极值定理、全局与局部极值、临界点

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 极值定理★★☆☆☆⏱ 3 min

极值定理（EVT）是一个存在性定理：它告诉你什么时候一定存在全局最大值和全局最小值，但不告诉你如何找到它们。

📘 定义

极值定理

若函数 $f (x)$ 在闭有界区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上必定至少存在一个全局最大值和至少一个全局最小值。

例:

$[0, 5]$ 上的连续函数根据极值定理一定存在全局最大值和最小值，但 $(0, 5)$ 上的连续函数则不一定。

直观理解：如果你不抬笔从 $(a, f (a))$ 到 $(b, f (b))$ 画一条连续曲线，这条曲线一定有最高点和最低点。只要任意一个条件不满足，这个保证就不成立：开区间会让你逼近极值但永远达不到，而间断（比如垂直渐近线）会让函数无界增长。

📐 例题

下列哪个函数在给定区间上，极值定理能保证其存在全局最大值和全局最小值？ (A) $f (x) = tan (x)$ 在区间 $[0, π /2]$ 上 (B) $f (x) = x^{2} - 3 x$ 在区间 $(- 2, 4)$ 上 (C) $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 2}$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上 (D) $f (x) = \frac{sin ( x )}{x - π}$ 在区间 $[π /2, 3 π /2]$ 上

1
检查极值定理的第一个要求：区间必须是闭区间。选项B使用的是开区间 $(- 2, 4)$ ，因此极值定理不适用，排除B。
2
检查第二个要求：函数必须在整个区间上连续。对于选项A： $tan (x)$ 在 $x = π /2$ 处存在垂直渐近线，因此在端点处不连续，排除A。对于选项D： $sin (x) / (x - π)$ 在区间内部的 $x = π$ 处存在垂直渐近线，因此不连续，排除D。
3
验证选项C： $[- 1, 1]$ 是闭区间，且 $f (x)$ 唯一的间断点在区间外的 $x = 2$ 处。 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 内每一点都连续，因此极值定理的两个条件都满足。
4
极值定理仅适用于选项C。

Exam tip:

为了拿到全部论证分数，请务必同时说明极值定理的两个条件

2. 临界点★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

临界点

Interior point $c$ of domain of $f$

满足 $f^{'} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在的点。根据AP CED的定义，端点永远不是临界点，且 $c$ 必须在原函数 $f$ 的定义域内。

例:

对于 $f (x) = x^{2/3}$ ， $x = 0$ 是临界点，因为 $f^{'} (0)$ 不存在，且 $x = 0$ 在 $f$ 的定义域内。

根据费马定理，若 $f (x)$ 在内点 $c$ 处存在局部极值，则 $c$ 必定是临界点。反之不成立：并非所有临界点都是局部极值。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2/3} (4 - x)$ 在 $(- \infty, \infty)$ 上的所有临界点。

1
重写 $f (x)$ 以方便求导，用幂法则计算导数：
2
$f(x) = 4x^{2/3} - x^{5/3} \\ f'(x) = \frac{8}{3x^{1/3}} - \frac{5x^{2/3}}{3} = \frac{8 - 5x}{3x^{1/3}}$
3
找 $f^{'} (x) = 0$ 的点：有理导数在分子为零（且分母非零）时等于零：
4
令 $8 - 5 x = 0 ⟹ x = 8/5$ 。 $x = 8/5$ 在 $f (x)$ 的定义域内，因此这是一个临界点。
5
找 $f^{'} (x)$ 不存在的点： $x = 0$ 时分母为零。检查 $x = 0$ 是否在 $f (x)$ 的定义域内： $f (0) = 0$ 有定义，因此 $x = 0$ 也是一个临界点。
6
最终答案：临界点为 $x = 0$ 和 $x = 8/5$ 。

