凹凸性的判定

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 凹凸性的核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

凹凸性描述了可微函数 $f (x)$ 在区间上的弯曲方向，是AP 微积分 AB考试中核心的高频考点。第5单元（微分的分析应用）占考试总分的10–15%，凹凸性问题会同时出现在选择题和自由问答题部分。

通俗来说，上凹区间的形状像能"盛水"的杯子 ( $\cup$ )，下凹区间的形状像会"漏水"的帽子 ( $\cap$ )。

📘 定义

凹凸性

基于切线位置的形式化定义：若开区间内所有切线都位于函数下方，则函数在该区间上凹；若所有切线都位于函数上方，则函数在该区间下凹。

例:

$f (x) = x^{2}$ 在整个定义域上都是上凹的。

2. 二阶导数法则与区间符号测试★★★☆☆⏱ 4 min

凹凸性描述了切线斜率（即一阶导数 $f^{'} (x)$ ）随 $x$ 增大的变化规律：若函数上凹，斜率随 $x$ 增大而增大；若函数下凹，斜率随 $x$ 增大而减小。由于二阶导数 $f^{''} (x)$ 衡量了 $f^{'} (x)$ 的变化率，因此我们可以直接通过 $f^{''}$ 的符号判断凹凸性。

📘 定义

凹凸性二阶导数法则

若 $f$ 在开区间 $I$ 上二阶可微：

若对所有 $x \in I$ 都有 $f^{''} (x) > 0$ ，则 $f$ 在 $I$ 上凹
若对所有 $x \in I$ 都有 $f^{''} (x) < 0$ ，则 $f$ 在 $I$ 下凹

计算二阶导数 $f^{''} (x)$
找出所有候选分割点：即满足 $f^{''} (x) = 0$ 或 $f^{''} (x)$ 无定义的点，这些点将定义域分割为多个开测试区间
在每个区间内判断 $f^{''} (x)$ 的符号
根据 $f^{''} (x)$ 的符号确定凹凸性

📐 例题

求函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 的所有上凹区间和下凹区间。

1
计算一阶导数：
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2
计算二阶导数：
$f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$
3
找候选分割点： $f^{''} (x)$ 对所有实数 $x$ 都有定义，仅在 $x = 2$ 处满足 $f^{''} (x) = 0$ ，因此定义域被分割为两个区间： $(- \infty, 2)$ 和 $(2, \infty)$
4
取测试点 $x = 0$ 验证 $x < 2$ 的区间：
$f''(0) = -12 < 0$
5
因此， $f$ 在 $(- \infty, 2)$ 上下凹
6
取测试点 $x = 3$ 验证 $x > 2$ 的区间：
$f''(3) = 6 > 0$
7
因此， $f$ 在 $(2, \infty)$ 上上凹

3. 拐点的识别★★★☆☆⏱ 3 min

拐点是 $f$ 图像上凹凸性发生改变（从上凹变下凹或下凹变上凹）的点。要使 $x = c$ 处存在拐点，必须满足两个不可缺少的条件：(1) $f (c)$ 有定义（即点 $(c, f (c))$ 在 $f$ 的图像上），(2) $f^{''} (x)$ 的符号（因此凹凸性）在 $x = c$ 两侧发生改变。

学生常见的误区是认为拐点只出现在 $f^{''} (c) = 0$ 处，且所有满足 $f^{''} (c) = 0$ 的点都是拐点。这是错误的：拐点也可以出现在 $f^{''} (c)$ 无定义的位置（只要 $f (c)$ 存在且凹凸性改变），且 $f^{''} (c) = 0$ 不能保证凹凸性一定改变。

📐 例题

求 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}$ 的所有拐点。

1
计算一阶导数和二阶导数：
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x \\ f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x-1)^2$
2
生成候选点： $f^{''} (x)$ 对所有实数 $x$ 都有定义，仅在 $x = 1$ 处满足 $f^{''} (x) = 0$ ，因此唯一候选点是 $x = 1$
3
取 $x = 0$ 测试 $x < 1$ 处的凹凸性：
$f''(0) = 12 > 0$
4
取 $x = 2$ 测试 $x > 1$ 处的凹凸性：
$f''(2) = 12 > 0$
5
凹凸性在 $x = 1$ 处没有改变，因此该函数没有拐点

4. 由$f'(x)$的图像判断凹凸性★★★★☆⏱ 4 min

AP考试经常考察仅给出一阶导数 $f^{'} (x)$ 的图像、没有 $f (x)$ 显式表达式时判断凹凸性的能力。我们利用核心关系： $f^{''} (x)$ 等于 $f^{'} (x)$ 图像在 $x$ 处的切线斜率。

由此我们得到一个简单法则：若 $f^{'} (x)$ 在区间上单调递增，则其斜率为正，因此 $f^{''} (x) > 0$ ，所以 $f (x)$ 上凹。若 $f^{'} (x)$ 在区间上单调递减，则其斜率为负，因此 $f^{''} (x) < 0$ ，所以 $f (x)$ 下凹。 $f (x)$ 的拐点恰好对应 $f^{'} (x)$ 图像上的局部极值（峰或谷）。

📐 例题

$f (x)$ 的一阶导数 $f^{'} (x)$ 的图像是开口向下的抛物线，顶点在 $x = 3$ ，与x轴交于 $x = 1$ 和 $x = 5$ 。求 $f (x)$ 上凹的区间是哪个？

