# 相对极值的一阶导数测试

> AP 微积分 AB · 微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-first-derivative-test-for-relative/

本小节讲解如何利用临界点附近一阶导数的符号变化，将临界点分类为相对极大值、相对极小值或二者都不是。你将学习处理所有类型的临界点，包括导数不存在的点，应对AP微积分AB考试题目。

**先修:** [计算常见初等函数的一阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-basic-differentiation/); [应用乘积法则、商法则和链式求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiation-rules/); 判断函数在开区间上的符号

## 学习目标

- 找出函数在定义域内的所有临界点
- 利用一阶导数的符号变化对临界点分类
- 处理导数不存在的临界点
- 将一阶导数测试应用于多项式、有理函数和实际问题函数

## 什么是相对极值的一阶导数测试？

一阶导数测试是AP微积分AB第5单元的核心方法，该单元占你考试总分的15–18%。它会在选择题和自由作答题中都被考察，通常和曲线绘图、优化问题结合考察。该测试利用临界点附近一阶导数的符号变化来对该点分类。

**相对（局部）极值** — 对于点$x=c$，在$c$周围的某个开区间内的所有$x$中，$f(c)$是$f(x)$的最大值或最小值，则$x=c$是一个相对极值。在AP考试中，'相对'和'局部'可以互换使用。

*例:* 过山车的一个山坡就是一个相对极大值，即使轨道其他地方有更高的山坡。

> **info**
>
> 与二阶导数测试不同（二阶导数测试仅适用于二阶导数存在且非零的可导点），一阶导数测试适用于所有有效临界点，因此在大多数AP题目中适用性更广。

## 临界点和符号区间的建立

应用一阶导数测试前，你必须完成两个预备步骤：找出所有临界点，然后将定义域按临界点分割为区间，测试$f'(x)$的符号。费马定理确认所有相对极值都出现在临界点，因此不需要测试其他位置。

**临界点** — 点$x=c$满足：$f$在$c$处有定义，且要么$f'(c) = 0$（称为驻点），要么$f'(c)$不存在。

*记法:* $x=c$

*例:* $x=0$是$f(x)=|x|$的临界点，因为$f'(0)$不存在，但$f(0)$有定义。

**例题:** 找出$f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 4$的所有临界点，并为一阶导数建立符号区间。

1. 计算一阶导数，它是对所有实数$x$都有定义的多项式：

   $$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$$
2. 令$f'(x) = 0$并因式分解，找出临界点：

   $$6x^2 - 30x + 36 = 0 \implies 6(x-2)(x-3) = 0$$
3. 临界点在$x=2$和$x=3$。排序后将定义域$(-\infty, \infty)$分割为三个开区间：$(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, \infty)$。
4. 在每个区间内选取一个测试点，测试$f'(x)$的符号：
- 对于$(-\infty, 2)$，选测试点$x=0$：$f'(0) = 36 > 0$
- 对于$(2, 3)$，选测试点$x=2.5$：$f'(2.5) = -1.5 < 0$
- 对于$(3, \infty)$，选测试点$x=4$：$f'(4) = 12 > 0$

> **考试提示:** 建立区间前，一定要将临界点从小到大排序。跳过这一步通常会导致测试错误区间，在AP考试中错误分类极值。

## 一阶导数测试分类法则

分类法则直接来自导数符号和函数单调性的关系：一阶导数为正说明函数递增，一阶导数为负说明函数递减。从左到右经过$x=c$时的符号变化模式决定了分类结果：

- 如果$f'(x)$变化从**正到负**：$f(c)$是一个**相对极大值**
- 如果$f'(x)$变化从**负到正**：$f(c)$是一个**相对极小值**
- 如果$f'(x)$符号不变：则$x=c$处**不存在相对极值**
- 这些法则适用于所有临界点，无论$f'(c)=0$还是$f'(c)$不存在

**例题:** 利用$f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 4$的符号数据，对每个临界点分类，并找出所有相对极值的坐标。

1. 回顾符号模式：$f'(x) > 0$在$(-\infty, 2)$，$f'(x) < 0$在$(2, 3)$，$f'(x) > 0$在$(3, \infty)$。
2. 分类$x=2$：从左到右$f'(x)$从正变负，因此这是一个相对极大值。计算$f(2)$：

   $$f(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + 4 = 32$$
3. 分类$x=3$：$f'(x)$从负变正，因此这是一个相对极小值。计算$f(3)$：

   $$f(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + 4 = 31$$
4. 相对极值为$(2, 32)$（极大值）和$(3, 31)$（极小值）。

> **考试提示:** 如果题目要求找出极值点或极值，一定要计算出完整的函数值。AP考试中，如果题目要求完整极值，你只给出x坐标会被扣分。

## 对导数不存在的临界点分类

只要原函数$f(x)$在临界点处有定义，一阶导数测试对导数不存在的临界点（角点、尖点、垂直切线）完全适用。一个常见错误是遗漏这类临界点，这也是AP考试经常考察的点。