3. 局部极值与全局（绝对）极值★★★☆☆⏱ 4 min

极值根据其作为最大值/最小值的区间范围分类，AP考试常考的核心区别如下：

全局（绝对）极值：区间 $I$ 上的全局最大值是满足对于区间 $I$ 中所有 $x$ 都有 $f (c) \geq f (x)$ 的值 $f (c)$ ，全局最小值则满足相反的不等式。全局极值可以出现在临界点或端点处。每个区间只能有一个全局最大值和一个全局最小值，不过同一个最值可以出现在多个 $x$ 位置。
局部（相对）极值： $c$ 处的局部最大值是满足对于 $c$ 附近某个小开区间内所有 $x$ 都有 $f (c) \geq f (x)$ 的值 $f (c)$ 。局部极值仅出现在内点处，因此端点永远不是局部极值。任意出现在内点的全局极值同时也一定是局部极值。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ 在区间 $[- 3, 2]$ 上，找出所有局部极值，并写出全局最大值和全局最小值。

1
求临界点：
2
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$
3
临界点为内点 $x = - 1$ 和 $x = 1$ ，都在定义域内。
4
用一阶导数法分类局部极值： $f^{'} (x)$ 在 $x = - 1$ 处由正变负，因此 $f (- 1) = 3$ 是局部最大值。 $f^{'} (x)$ 在 $x = 1$ 处由负变正，因此 $f (1) = - 1$ 是局部最小值。
5
计算所有全局极值候选点（临界点和端点）的函数值：
6
$f(-3) = -17, \quad f(-1) = 3, \quad f(1) = -1, \quad f(2) = 3$
7
比较数值：最大值为 3，最小值为 $- 17$ 。
8
最终答案：局部极值为 $x = - 1$ 处的局部最大值 3 和 $x = 1$ 处的局部最小值 -1。全局最大值为 3，全局最小值为 $- 17$ 。

4. AP风格例题练习★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

关于闭区间 $[0, 5]$ 上的函数 $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 3}$ ，下列哪个说法是正确的？ A) 根据极值定理， $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上存在全局最小值，但不存在全局最大值。 B) 根据极值定理， $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上同时存在全局最小值和全局最大值。 C) $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上既不存在全局最小值也不存在全局最大值，且极值定理不适用。 D) $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上同时存在全局最小值和全局最大值，但极值定理不保证这一点。

1
首先检查极值定理条件：区间 $[0, 5]$ 是闭区间，但 $f (x)$ 在区间内部的 $x = 3$ 处存在垂直渐近线和间断点， $f (x)$ 在整个区间上不连续，因此极值定理不适用，排除选项A和B。
2
由于 $f (x)$ 在 $x$ 从左侧趋近3时趋近 $- \infty$ ，从右侧趋近3时趋近 $+ \infty$ ，因此 $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上无界，既不存在全局最小值也不存在全局最大值。
3
正确答案是C。

📐 例题

设 $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 4$ ，定义在闭区间 $[0, 5]$ 上。(a) 求 $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上的所有临界点。(b) 找出 $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上的所有局部极值，将每个极值分类为局部最大值或局部最小值。(c) 求 $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上的全局最大值和全局最小值，论证你的答案。

1
(a) 计算导数并因式分解：
2
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 24 = 6(x-1)(x-4)$
3
$x = 1$ 和 $x = 4$ 都是定义域内的内点，且不存在 $f^{'} (x)$ 无定义的点，因此临界点为 $x = 1$ 和 $x = 4$ 。
4
(b) 一阶导数测试：当 $0 < x < 1$ 时， $f^{'} (x) > 0$ （函数递增）；当 $1 < x < 4$ 时， $f^{'} (x) < 0$ （函数递减）；当 $4 < x < 5$ 时， $f^{'} (x) > 0$ （函数递增）。 $f^{'}$ 在 $x = 1$ 处由正变负，因此 $x = 1$ 处的 $f (1) = 15$ 是局部最大值。 $f^{'}$ 在 $x = 4$ 处由负变正，因此 $x = 4$ 处的 $f (4) = - 12$ 是局部最小值。
5
(c) 论证： $f (x)$ 是多项式，因此在闭区间 $[0, 5]$ 上连续。根据极值定理，全局极值出现在临界点或端点处。计算所有候选点的 $f$ 值：
6
$f(0) = 4, \quad f(1) = 15, \quad f(4) = -12, \quad f(5) = -1$
7
比较数值，最大值为 15，最小值为 -12。全局最大值为 15，全局最小值为 -12。

