确认$f(x)$是多项式，因此对所有实数$x$都连续可导，一阶导数法则在全体实数上适用。

计算并因式分解一阶导数：

$f^{\prime }(x)$的符号仅能在$f^{\prime }(x)=0$处改变，因此求解临界点：$3x(x-2)=0⟹x=0,x=2$。这些点将实数轴分为三个区间：$(-\infty ,0)$, $(0,2)$, $(2,\infty )$。

在每个区间测试$f^{\prime }(x)$的符号：

• 区间$(-\infty ,0)$，取测试点$x=-1$：$f^{\prime }(-1)=9>0⟹f$递增
• 区间$(0,2)$，取测试点$x=1$：$f^{\prime }(1)=-3<0⟹f$递减
• 区间$(2,\infty )$，取测试点$x=3$：$f^{\prime }(3)=9>0⟹f$递增

合并所有$f^{\prime }(x)>0$的区间：$f$在$(-\infty ,0)\cup (2,\infty )$上递增。

首先求$f$的定义域：$x-1\ne 0⟹x\ne 1$，因此定义域为$(-\infty ,1)\cup (1,\infty )$。$x=1$是定义域间断点，因此即使它不是临界点，也会作为分割点。

用商的求导法则计算$f^{\prime }(x)$：

找出$f^{\prime }(x)=0$或无定义的位置：分子为零时$f^{\prime }(x)=0$，即$x=0,x=2$。分母为零时$f^{\prime }(x)$无定义，即$x=1$。

检查哪些点是临界点：$x=0$和$x=2$都在$f$的定义域内，因此它们是临界点。$x=1$不在定义域内，因此它只是定义域间断点/分割点。

将分割点从小到大排序：$x=0,x=1,x=2$，将定义域分割为$(-\infty ,0)$, $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,\infty )$。

我们已经得到分割后的区间：$(-\infty ,0)$, $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,\infty )$。

简化符号分析：对任意$x\ne 1$，$(x-1{)}^2$始终为正，因此不影响$f^{\prime }(x)$的符号，我们只需要求$x(x-2)$的符号即可。

对每个区间应用因子法：

• $(-\infty ,0)$：$x$为负，$x-2$为负。乘积：$(-)(-)=+⟹f^{\prime }(x)>0$
• $(0,1)$ 和 $(1,2)$：$x$为正，$x-2$为负。乘积：$(+)(-)=-⟹f^{\prime }(x)<0$
• $(2,\infty )$：$x$为正，$x-2$为正。乘积：$(+)(+)=+⟹f^{\prime }(x)>0$

结论：$f(x)$在$(-\infty ,0)\cup (2,\infty )$上递增，在$(0,1)\cup (1,2)$上递减。

(a) $f(x)$是多项式，因此定义域是全体实数。计算并因式分解一阶导数：

令$f^{\prime }(x)=0$，得到临界点$x=1$和$x=2$，两者都在$f$的定义域内。因此临界点为$x=1$和$x=2$。

(b) 临界点将实数轴分为$(-\infty ,1)$, $(1,2)$, $(2,\infty )$。由于$6>0$，$f^{\prime }(x)$的符号与$(x-1)(x-2)$的符号一致：

• $(-\infty ,1)$: $(-)(-)=+⟹f^{\prime }(x)>0$
• $(1,2)$: $(+)(-)=-⟹f^{\prime }(x)<0$
• $(2,\infty )$: $(+)(+)=+⟹f^{\prime }(x)>0$

结论：$f$在$(-\infty ,1)\cup (2,\infty )$上递增，在$(1,2)$上递减。

(c) 根据定义，如果$f$在区间$[1,2]$上递减，那么对区间内任意$x_1<x_2$都有$f(x_1)>f(x_2)$。由于$1<2$且$f$在$[1,2]$上递减，直接可得$f(1)>f(2)$，符合要求。