# 二阶导数测试

> AP 微积分 AB · 第5单元：微分的解析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-second-derivative-test/

本指南涵盖了AP微积分AB中二阶导数测试的表述、几何意义，及其在局部极值分类、解决无法判定情况和求绝对极值中的应用。

**先修:** [求可导函数的临界点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-critical-points/); 使用基本微分法则计算一阶和二阶导数; 局部极大值和局部极小值的定义

## 学习目标

- 陈述局部极值的二阶导数测试正式定义
- 使用二阶导数测试对临界点分类
- 使用一阶导数测试解决无法判定的情况
- 应用二阶导数测试求闭区间上的绝对极值

## 核心定义与用途

二阶导数测试是一种对二阶可导函数的临界点进行分类的解析方法，可将其分为局部极大值、局部极小值或无法判定。在AP微积分AB中，该主题属于第5单元，占考试总分的15–18%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由回答题（FRQ）部分。

一阶导数测试需要分析临界点附近$f'(x)$的符号变化，与之不同，二阶导数测试仅需在临界点本身计算二阶导数的值，因此当二阶导数容易计算时，该方法速度更快。但它存在明显的局限性，这是你考试中必须注意的。

## 正式表述与几何意义

$f(x)$的临界点是指$f$定义域内满足$f'(c) = 0$或$f'(c)$无定义的点$x=c$。二阶导数测试仅适用于满足$f'(c) = 0$且$f''(c)$存在的临界点；如果$f'(c)$无定义，那么无论如何你都必须使用一阶导数测试。

**局部极值的二阶导数测试** — 若$f$在$x=c$处二阶可导，且$f'(c) = 0$:
1. 若$f''(c) < 0$，则$f$在$x=c$处取得局部极大值
2. 若$f''(c) > 0$，则$f$在$x=c$处取得局部极小值
3. 若$f''(c) = 0$或$f''(c)$不存在，则测试无法得出结论

几何意义来自凹凸性：若$f''(c) < 0$，函数在$c$处是凹向下的，在水平切线附近向下弯曲形成一个山峰（局部极大值）。若$f''(c) > 0$，函数是凹向上的，在水平切线附近向上弯曲形成一个山谷（局部极小值）。

> **mnemonic**
>
> 凹向下 = 山峰（极大值），凹向上 = 山谷（极小值）→ 记住：*下峰上谷*

**例题:** 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$。找出所有满足$f'(c)=0$的临界点，并使用二阶导数测试对它们分类。

1. 计算一阶导数并找出临界点

   $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$
2. 令$f'(x)=0$，得到临界点$x=1$和$x=3$，二者都在$f$的定义域内。
3. 计算二阶导数

   $$f''(x) = 6x - 12$$
4. 计算$f''$在$x=1$处的值

   $$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$$
5. 根据二阶导数测试，$f$在$x=1$处取得局部极大值。
6. 计算$f''$在$x=3$处的值

   $$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$$
7. 根据二阶导数测试，$f$在$x=3$处取得局部极小值。最终结果：局部极大值在$(1, 6)$，局部极小值在$(3, 2)$。

> **考试提示:** 在FRQ中，你必须始终明确将$f''(c)$的符号与你的分类结论关联起来，才能获得满分。

*计算器:* allowed

## 无法判定的情况与解决方法

当满足$f'(c)=0$的临界点处有$f''(c) = 0$时，二阶导数测试无法给出确定结论。这不代表$x=c$处不存在极值：例如，$f(x)=x^4$满足$f''(0)=0$，但$x=0$是局部极小值；而$f(x)=x^3$也满足$f''(0)=0$，但$x=0$不是极值。

当测试无法得出结论时，AP考试中唯一有效的方法是改用一阶导数测试：检查$c$两侧区间上$f'(x)$的符号。

**例题:** 已知$f(x) = x^4 - 4x^3$，找出所有临界点，并对二阶导数测试无法判定的点进行分类。

1. 一阶导数

   $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$
2. 满足$f'(x)=0$的临界点是$x=0$和$x=3$。
3. 二阶导数

   $$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$
4. 先使用二阶导数测试分类

   $$f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0$$
5. 这确认了$x=3$处是局部极小值。
6. 计算$x=0$处的值

   $$f''(0) = 12(0)(-2) = 0$$
7. 测试在此处无法得出结论。检查$x=0$附近$f'(x)$的符号：当$x<0$时，$f'(-1) = -16 < 0$。当$0<x<3$时，$f'(1) = -8 < 0$。没有符号变化意味着$x=0$既不是极大值也不是极小值。

> **考试提示:** 不对无法判定的点进行分类会让你在FRQ中至少丢失一分。

*计算器:* allowed

## 求绝对极值的二阶导数测试

根据极值定理，连续函数在闭区间$[a,b]$上的绝对极值要么出现在区间内部的临界点，要么出现在端点。使用二阶导数测试分类局部极值后，你仍然必须比较所有候选点的函数值，才能找到绝对极大值和绝对极小值。

