关联
- 在导数图像中识别极值点和拐点
- 已知f'的图像和初始条件绘制f的图像
- 解决本主题常见的AP考试匹配题和自由作答题

## 关联f和f'的关键特征

一阶导数$f'$给出了$f$在任意点$x$处的切线斜率，因此$f$的每一个关键性质都对应着$f'$的一个图像特征，反之亦然。该考点考察你对导数意义的概念理解，而不只是计算能力。

- 当$f$在某个区间上单调递增时，所有切线斜率都为正，因此$f'(x) > 0$，$f'$的图像位于$x$轴上方。
- 当$f$在某个区间上单调递减时，所有切线斜率都为负，因此$f'(x) < 0$，$f'$的图像位于$x$轴下方。
- 对于可导函数$f$，$f$的局部极值点出现在$f'$穿过$x$轴的位置：$f$的局部极大值对应$f'$由正变负，$f$的局部极小值对应$f'$由负变正。
- 对于多项式，求导会使次数降低1次：$n$次多项式$f$的导数$f'$是$n-1$次多项式，这是选择题匹配题中可以快速排错的技巧。

**例题:** 可导三次函数$f(x) = x^3 - 12x$的临界点在$x=-2$和$x=2$，利用$f$的图像绘制$f'$的关键特征。

1. 首先，确定$f$的递增/递减区间：当$x < -2$时，$f$单调递增，因此$f'(x) > 0$，即$f'$在$(-\infty, -2)$上位于$x$轴上方。
2. 当$-2 < x < 2$时，$f$在该区间上单调递减，因此$f'(x) < 0$，$f'$位于$x$轴下方。
3. 当$x > 2$时，$f$在$(2, \infty)$上单调递增，因此$f'(x) > 0$，$f'$位于$x$轴上方。
4. $f'$在$x=-2$和$x=2$处有$x$截距，对应$f$的临界点。由于$f$是3次多项式，$f'$是开口向上的2次抛物线，这和我们的符号分析结果一致。

> **tip**
>
> 做选择题匹配题时，先根据f的单调性判断f'的符号——这可以直接排除2-3个错误选项，在考场上节省时间。

## 将f和f'的特征与f''关联起来

二阶导数$f''$是$f'$的导数，因此$f$和$f'$之间的关系同样适用于$f'$和$f''$。此外，$f''$反映了原函数$f$的凹凸性，这是一个关键的图像性质。

- 当$f$为上凹时，图像向上弯曲，$f$的斜率递增，因此$f''(x) > 0$。
- 当$f$为下凹时，图像向下弯曲，$f$的斜率递减，因此$f''(x) < 0$。
- 拐点出现在$f$改变凹凸性的位置，这意味着$f''$在该点处变号。对于二阶可导的$f$，这也意味着$f'$在该横坐标处有一个局部极值。

**例题:** 已知$f(x) = x^4 - 6x^2$，通过分析$f'$的图像求$f$的拐点横坐标，再用$f''$验证结果。

1. 首先计算得$f' = 4x^3 - 12x$，这是一个三次函数，$x$截距在$x=-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$。$f$的拐点对应$f'$的局部极值，因此我们分析$f'$的递增和递减区间。
2. 区间测试：当$x < -1$时$f'$递增，当$-1 < x < 1$时$f'$递减，当$x > 1$时$f'$再次递增。因此$f'$在$x=-1$处有局部极大值，在$x=1$处有局部极小值。
3. 由于$f'$在$x=-1$处由递增变为递减，在$x=1$处由递减变为递增，因此$f''$在$x=\pm 1$两处都变号，意味着$f$在这些点改变凹凸性。
4. 直接验证：$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1)$，它在$x=\pm 1$处穿过$x$轴，且在两处都变号，和我们从$f'$得到的分析结果一致。

> **tip**
>
> 如果题目要求根据$f'$的图像找$f$的拐点，一定要找$f'$的局部极值点，而不是$f'$的$x$截距——这是这类题目最常见的错误。

## 根据已知的f'图像绘制f的图像

AP微积分AB非常常见的一道自由作答题会给出$f'$的图像（通常是分段线性的，方便分析）和初始条件$f(a) = k$，然后要求你绘制$f$或者识别它的关键特征。可以遵循以下步骤：

1. 将$x$轴按$f'$的$x$截距分割成区间（这些截距就是$f$的临界点）。
2. 找出每个区间上$f'$的符号，将临界点分类为局部极大值、局部极小值或非极值。
3. 再按$f'$的局部极值进一步分割区间（这些极值就是$f$的拐点），然后找出每个区间上$f$的凹凸性。
4. 利用微积分基本定理计算$f$关键点的$y$值：$f(b) = f(a) + \int_a^b f'(x) dx$，当$f'$是分段线性时，积分可以简化为几何图形的面积相加。

**例题:** $f'$的图像是一条过$(0, 4)$和$(2, 0)$的直线，已知$f(0) = 1$，绘制$f$的图像并标出所有关键特征。

1. 求出$f'$的方程：斜率为$\frac{0-4}{2-0} = -2$，因此$f'(x) = -2x + 4$。当$x < 2$时，$f'(x) > 0$，因此$f$递增；当$x > 2$时，$f'(x) < 0$，因此$f$递减。临界点在$x=2$。
2. 分类临界点：$f'$在$x=2$处由正变负，因此$f$在$x=2$处有局部极大值。计算$y$值：
3. $$f(2) = f(0) + \text{area under } f' \text{ from } 0 \text{ to } 2 = 1 + \frac{(2)(4)}{2} = 5$$
4. 因此局部极大值点在$(2, 5)$。求凹凸性：$f''(x)$等于$f'$的恒定斜率$-2$，始终为负，因此$f$始终是下凹的，没有拐点。
5. 最终绘制：从$(0, 1)$出发，以递减的斜率上升到$(2, 5)$，然后以越来越负的斜率下降，整个图像始终保持下凹。

