单元总览

微分的解析应用单元概览

AP 微积分 AB· 5 分钟阅读 📊 占AP微积分AB考试总分的15-18%

1. 单元概览

我们从为导数分析提供依据的基础定理开始，逐步学习分类函数核心性态、关联导数与图像形状，最终应用所有工具求解应用最优化问题。本单元的重点从计算导数转向使用导数解答关于函数的有意义问题。

你在这里学习的概念不仅在AP考试中占比很高，还为本课程后续的积分和微分方程学习打下关键基础。

本单元包含以下子主题：

AP 微积分 AB 隐函数关系的性态

求隐关系定义曲线的斜率和临界点。

★★★⏱ 6 min

AP 微积分 AB 绝对极值的候选点检验法

使用候选点检验法寻找闭区间上的绝对极值。

★★⏱ 4 min

AP 微积分 AB 定性关联f、f'、f''

将函数的特征与其一阶、二阶导数的特征相关联。

★★★⏱ 5 min

AP 微积分 AB 凹凸性的判定

利用二阶导数识别函数凹向上和凹向下的区间。

★★⏱ 4 min

AP 微积分 AB 确定函数增减区间

利用一阶导数分类函数的递增和递减区间。

★⏱ 4 min

AP 微积分 AB 极值定理、全局与局部极值、临界点

陈述极值定理，区分局部/全局极值和临界点。

★★⏱ 5 min

AP 微积分 AB 相对极值的一阶导数检验法

利用一阶导数检验法分类函数的相对极值。

★★⏱ 4 min

AP 微积分 AB 最优化问题简介

学习建立最优化问题的分步框架。

★★★⏱ 5 min

AP 微积分 AB 中值定理（MVT）

在开区间和闭区间上正确陈述并应用中值定理。

★★★⏱ 5 min

AP 微积分 AB 二阶导数检验法

利用二阶导数检验法分类临界点处的相对极值。

★★⏱ 4 min

AP 微积分 AB 绘制f、f'、f''的图像

根据一个函数的信息准确绘制f、f'和f''的图像。

★★★★⏱ 6 min

AP 微积分 AB 求解最优化问题

完整求解常见的应用最优化问题。

★★★★⏱ 7 min

2. 常见陷阱

错误做法:

描述函数性态时混淆 $f^{'}$ 和 $f^{''}$ 的含义

原因:

混淆哪个导数对应增减性、哪个对应凹凸性是AP考试中常见的扣分点

正确做法:

证明函数特征时，始终明确标注你使用的是哪个导数

错误做法:

寻找绝对极值时忘记包含端点

原因:

在闭区间上，绝对极值既可以出现在临界点，也可以出现在端点

正确做法:

使用候选点检验法时，将区间端点加入候选列表

错误做法:

临界点处满足 $f^{''} (c) = 0$ 时仍使用二阶导数检验法

原因:

当 $f^{''} (c) = 0$ 时，二阶导数检验法没有定论，因此无法用它分类极值

正确做法:

当二阶导数检验法没有定论时，改用一阶导数检验法分类极值

3. 速查表

概念	核心结论/公式
临界点	$x = c$ where $f^{'} (c) = 0$ or $f^{'} (c)$ is undefined
极值定理	若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上同时存在绝对最大值和绝对最小值
中值定理	若连续在 $[a, b]$ 上且可导在 $(a, b)$ 上，则存在 $c \in (a, b)$ 满足 $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
增减性检验法	$f$ 递增当 $f^{'} (x) > 0$ ，递减当 $f^{'} (x) < 0$
凹凸性检验法	$f$ 凹向上当 $f^{''} (x) > 0$ ，凹向下当 $f^{''} (x) < 0$
一阶导数检验法	$f^{'}$ 在 $c$ 处由 $+$ 变 $-$ = 相对极大值； $-$ 变 $+$ = 相对极小值
最优化流程	定义变量 → 写出目标函数 → 寻找临界点 → 检验候选点的极值

下一步

从分析隐函数关系性态的第一个子主题开始学习本单元。完成第5单元全部12个子主题后，你将进入下一个单元：积分，这是AP微积分AB后半段课程的基础主题。