**例题:** 对$f(x) = x^{1/3}(x - 4)$的所有相对极值分类。

1. 用乘积法则计算一阶导数并化简：

   $$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}(x - 4) + x^{1/3} = \frac{4(x - 1)}{3x^{2/3}}$$
2. 找出所有临界点：分子为零时$f'(x)=0$，因此$x=1$。分母为零时$f'(x)$不存在，即$x=0$，且$f(0)=0$有定义，因此$x=0$也是临界点。
3. 将临界点排序得到区间：$(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$。分母$3x^{2/3}$对所有$x \neq 0$恒为正，因此符号仅由分子决定。符号模式为：$f'(x) < 0$在$(-\infty, 0)$，$f'(x) < 0$在$(0, 1)$，$f'(x) > 0$在$(1, \infty)$。
4. 对每个临界点分类：在$x=0$处，$f'(x)$符号不变，因此没有极值。在$x=1$处，$f'(x)$从负变正，因此$(1, -3)$处是相对极小值。

> **考试提示:** 千万不要忘记把导数不存在的临界点加入你的列表。AP出题人经常设置这类点来考察你是否记住所有类型的临界点。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用一阶导数测试回答以下选择题：

1. 设$f'(x) = (x+3)(x-1)(x-5)$。以下哪个选项正确列出了所有$f(x)$存在相对极大值的$x$值？

   - A) 仅$x=-3$
   - B) 仅$x=1$
   - C) $x=-3$和$x=5$
   - D) $x=1$和$x=5$

   *答案:* B) 仅$x=1$

   *解析:* 排序后的临界点为$x=-3, 1, 5$。符号模式为$(-\infty,-3): -, (-3,1): +, (1,5): -, (5, \infty): +$。相对极大值需要从正到负的符号变化，该变化仅发生在$x=1$处。

## 常见错误

- **错误做法:** 不测试符号变化就直接把任意临界点判定为极大值或极小值
  - 原因: 学生混淆了'极值可能存在的位置'和'一定是极值'，因为入门例子中几乎每个驻点都是极值。
  - 正确做法: 一定要测试每个临界点两侧$f'(x)$的符号，确认发生了符号变化。
- **错误做法:** 建立区间时遗漏导数不存在的临界点
  - 原因: 学生只找$f'(x)=0$的解，忽略了导数分母的零点。
  - 正确做法: 计算出$f'(x)$后，一定要检查哪里$f'(x)$不存在，如果$f(x)$在该点有定义，就把它加入临界点列表。
- **错误做法:** 颠倒分类法则（把正变负称为极小值，负变正称为极大值）
  - 原因: 学生从左到右经过临界点时搞反了方向。
  - 正确做法: 在每个区间旁画一小段递增/递减线段来可视化：先增后减是峰（极大值），先减后增是谷（极小值）。
- **错误做法:** 把临界点用作相邻区间的测试值
  - 原因: 学生赶时间，把区间端点选作测试点，得到$f'(c)=0$或无定义，无法得到有效符号。
  - 正确做法: 一定要选严格在开区间内部的测试值，才能得到有效的符号结果。
- **错误做法:** 用一阶导数测试把定义域端点分类为相对极值
  - 原因: 学生忘记需要点两侧都有导数值才能检查符号变化。
  - 正确做法: 仅对定义域内部临界点分类为相对极值；根据AP CED规定，端点只能是绝对极值。
- **错误做法:** 提前对复杂测试值取整，得到错误符号
  - 原因: 学生对无理测试值做近似，把小负数取整为零或正数。
  - 正确做法: 保持测试值为精确因式形式来确定符号，确认符号后再做近似。

## 速查表

| 类别 | 法则/定义 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 临界点 | $x=c$是临界点当且仅当$f$在$c$处有定义，$f'(c)=0$或$f'(c)$不存在 | 只有临界点可以是相对极值 |
| 相对极大值 | $f'(x)$（从左到右）从$+$变$-$ | 适用于驻点和导数不存在的点 |
| 相对极小值 | $f'(x)$（从左到右）从$-$变$+$ | 和极大值法则适用性一样广 |
| 无极值 | $f'(x)$在$c$两侧符号不变 | 在$f(x)=x^3$的$x=0$这类驻点拐点很常见 |
| 端点规则 | 定义域端点不能是相对极值 | 两侧没有导数可以测试符号变化 |
| 符号测试方法 | 任选严格在区间内部的测试点 | 测试点的符号对整个区间都成立 |
| 测试范围 | 适用于所有内部临界点 | 比二阶导数测试适用性更广 |

## 下一步

掌握一阶导数测试是第5单元所有剩余内容必不可少的前提，第5单元占AP微积分AB考试总分很大比例。本内容为二阶导数测试（一种加快驻点分类的互补方法）以及凹凸性、拐点分析打下基础。它也是曲线绘图、找绝对极值、求解优化问题所必需的，这些都是考试中常见的高分值自由作答题。本内容还和第4单元的质点运动相关，识别质点方向变化就是一阶导数测试在位置函数上的应用。如果不能正确找出和分类相对极值，你会很难解决很多这类问题。

- [相对极值的二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-second-derivative-test/)
- [绝对极值候选点测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-candidates-test-for-absolute-extrema/)
- [凹凸性的判定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-determining-concavity/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-first-derivative-test-for-relative/