# 凹凸性的判定

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB CED 第5单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-determining-concavity/

本指南符合AP 微积分 AB的考试要求，内容包括凹凸性的形式化定义、二阶导数法则、拐点识别，以及如何从一阶导数图像判断凹凸性。

**先修:** 计算可微函数的一阶导数和二阶导数; 解读和书写开区间记号; 判断函数在区间上的符号

## 学习目标

- 从形式化和非形式化角度定义可微函数的凹凸性
- 应用二阶导数法则求凹凸区间
- 通过检查凹凸性变化正确识别拐点
- 从一阶导数的图像判定凹凸性和拐点
- 规避凹凸性和拐点相关的常见考试易错点

## 凹凸性的核心定义

凹凸性描述了可微函数 $f(x)$ 在区间上的弯曲方向，是AP 微积分 AB考试中核心的高频考点。第5单元（微分的分析应用）占考试总分的10–15%，凹凸性问题会同时出现在选择题和自由问答题部分。

通俗来说，上凹区间的形状像能"盛水"的杯子 ($\cup$)，下凹区间的形状像会"漏水"的帽子 ($\cap$)。

**凹凸性** — 基于切线位置的形式化定义：若开区间内所有切线都位于函数下方，则函数在该区间上凹；若所有切线都位于函数上方，则函数在该区间下凹。

*例:* $f(x) = x^2$ 在整个定义域上都是上凹的。

> **note**
>
> 判定凹凸性是识别拐点、用二阶导数判别法求局部极值的前提，这两个都是第5单元中占比很高的考点。

## 二阶导数法则与区间符号测试

凹凸性描述了切线斜率（即一阶导数 $f'(x)$）随$x$增大的变化规律：若函数上凹，斜率随$x$增大而增大；若函数下凹，斜率随$x$增大而减小。由于二阶导数 $f''(x)$ 衡量了$f'(x)$的变化率，因此我们可以直接通过$f''$的符号判断凹凸性。

**凹凸性二阶导数法则** — 若$f$在开区间 $I$ 上二阶可微：
1. 若对所有 $x \in I$ 都有 $f''(x) > 0$，则$f$在$I$上凹
2. 若对所有 $x \in I$ 都有 $f''(x) < 0$，则$f$在$I$下凹

1. 计算二阶导数 $f''(x)$
2. 找出所有候选分割点：即满足$f''(x) = 0$或$f''(x)$无定义的点，这些点将定义域分割为多个开测试区间
3. 在每个区间内判断$f''(x)$的符号
4. 根据$f''(x)$的符号确定凹凸性

**例题:** 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ 的所有上凹区间和下凹区间。

1. 计算一阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
2. 计算二阶导数：

   $$f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$$
3. 找候选分割点：$f''(x)$对所有实数$x$都有定义，仅在$x=2$处满足$f''(x)=0$，因此定义域被分割为两个区间：$(-\infty, 2)$ 和 $(2, \infty)$
4. 取测试点$x=0$验证$x<2$的区间：

   $$f''(0) = -12 < 0$$
5. 因此，$f$ 在 $(-\infty, 2)$ 上下凹
6. 取测试点$x=3$验证$x>2$的区间：

   $$f''(3) = 6 > 0$$
7. 因此，$f$ 在 $(2, \infty)$ 上上凹

> **tip**
>
> 在自由问答题中，你必须在作答说明中明确提及二阶导数的符号（例如："在$(2, \infty)$上上凹，因为对该区间内所有$x$都有 $f''(x) > 0$"）才能获得满分。

## 拐点的识别

拐点是$f$图像上凹凸性发生改变（从上凹变下凹或下凹变上凹）的点。要使$x=c$处存在拐点，必须满足两个不可缺少的条件：(1) $f(c)$有定义（即点$(c, f(c))$在$f$的图像上），(2) $f''(x)$的符号（因此凹凸性）在$x=c$两侧发生改变。

学生常见的误区是认为拐点只出现在$f''(c)=0$处，且所有满足$f''(c)=0$的点都是拐点。这是错误的：拐点也可以出现在$f''(c)$无定义的位置（只要$f(c)$存在且凹凸性改变），且$f''(c)=0$不能保证凹凸性一定改变。

**例题:** 求 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$ 的所有拐点。

1. 计算一阶导数和二阶导数：

   $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x \\ f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x-1)^2$$
2. 生成候选点：$f''(x)$对所有实数$x$都有定义，仅在$x=1$处满足$f''(x)=0$，因此唯一候选点是$x=1$
3. 取$x=0$测试$x<1$处的凹凸性：

   $$f''(0) = 12 > 0$$
4. 取$x=2$测试$x>1$处的凹凸性：

   $$f''(2) = 12 > 0$$
5. 凹凸性在$x=1$处没有改变，因此该函数没有拐点

> **tip**
>
> AP考试几乎总会设置干扰项，利用考生认为所有满足$f''(c)=0$的点都是拐点的错误。一定要确认符号发生了改变。

## 由$f'(x)$的图像判断凹凸性

AP考试经常考察仅给出一阶导数$f'(x)$的图像、没有$f(x)$显式表达式时判断凹凸性的能力。我们利用核心关系：$f''(x)$等于$f'(x)$图像在$x$处的切线斜率。

由此我们得到一个简单法则：若$f'(x)$在区间上单调递增，则其斜率为正，因此$f''(x) > 0$，所以$f(x)$上凹。若$f'(x)$在区间上单调递减，则其斜率为负，因此$f''(x) < 0$，所以$f(x)$下凹。$f(x)$的拐点恰好对应$f'(x)$图像上的局部极值（峰或谷）。

