相对极值的一阶导数测试

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 什么是相对极值的一阶导数测试？★★☆☆☆⏱ 3 min

一阶导数测试是AP微积分AB第5单元的核心方法，该单元占你考试总分的15–18%。它会在选择题和自由作答题中都被考察，通常和曲线绘图、优化问题结合考察。该测试利用临界点附近一阶导数的符号变化来对该点分类。

📘 定义

相对（局部）极值

对于点 $x = c$ ，在 $c$ 周围的某个开区间内的所有 $x$ 中， $f (c)$ 是 $f (x)$ 的最大值或最小值，则 $x = c$ 是一个相对极值。在AP考试中，'相对'和'局部'可以互换使用。

例:

过山车的一个山坡就是一个相对极大值，即使轨道其他地方有更高的山坡。

2. 临界点和符号区间的建立★★☆☆☆⏱ 3 min

应用一阶导数测试前，你必须完成两个预备步骤：找出所有临界点，然后将定义域按临界点分割为区间，测试 $f^{'} (x)$ 的符号。费马定理确认所有相对极值都出现在临界点，因此不需要测试其他位置。

📘 定义

临界点

$x = c$

点 $x = c$ 满足： $f$ 在 $c$ 处有定义，且要么 $f^{'} (c) = 0$ （称为驻点），要么 $f^{'} (c)$ 不存在。

例:

$x = 0$ 是 $f (x) = ∣ x ∣$ 的临界点，因为 $f^{'} (0)$ 不存在，但 $f (0)$ 有定义。

📐 例题

找出 $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 36 x + 4$ 的所有临界点，并为一阶导数建立符号区间。

1
计算一阶导数，它是对所有实数 $x$ 都有定义的多项式：
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$
2
令 $f^{'} (x) = 0$ 并因式分解，找出临界点：
$6x^2 - 30x + 36 = 0 \implies 6(x-2)(x-3) = 0$
3
临界点在 $x = 2$ 和 $x = 3$ 。排序后将定义域 $(- \infty, \infty)$ 分割为三个开区间： $(- \infty, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, \infty)$ 。
4
在每个区间内选取一个测试点，测试 $f^{'} (x)$ 的符号：
- 对于 $(- \infty, 2)$ ，选测试点 $x = 0$ ： $f^{'} (0) = 36 > 0$
- 对于 $(2, 3)$ ，选测试点 $x = 2.5$ ： $f^{'} (2.5) = - 1.5 < 0$
- 对于 $(3, \infty)$ ，选测试点 $x = 4$ ： $f^{'} (4) = 12 > 0$

Exam tip:

建立区间前，一定要将临界点从小到大排序。跳过这一步通常会导致测试错误区间，在AP考试中错误分类极值。

3. 一阶导数测试分类法则★★☆☆☆⏱ 3 min

分类法则直接来自导数符号和函数单调性的关系：一阶导数为正说明函数递增，一阶导数为负说明函数递减。从左到右经过 $x = c$ 时的符号变化模式决定了分类结果：

如果 $f^{'} (x)$ 变化从正到负： $f (c)$ 是一个相对极大值
如果 $f^{'} (x)$ 变化从负到正： $f (c)$ 是一个相对极小值
如果 $f^{'} (x)$ 符号不变：则 $x = c$ 处不存在相对极值
这些法则适用于所有临界点，无论 $f^{'} (c) = 0$ 还是 $f^{'} (c)$ 不存在

📐 例题

利用 $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 36 x + 4$ 的符号数据，对每个临界点分类，并找出所有相对极值的坐标。

1
回顾符号模式： $f^{'} (x) > 0$ 在 $(- \infty, 2)$ ， $f^{'} (x) < 0$ 在 $(2, 3)$ ， $f^{'} (x) > 0$ 在 $(3, \infty)$ 。
2
分类 $x = 2$ ：从左到右 $f^{'} (x)$ 从正变负，因此这是一个相对极大值。计算 $f (2)$ ：
$f(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + 4 = 32$
3
分类 $x = 3$ ： $f^{'} (x)$ 从负变正，因此这是一个相对极小值。计算 $f (3)$ ：
$f(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + 4 = 31$
4
相对极值为 $(2, 32)$ （极大值）和 $(3, 31)$ （极小值）。

Exam tip:

如果题目要求找出极值点或极值，一定要计算出完整的函数值。AP考试中，如果题目要求完整极值，你只给出x坐标会被扣分。

4. 对导数不存在的临界点分类★★★☆☆⏱ 3 min

只要原函数 $f (x)$ 在临界点处有定义，一阶导数测试对导数不存在的临界点（角点、尖点、垂直切线）完全适用。一个常见错误是遗漏这类临界点，这也是AP考试经常考察的点。