> **tip**
>
> 当$f'$是分段线性时，始终用几何面积法求$f$的$y$值，不要积分——考场上这种方法更快，也更不容易出错。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对核心关系的理解：

1. 二阶可导函数$f$在$x=3$处有局部极小值，在$x=-1$处凹凸性从下凹变为上凹，下列哪项一定正确？

   - A) $f'(3) = 0$ and $f''(-1) > 0$
   - B) $f'(3) = 0$, $f''(-1) = 0$, and $f''$ changes from negative to positive at $x=-1$
   - C) $f'(3) > 0$, $f''(-1) = 0$, and $f''$ changes from negative to positive at $x=-1$
   - D) $f'(3) = 0$, $f''(-1) = 0$, and $f''$ changes from positive to negative at $x=-1$

   *答案:* B) $f'(3) = 0$, $f''(-1) = 0$, and $f''$ changes from negative to positive at $x=-1$

   *解析:* 可导函数的任何局部极值都满足$f'(x)=0$，因此排除选项C。凹凸性从下凹变为上凹意味着$f''$在拐点处由负变正，因此B是正确答案。

## 常见错误

- **错误做法:** 在f'的x截距处寻找f的拐点
  - 原因: 学生混淆了f的临界点（即f'的x截距）和f的拐点（即f''的x截距或f'的局部极值）。
  - 正确做法: 记住：f'的x截距 = f的临界点；f'的局部极值 = f的拐点。
- **错误做法:** 仅仅因为f''(c) = 0就认为f在x=c处一定有拐点
  - 原因: 拐点要求f''变号，不只是值为零。例如，$f(x) = x^4$有$f''(0) = 0$但没有变号，因此没有拐点。
  - 正确做法: 找到f''(c)=0后，一定要确认f''在x=c附近变号，才能确定是拐点。
- **错误做法:** 从f推导f'时颠倒符号：f递增时标记f'为负
  - 原因: 考试的时间压力导致反向推导时关系颠倒。
  - 正确做法: 开始做匹配题前，在草稿纸顶部写下基本规则：'f递增 → f'为正，f递减 → f'为负'。
- **错误做法:** 从f'绘制f时，在f'的x截距处画拐点
  - 原因: 这源于时间压力下混淆了临界点和拐点。
  - 正确做法: 从f'绘制f时，在f'的局部极大值/极小值处标记f的拐点，而不是在f'的x截距处。
- **错误做法:** 认为三次函数f的导数f'也一定是三次的
  - 原因: 学生忘记求导会使多项式的次数降低1。
  - 正确做法: 做多项式匹配题时，先检查f的次数，排除所有次数错误的f'选项。

## 速查表

| 类别 | 关系 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| f的单调性与f' | $f$ increasing on $I \iff f'(x) > 0$ for all $x \in I$; $f$ decreasing on $I \iff f'(x) < 0$ for all $x \in I$ | 适用于所有可导f；f为常数 $\iff f'(x) = 0$ |
| f的局部极值 | Local extremum at $x=c \implies f'(c) = 0$ for differentiable f. Local max: f' changes + to -; Local min: f' changes - to + | f'的x截距不能保证一定是极值；必须有变号 |
| f的凹凸性与f'' | $f$ concave up on $I \iff f''(x) > 0$ for all $x \in I$; $f$ concave down on $I \iff f''(x) < 0$ for all $x \in I$ | 上凹：切线位于f下方；下凹：切线位于f上方 |
| f的拐点 | Inflection point at $x=c \iff$ f changes concavity at $c \iff$ f'' changes sign at $c \iff$ f' has local extremum at $c$ | $f''(c) = 0$ alone is not sufficient; a sign change is required |
| 由f'求f的y值 | $f(b) = f(a) + \int_a^b f'(x) dx$ | 对于分段线性f'，用三角形/矩形的几何面积计算积分 |
| 多项式次数关系 | If f is degree $n$, f' is degree $n-1$, f'' is degree $n-2$ | 可用于在选择题匹配题中排除错误选项 |
| 变号总结 | Local extremum of f: f' changes sign; Inflection point of f: f'' changes sign | Always check for sign changes, not just zero values |

## 下一步

本主题是AP微积分AB中所有后续导数学习和图像分析的概念基础。接下来，你会把这些关系应用到单变量函数的完整曲线绘制和最优化问题中，也就是通过分类临界点来求解实际问题中函数的最大值或最小值。如果不掌握$f$、$f'$和$f''$特征之间的对应关系，你就无法在最优化问题中正确分类极值、解读结果，而最优化是AP考试中占分很高的常见FRQ考点。这个技巧也可以直接用到积分学习中，你会反复利用这里练习的面积计算和特征映射方法，根据导数图像绘制原函数（反导数）图像。

- [f、f'、f''的定性关系](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-connecting-f-f-f-qualitatively/)
- [最优化问题简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-introduction-to-optimization-problems/)
- [求解最优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-solving-optimization-problems/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-sketching-graphs-of-f-f/