二阶导数测试

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 核心定义与用途★★☆☆☆⏱ 3 min

二阶导数测试是一种对二阶可导函数的临界点进行分类的解析方法，可将其分为局部极大值、局部极小值或无法判定。在AP微积分AB中，该主题属于第5单元，占考试总分的15–18%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由回答题（FRQ）部分。

一阶导数测试需要分析临界点附近 $f^{'} (x)$ 的符号变化，与之不同，二阶导数测试仅需在临界点本身计算二阶导数的值，因此当二阶导数容易计算时，该方法速度更快。但它存在明显的局限性，这是你考试中必须注意的。

2. 正式表述与几何意义★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

$f (x)$ 的临界点是指 $f$ 定义域内满足 $f^{'} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 无定义的点 $x = c$ 。二阶导数测试仅适用于满足 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c)$ 存在的临界点；如果 $f^{'} (c)$ 无定义，那么无论如何你都必须使用一阶导数测试。

📘 定义

局部极值的二阶导数测试

若 $f$ 在 $x = c$ 处二阶可导，且 $f^{'} (c) = 0$ :

若 $f^{''} (c) < 0$ ，则 $f$ 在 $x = c$ 处取得局部极大值
若 $f^{''} (c) > 0$ ，则 $f$ 在 $x = c$ 处取得局部极小值
若 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{''} (c)$ 不存在，则测试无法得出结论

几何意义来自凹凸性：若 $f^{''} (c) < 0$ ，函数在 $c$ 处是凹向下的，在水平切线附近向下弯曲形成一个山峰（局部极大值）。若 $f^{''} (c) > 0$ ，函数是凹向上的，在水平切线附近向上弯曲形成一个山谷（局部极小值）。

📐 例题

已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 。找出所有满足 $f^{'} (c) = 0$ 的临界点，并使用二阶导数测试对它们分类。

1
计算一阶导数并找出临界点
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
2
令 $f^{'} (x) = 0$ ，得到临界点 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，二者都在 $f$ 的定义域内。
3
计算二阶导数
$f''(x) = 6x - 12$
4
计算 $f^{''}$ 在 $x = 1$ 处的值
$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$
5
根据二阶导数测试， $f$ 在 $x = 1$ 处取得局部极大值。
6
计算 $f^{''}$ 在 $x = 3$ 处的值
$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$
7
根据二阶导数测试， $f$ 在 $x = 3$ 处取得局部极小值。最终结果：局部极大值在 $(1, 6)$ ，局部极小值在 $(3, 2)$ 。

Exam tip:

在FRQ中，你必须始终明确将 $f^{''} (c)$ 的符号与你的分类结论关联起来，才能获得满分。

3. 无法判定的情况与解决方法★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

当满足 $f^{'} (c) = 0$ 的临界点处有 $f^{''} (c) = 0$ 时，二阶导数测试无法给出确定结论。这不代表 $x = c$ 处不存在极值：例如， $f (x) = x^{4}$ 满足 $f^{''} (0) = 0$ ，但 $x = 0$ 是局部极小值；而 $f (x) = x^{3}$ 也满足 $f^{''} (0) = 0$ ，但 $x = 0$ 不是极值。

当测试无法得出结论时，AP考试中唯一有效的方法是改用一阶导数测试：检查 $c$ 两侧区间上 $f^{'} (x)$ 的符号。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ ，找出所有临界点，并对二阶导数测试无法判定的点进行分类。

1
一阶导数
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$
2
满足 $f^{'} (x) = 0$ 的临界点是 $x = 0$ 和 $x = 3$ 。
3
二阶导数
$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$
4
先使用二阶导数测试分类
$f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0$
5
这确认了 $x = 3$ 处是局部极小值。
6
计算 $x = 0$ 处的值
$f''(0) = 12(0)(-2) = 0$
7
测试在此处无法得出结论。检查 $x = 0$ 附近 $f^{'} (x)$ 的符号：当 $x < 0$ 时， $f^{'} (- 1) = - 16 < 0$ 。当 $0 < x < 3$ 时， $f^{'} (1) = - 8 < 0$ 。没有符号变化意味着 $x = 0$ 既不是极大值也不是极小值。

Exam tip:

不对无法判定的点进行分类会让你在FRQ中至少丢失一分。

4. 求绝对极值的二阶导数测试★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

根据极值定理，连续函数在闭区间 $[a, b]$ 上的绝对极值要么出现在区间内部的临界点，要么出现在端点。使用二阶导数测试分类局部极值后，你仍然必须比较所有候选点的函数值，才能找到绝对极大值和绝对极小值。

这个流程比使用一阶导数测试分类更快，是AP考试中优化类FRQ最常用的方法。

📐 例题

在闭区间 $[0, 4]$ 上求 $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 的绝对极大值和绝对极小值，使用二阶导数测试对临界点分类。