📐 例题

对 $f (x) = x^{1/3} (x - 4)$ 的所有相对极值分类。

1
用乘积法则计算一阶导数并化简：
$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}(x - 4) + x^{1/3} = \frac{4(x - 1)}{3x^{2/3}}$
2
找出所有临界点：分子为零时 $f^{'} (x) = 0$ ，因此 $x = 1$ 。分母为零时 $f^{'} (x)$ 不存在，即 $x = 0$ ，且 $f (0) = 0$ 有定义，因此 $x = 0$ 也是临界点。
3
将临界点排序得到区间： $(- \infty, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, \infty)$ 。分母 $3 x^{2/3}$ 对所有 $x \neq = 0$ 恒为正，因此符号仅由分子决定。符号模式为： $f^{'} (x) < 0$ 在 $(- \infty, 0)$ ， $f^{'} (x) < 0$ 在 $(0, 1)$ ， $f^{'} (x) > 0$ 在 $(1, \infty)$ 。
4
对每个临界点分类：在 $x = 0$ 处， $f^{'} (x)$ 符号不变，因此没有极值。在 $x = 1$ 处， $f^{'} (x)$ 从负变正，因此 $(1, - 3)$ 处是相对极小值。

Exam tip:

千万不要忘记把导数不存在的临界点加入你的列表。AP出题人经常设置这类点来考察你是否记住所有类型的临界点。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用一阶导数测试回答以下选择题：

设 $f^{'} (x) = (x + 3) (x - 1) (x - 5)$ 。以下哪个选项正确列出了所有 $f (x)$ 存在相对极大值的 $x$ 值？
- A) 仅 $x = - 3$
- B) 仅 $x = 1$
- C) $x = - 3$ 和 $x = 5$
- D) $x = 1$ 和 $x = 5$
显示答案
1 —
排序后的临界点为 $x = - 3, 1, 5$ 。符号模式为 $(- \infty, - 3) : -, (- 3, 1) : +, (1, 5) : -, (5, \infty) : +$ 。相对极大值需要从正到负的符号变化，该变化仅发生在 $x = 1$ 处。

6. 常见陷阱

错误做法:

不测试符号变化就直接把任意临界点判定为极大值或极小值

原因:

学生混淆了'极值可能存在的位置'和'一定是极值'，因为入门例子中几乎每个驻点都是极值。

正确做法:

一定要测试每个临界点两侧 $f^{'} (x)$ 的符号，确认发生了符号变化。

错误做法:

建立区间时遗漏导数不存在的临界点

原因:

学生只找 $f^{'} (x) = 0$ 的解，忽略了导数分母的零点。

正确做法:

计算出 $f^{'} (x)$ 后，一定要检查哪里 $f^{'} (x)$ 不存在，如果 $f (x)$ 在该点有定义，就把它加入临界点列表。

错误做法:

颠倒分类法则（把正变负称为极小值，负变正称为极大值）

原因:

学生从左到右经过临界点时搞反了方向。

正确做法:

在每个区间旁画一小段递增/递减线段来可视化：先增后减是峰（极大值），先减后增是谷（极小值）。

错误做法:

把临界点用作相邻区间的测试值

原因:

学生赶时间，把区间端点选作测试点，得到 $f^{'} (c) = 0$ 或无定义，无法得到有效符号。

正确做法:

一定要选严格在开区间内部的测试值，才能得到有效的符号结果。

错误做法:

用一阶导数测试把定义域端点分类为相对极值

原因:

学生忘记需要点两侧都有导数值才能检查符号变化。

正确做法:

仅对定义域内部临界点分类为相对极值；根据AP CED规定，端点只能是绝对极值。

错误做法:

提前对复杂测试值取整，得到错误符号

原因:

学生对无理测试值做近似，把小负数取整为零或正数。

正确做法:

保持测试值为精确因式形式来确定符号，确认符号后再做近似。

7. 速查表

类别	法则/定义	注释
临界点	$x = c$ 是临界点当且仅当 $f$ 在 $c$ 处有定义， $f^{'} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在	只有临界点可以是相对极值
相对极大值	$f^{'} (x)$ （从左到右）从 $+$ 变 $-$	适用于驻点和导数不存在的点
相对极小值	$f^{'} (x)$ （从左到右）从 $-$ 变 $+$	和极大值法则适用性一样广
无极值	$f^{'} (x)$ 在 $c$ 两侧符号不变	在 $f (x) = x^{3}$ 的 $x = 0$ 这类驻点拐点很常见
端点规则	定义域端点不能是相对极值	两侧没有导数可以测试符号变化
符号测试方法	任选严格在区间内部的测试点	测试点的符号对整个区间都成立
测试范围	适用于所有内部临界点	比二阶导数测试适用性更广

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
对给定临界点分类
2022 · FRQ
找出并分类相对极值

下一步

掌握一阶导数测试是第5单元所有剩余内容必不可少的前提，第5单元占AP微积分AB考试总分很大比例。本内容为二阶导数测试（一种加快驻点分类的互补方法）以及凹凸性、拐点分析打下基础。它也是曲线绘图、找绝对极值、求解优化问题所必需的，这些都是考试中常见的高分值自由作答题。本内容还和第4单元的质点运动相关，识别质点方向变化就是一阶导数测试在位置函数上的应用。如果不能正确找出和分类相对极值，你会很难解决很多这类问题。