这个流程比使用一阶导数测试分类更快，是AP考试中优化类FRQ最常用的方法。

**例题:** 在闭区间$[0, 4]$上求$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$的绝对极大值和绝对极小值，使用二阶导数测试对临界点分类。

1. 一阶导数

   $$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$$
2. $[0,4]$内部的临界点是$x=1$和$x=2$。
3. 二阶导数

   $$f''(x) = 12x - 18$$
4. 对临界点分类

   $$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0 \implies \text{local maximum at } x=1$$
5. $$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0 \implies \text{local minimum at } x=2$$
6. 计算所有候选点（临界点+端点）的$f(x)$值：$f(0) = 0$，$f(1) = 5$，$f(2) = 4$，$f(4) = 32$。
7. 比较函数值：绝对极小值为$0$，在$x=0$处；绝对极大值为$32$，在$x=4$处。

> **考试提示:** 绝对不要对端点使用二阶导数测试，端点只是绝对极值的候选点。

*计算器:* allowed

## 知识检验

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的知识掌握程度：

1. 函数$f(x)$在全体实数$x$上二阶可导，在$x=2$处是临界点且$f'(2)=0$。若$f''(x) = 3x^2 - 10x + 8$，则下列关于$f(x)$在$x=2$处的说法哪一个正确？

   - A) $f(x)$在$x=2$处取得局部极大值
   - B) $f(x)$在$x=2$处取得局部极小值
   - C) $f(x)$在$x=2$处有一个拐点
   - D) 二阶导数测试在$x=2$处无法得出结论

   *答案:* D) 二阶导数测试在$x=2$处无法得出结论

   *解析:* $f''(2) = 3(2)^2 - 10(2) + 8 = 0$，因此测试无法得出结论。$f''(c)=0$不足以确认拐点，因此选项C错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 对$f'(c)$无定义的临界点使用二阶导数测试分类。
  - 原因: 该测试要求$f'(c)=0$且$f''(c)$存在才能生效，而临界点可能出现在$f'(c)$无定义处。
  - 正确做法: 始终使用一阶导数测试对$f'(c)$不存在的临界点分类。
- **错误做法:** 当二阶导数测试无法得出结论（$f''(c)=0$）时，判定$x=c$不是极值。
  - 原因: 无法判定意味着测试不能给出结果，不代表不存在极值。许多极值都满足$f''(c)=0$。
  - 正确做法: 始终改用一阶导数测试，检查$c$附近$f'(x)$是否发生符号变化。
- **错误做法:** 混淆符号规则：声称$f''(c) < 0$意味着局部极小值（反之亦然）。
  - 原因: 凹凸方向和极值类型的混淆是考试中非常常见的错误。
  - 正确做法: 使用几何意义记忆：凹向下（$f''<0$）是山峰（局部极大值），凹向上（$f''>0$）是山谷（局部极小值）。
- **错误做法:** 令$f''(x)=0$来寻找二阶导数测试的临界点。
  - 原因: 学生混淆了临界点（从一阶导数得到）和拐点（从二阶导数得到）。
  - 正确做法: 始终先令$f'(x)=0$找到临界点，再将这些$x$值代入$f''(x)$。
- **错误做法:** 在闭区间上求绝对极值时，分类完局部极值就停止，不检查端点。
  - 原因: 学生认为绝对极大值一定是最大的局部极大值，但极值定理说明绝对极值可以出现在端点。
  - 正确做法: 始终列出所有候选点：区间内所有临界点加上两个端点，然后计算所有候选点的$f$值。

## 速查表

| 类别 | 规则/表述 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 局部极大值规则 | 若$f'(c)=0$且$f''(c) < 0$ → $x=c$处是局部极大值 | 仅适用于$f'(c)=0$且$f''(c)$存在的情况 |
| 局部极小值规则 | 若$f'(c)=0$且$f''(c) > 0$ → $x=c$处是局部极小值 | 要求与局部极大值规则相同 |
| 无法判定情况 | 若$f'(c)=0$且$f''(c)=0$或$f''(c)$无定义 → 测试无法得出结论 | 绝不要直接判定没有极值；始终使用一阶导数测试 |
| 找临界点步骤 | 通过解方程$f'(x)=0$找临界点 | 不要用$f''(x)=0$来找测试候选点 |
| $f'(c)$无定义 | $f'(c)$无定义的临界点不能使用二阶导数测试 | 对这些点使用一阶导数测试 |
| 绝对极值候选点 | 区间内所有临界点 + 区间端点 | 二阶导数测试仅分类局部极值；始终需要比较函数值 |
| 几何记忆法 | $f''<0$ = 凹向下 = 山峰 = 局部极大值；$f''>0$ = 凹向上 = 山谷 = 局部极小值 | 用这个方法解决符号混淆错误 |

## 下一步

掌握二阶导数测试是所有优化问题的关键前提，而优化问题是AP微积分AB第5单元中考察最多的导数应用。接下来，你将拓展凹凸性和极值的概念，学习识别拐点和凹凸区间，这些内容会定期在MCQ和FRQ部分考察。你还会将二阶导数测试应用于带约束的优化问题，也就是在定义域约束下求实际问题函数的最大值或最小值。如果不能使用二阶导数测试正确分类极值，你就无法正确证明这些问题答案的合理性，而这类问题通常需要明确证明才能获得满分。

- [绘制f、f'、f''的图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-sketching-graphs-of-f-f/)
- [f、f'、f''的定性关系](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-connecting-f-f-f-qualitatively/)
- [最优化问题简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-introduction-to-optimization-problems/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-second-derivative-test/