1
一阶导数
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$
2
$[0, 4]$ 内部的临界点是 $x = 1$ 和 $x = 2$ 。
3
二阶导数
$f''(x) = 12x - 18$
4
对临界点分类
$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0 \implies \text{local maximum at } x=1$
5
$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0 \implies \text{local minimum at } x=2$
6
计算所有候选点（临界点+端点）的 $f (x)$ 值： $f (0) = 0$ ， $f (1) = 5$ ， $f (2) = 4$ ， $f (4) = 32$ 。
7
比较函数值：绝对极小值为 $0$ ，在 $x = 0$ 处；绝对极大值为 $32$ ，在 $x = 4$ 处。

Exam tip:

绝对不要对端点使用二阶导数测试，端点只是绝对极值的候选点。

5. 知识检验★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的知识掌握程度：

函数 $f (x)$ 在全体实数 $x$ 上二阶可导，在 $x = 2$ 处是临界点且 $f^{'} (2) = 0$ 。若 $f^{''} (x) = 3 x^{2} - 10 x + 8$ ，则下列关于 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的说法哪一个正确？
- A) $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得局部极大值
- B) $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得局部极小值
- C) $f (x)$ 在 $x = 2$ 处有一个拐点
- D) 二阶导数测试在 $x = 2$ 处无法得出结论
显示答案
3 —
$f^{''} (2) = 3 (2)^{2} - 10 (2) + 8 = 0$ ，因此测试无法得出结论。 $f^{''} (c) = 0$ 不足以确认拐点，因此选项C错误。

6. 常见陷阱

错误做法:

对 $f^{'} (c)$ 无定义的临界点使用二阶导数测试分类。

原因:

该测试要求 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c)$ 存在才能生效，而临界点可能出现在 $f^{'} (c)$ 无定义处。

正确做法:

始终使用一阶导数测试对 $f^{'} (c)$ 不存在的临界点分类。

错误做法:

当二阶导数测试无法得出结论（ $f^{''} (c) = 0$ ）时，判定 $x = c$ 不是极值。

原因:

无法判定意味着测试不能给出结果，不代表不存在极值。许多极值都满足 $f^{''} (c) = 0$ 。

正确做法:

始终改用一阶导数测试，检查 $c$ 附近 $f^{'} (x)$ 是否发生符号变化。

错误做法:

混淆符号规则：声称 $f^{''} (c) < 0$ 意味着局部极小值（反之亦然）。

原因:

凹凸方向和极值类型的混淆是考试中非常常见的错误。

正确做法:

使用几何意义记忆：凹向下（ $f^{''} < 0$ ）是山峰（局部极大值），凹向上（ $f^{''} > 0$ ）是山谷（局部极小值）。

错误做法:

令 $f^{''} (x) = 0$ 来寻找二阶导数测试的临界点。

原因:

学生混淆了临界点（从一阶导数得到）和拐点（从二阶导数得到）。

正确做法:

始终先令 $f^{'} (x) = 0$ 找到临界点，再将这些 $x$ 值代入 $f^{''} (x)$ 。

错误做法:

在闭区间上求绝对极值时，分类完局部极值就停止，不检查端点。

原因:

学生认为绝对极大值一定是最大的局部极大值，但极值定理说明绝对极值可以出现在端点。

正确做法:

始终列出所有候选点：区间内所有临界点加上两个端点，然后计算所有候选点的 $f$ 值。

7. 速查表

类别	规则/表述	注释
局部极大值规则	若 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c) < 0$ → $x = c$ 处是局部极大值	仅适用于 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c)$ 存在的情况
局部极小值规则	若 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c) > 0$ → $x = c$ 处是局部极小值	要求与局部极大值规则相同
无法判定情况	若 $f^{'} (c) = 0$ 且 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{''} (c)$ 无定义 → 测试无法得出结论	绝不要直接判定没有极值；始终使用一阶导数测试
找临界点步骤	通过解方程 $f^{'} (x) = 0$ 找临界点	不要用 $f^{''} (x) = 0$ 来找测试候选点
$f^{'} (c)$ 无定义	$f^{'} (c)$ 无定义的临界点不能使用二阶导数测试	对这些点使用一阶导数测试
绝对极值候选点	区间内所有临界点 + 区间端点	二阶导数测试仅分类局部极值；始终需要比较函数值
几何记忆法	$f^{''} < 0$ = 凹向下 = 山峰 = 局部极大值； $f^{''} > 0$ = 凹向上 = 山谷 = 局部极小值	用这个方法解决符号混淆错误

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
使用二阶导数测试对临界点分类
2022 · FRQ
在优化问题中证明极值的合理性

下一步

掌握二阶导数测试是所有优化问题的关键前提，而优化问题是AP微积分AB第5单元中考察最多的导数应用。接下来，你将拓展凹凸性和极值的概念，学习识别拐点和凹凸区间，这些内容会定期在MCQ和FRQ部分考察。你还会将二阶导数测试应用于带约束的优化问题，也就是在定义域约束下求实际问题函数的最大值或最小值。如果不能使用二阶导数测试正确分类极值，你就无法正确证明这些问题答案的合理性，而这类问题通常需要明确证明才能获得满分。