5. 常见陷阱

错误做法:

声称极值定理适用于开区间上的连续函数

原因:

学生记得极值定理要求连续，但忘记区间还必须是闭且有界的

正确做法:

引用极值定理前，请务必同时检查两个条件：函数在整个区间连续，且区间是闭区间

错误做法:

将区间端点算作临界点

原因:

许多入门教材简化了定义，但AP CED规定临界点只能是内点

正确做法:

当题目要求求临界点时，永远不要列出端点；仅将端点加入全局极值的候选列表

错误做法:

仅因为 $f^{'} (x)$ 在某点无定义，就将原函数 $f (x)$ 在该点无定义的点也算作临界点

原因:

学生只检查了导数，就忘记确认该点在原函数定义域内

正确做法:

对于任意 $f^{'} (c)$ 不存在的点，在将其称为临界点前，请务必检查 $f (c)$ 是否存在

错误做法:

假设所有临界点都是局部极值

原因:

学生逆用费马定理，错误认为所有临界点都一定是极值。例如 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的临界点就不是极值

正确做法:

在将临界点分类为局部极值前，请务必检验导数在临界点周围是否变号

错误做法:

求全局极值时忘记检查闭区间的端点

原因:

学生只检查临界点，就假设全局极值出现在内部

正确做法:

求闭区间上的全局极值时，请务必计算所有临界点和两个端点处的 $f (x)$ 值，再比较所有值

错误做法:

当全局最大值出现在多个 $x$ 处时，声称它有多个不同的值

原因:

学生混淆了极值的位置（ $x$ 值）和极值的值（ $y$ 值）

正确做法:

如果题目问全局最大值，那它是一个 $y$ 值；如果问位置，则列出所有出现该极值的 $x$ 值

6. 速查表

分类	规则/条件	注释
极值定理	$f (x)$ 连续 on $I$ 2. $I = [a, b]$ (闭, bounded)	若两个条件都满足， $f$ 至少存在一个全局最大值和一个全局最小值；仅保证存在，不保证位置
临界点定义	内点 $c$ in domain of $f$ : $f^{'} (c) = 0$ OR $f^{'} (c)$ 不存在	端点不是临界点； $c$ 必须在原函数 $f$ 的定义域内
费马定理	If $f$ 有局部极值 at 内点 $c$ , 则 $c$ 是临界点	逆命题不成立：并非所有临界点都是局部极值
全局（绝对）极值	全局最大值 at $c$ : $f (c) \geq f (x) \forall x \in I$ 全局最小值 at $c$ : $f (c) \leq f (x) \forall x \in I$	每个区间只有一个全局最大值和一个全局最小值；可以出现在端点或临界点
局部（相对）极值	局部最大值 at $c$ : $f (c) \geq f (x)$ for all $x$ in 开区间 around $c$ 局部最小值 at $c$ : $f (c) \leq f (x)$ for all $x$ in 开区间 around $c$	仅出现在定义域 / 区间的内点处
闭区间上的全局极值	候选列表 = 临界点 + 端点	计算每个候选点的 $f$ 值，选择最大的（最大值）和最小的（最小值）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
判断极值定理是否适用于给定函数
2022 · FRQ
求闭区间上的全局极值

下一步

本主题是第5单元「微分的分析应用」所有后续内容必不可少的基础。接下来，你将使用临界点和极值定理框架来应用一阶导数测试和二阶导数测试，这两个方法可以帮你分类局部极值，绘制函数图像的形状。如果不能正确识别临界点、验证极值定理条件，你就无法正确求解全局优化问题，而优化问题在AP考试的自由问答题中占很大比例。