1
回顾： $f (x)$ 上凹当且仅当 $f^{'} (x)$ 单调递增，因为 $f^{'}$ 的斜率就是 $f^{''} (x)$
2
开口向下的抛物线在顶点左侧单调递增，顶点右侧单调递减
3
该抛物线的顶点在 $x = 3$ ，因此 $f^{'} (x)$ 在 $(- \infty, 3)$ 上单调递增，在 $(3, \infty)$ 上单调递减
4
因此， $f (x)$ 在 $(- \infty, 3)$ 上上凹

✓ 快速检测

测试你的理解：

函数 $f$ 的二阶导数为 $f^{''} (x) = (x + 1) (x - 3)^{2}$ 。 $f$ 的图像在哪些 $x$ 值处存在拐点？
- A) 仅 $x = - 1$
- B) 仅 $x = 3$
- C) $x = - 1$ 和 $x = 3$
- D) 没有拐点
显示答案
A) $x=-1$ only —
正确： $f^{''}$ 仅在 $x = - 1$ 处发生负变正的符号改变，在 $x = 3$ 两侧都保持正号，因此那里没有凹凸性改变。

5. 常见陷阱

错误做法:

仅因为 $f^{''} (c) = 0$ 就判定 $x = c$ 是拐点，没有检查凹凸性在 $x = c$ 处是否改变

原因:

学生记住了拐点出现在 $f^{''} = 0$ 处，因此找到候选点就停止，跳过了必要的符号检查

正确做法:

找到所有候选点后，一定要在候选点两侧测试 $f^{''}$ 的符号，确认符号发生改变，同时确认 $f$ 在 $c$ 处有定义

错误做法:

从 $f^{'}$ 图像判断凹凸性时，混淆 $f^{'} (x)$ 的符号和 $f^{'} (x)$ 的斜率，例如认为 $f^{'} (x) > 0$ 时 $f$ 上凹

原因:

学生混淆了一阶导数的两种用途：一种用来判断 $f$ 的单调性，另一种通过 $f^{'}$ 的斜率判断 $f$ 的凹凸性

正确做法:

题目要求从 $f^{'}$ 图像判断凹凸性时，只需要关注 $f^{'}$ 是递增还是递减，不需要关注它是正还是负

错误做法:

在自由问答题作答时，用闭区间表示凹凸区间（例如 $(- \infty, 2]$ ）

原因:

学生因为f在端点处有定义就认为应该包含端点，但凹凸性本身是对开区间定义的

正确做法:

在AP考试中，除非题目另有要求，否则始终将凹凸区间写为开区间

错误做法:

忽略 $f^{''} (c)$ 无定义的拐点候选点

原因:

学生只找 $f^{''} (x) = 0$ 的点，忘记了二阶导数不存在的点也可能是拐点

正确做法:

找候选点时，始终要包含 $f$ 定义域内所有满足 $f^{''} (x) = 0$ 或 $f^{''} (x)$ 无定义的点，然后逐个测试是否发生凹凸性改变

错误做法:

声称递减函数不可能上凹，例如认为 $f (x) = e^{- x}$ 因为递减所以下凹

原因:

学生错误地将"递减"和"下凹"关联，混淆了斜率方向和弯曲方向

正确做法:

始终要分开单调性（由 $f^{'}$ 符号决定）和凹凸性（由 $f^{''}$ 符号决定）：递增/递减和上凹/下凹的任意组合都是可能的

6. 速查表

类别	法则 / 公式	说明
上凹（开区间 $I$ ）	$f^{''} (x) > 0$ for all $x \in I$ , or $f^{'} (x)$ increasing on $I$	向上弯曲（杯形 $\cup$ ），切线位于 $f$ 下方
下凹（开区间 $I$ ）	$f^{''} (x) < 0$ for all $x \in I$ , or $f^{'} (x)$ decreasing on $I$	向下弯曲（帽形 $\cap$ ），切线位于 $f$ 上方
拐点条件	$f (c)$ is defined; 2. $f^{''}$ changes sign at $x = c$	候选点为 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{''} (c)$ 无定义；仅 $f^{''} (c) = 0$ 不充分
由 $f^{'} (x)$ 图像判断凹凸性	$f$ concave up when $f^{'}$ increasing; $f$ concave down when $f^{'}$ decreasing	判断凹凸性时不需要考虑 $f^{'}$ 的符号； $f^{'}$ 的符号用来判断 $f$ 递增/递减
由 $f^{'} (x)$ 图像找拐点	Inflection points on $f$ occur at local extrema of $f^{'}$	$f^{'}$ 的局部极大/极小值点就是 $f^{'}$ 斜率符号改变的位置
极值的二阶导数判别法	If $f^{'} (c) = 0$ : $f^{''} (c) < 0 ⟹$ local max; $f^{''} (c) > 0 ⟹$ local min	若 $f^{''} (c) = 0$ 或无定义则判别法失效；这种情况使用一阶导数判别法
凹凸区间	Always use open intervals	凹凸性是对每个点的开邻域定义的，因此不包含端点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · AB
选择题：识别拐点
2021 · AB
自由问答题：求凹凸区间
2023 · AB
选择题：由f'图像判断凹凸性

下一步

现在你已经学会了判定凹凸性和识别拐点，下一步就是将这些知识应用到局部极值的二阶导数判别法中，该方法完全依赖凹凸性对临界点进行分类。这个主题也是完整绘制函数图像的基础：你需要结合单调性、凹凸性和拐点的信息，根据导数信息画出准确的函数图像。在整个第5单元中，所有微分的分析应用都以凹凸性为基础，将导数的性质和函数的整体性质联系起来，这是考试中的重点考察内容。如果不掌握正确判定凹凸性的方法，你无法在图像分析类自由问答题中获得满分。