**例题:** $f(x)$的一阶导数$f'(x)$的图像是开口向下的抛物线，顶点在$x=3$，与x轴交于$x=1$和$x=5$。求$f(x)$上凹的区间是哪个？

1. 回顾：$f(x)$上凹当且仅当$f'(x)$单调递增，因为$f'$的斜率就是$f''(x)$
2. 开口向下的抛物线在顶点左侧单调递增，顶点右侧单调递减
3. 该抛物线的顶点在$x=3$，因此$f'(x)$在$(-\infty, 3)$上单调递增，在$(3, \infty)$上单调递减
4. 因此，$f(x)$在$(-\infty, 3)$上上凹

> **warning**
>
> 不要混淆$f'(x)$的符号（它告诉你$f(x)$是递增还是递减）和$f'(x)$的斜率（它告诉你$f(x)$的凹凸性）。判断凹凸性时，不需要考虑$f'$的竖直位置。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 函数$f$的二阶导数为 $f''(x) = (x+1)(x-3)^2$。$f$的图像在哪些$x$值处存在拐点？

   - A) 仅$x=-1$
   - B) 仅$x=3$
   - C) $x=-1$ 和 $x=3$
   - D) 没有拐点

   *解析:* 正确：$f''$仅在$x=-1$处发生负变正的符号改变，在$x=3$两侧都保持正号，因此那里没有凹凸性改变。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅因为$f''(c)=0$就判定$x=c$是拐点，没有检查凹凸性在$x=c$处是否改变
  - 原因: 学生记住了拐点出现在$f''=0$处，因此找到候选点就停止，跳过了必要的符号检查
  - 正确做法: 找到所有候选点后，一定要在候选点两侧测试$f''$的符号，确认符号发生改变，同时确认$f$在$c$处有定义
- **错误做法:** 从$f'$图像判断凹凸性时，混淆$f'(x)$的符号和$f'(x)$的斜率，例如认为$f'(x)>0$时$f$上凹
  - 原因: 学生混淆了一阶导数的两种用途：一种用来判断$f$的单调性，另一种通过$f'$的斜率判断$f$的凹凸性
  - 正确做法: 题目要求从$f'$图像判断凹凸性时，只需要关注$f'$是递增还是递减，不需要关注它是正还是负
- **错误做法:** 在自由问答题作答时，用闭区间表示凹凸区间（例如 $(-\infty, 2]$）
  - 原因: 学生因为f在端点处有定义就认为应该包含端点，但凹凸性本身是对开区间定义的
  - 正确做法: 在AP考试中，除非题目另有要求，否则始终将凹凸区间写为开区间
- **错误做法:** 忽略$f''(c)$无定义的拐点候选点
  - 原因: 学生只找$f''(x)=0$的点，忘记了二阶导数不存在的点也可能是拐点
  - 正确做法: 找候选点时，始终要包含$f$定义域内所有满足$f''(x)=0$或$f''(x)$无定义的点，然后逐个测试是否发生凹凸性改变
- **错误做法:** 声称递减函数不可能上凹，例如认为$f(x)=e^{-x}$因为递减所以下凹
  - 原因: 学生错误地将"递减"和"下凹"关联，混淆了斜率方向和弯曲方向
  - 正确做法: 始终要分开单调性（由$f'$符号决定）和凹凸性（由$f''$符号决定）：递增/递减和上凹/下凹的任意组合都是可能的

## 速查表

| 类别 | 法则 / 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 上凹（开区间 $I$） | $f''(x) > 0$ for all $x \in I$, or $f'(x)$ increasing on $I$ | 向上弯曲（杯形 $\cup$），切线位于$f$下方 |
| 下凹（开区间 $I$） | $f''(x) < 0$ for all $x \in I$, or $f'(x)$ decreasing on $I$ | 向下弯曲（帽形 $\cap$），切线位于$f$上方 |
| 拐点条件 | 1. $f(c)$ is defined; 2. $f''$ changes sign at $x=c$ | 候选点为$f''(c)=0$ *或* $f''(c)$无定义；仅$f''(c)=0$不充分 |
| 由$f'(x)$图像判断凹凸性 | $f$ concave up when $f'$ increasing; $f$ concave down when $f'$ decreasing | 判断凹凸性时不需要考虑$f'$的符号；$f'$的符号用来判断$f$递增/递减 |
| 由$f'(x)$图像找拐点 | Inflection points on $f$ occur at local extrema of $f'$ | $f'$的局部极大/极小值点就是$f'$斜率符号改变的位置 |
| 极值的二阶导数判别法 | If $f'(c)=0$: $f''(c)<0 \implies$ local max; $f''(c)>0 \implies$ local min | 若$f''(c)=0$或无定义则判别法失效；这种情况使用一阶导数判别法 |
| 凹凸区间 | Always use open intervals | 凹凸性是对每个点的开邻域定义的，因此不包含端点 |

## 下一步

现在你已经学会了判定凹凸性和识别拐点，下一步就是将这些知识应用到局部极值的二阶导数判别法中，该方法完全依赖凹凸性对临界点进行分类。这个主题也是完整绘制函数图像的基础：你需要结合单调性、凹凸性和拐点的信息，根据导数信息画出准确的函数图像。在整个第5单元中，所有微分的分析应用都以凹凸性为基础，将导数的性质和函数的整体性质联系起来，这是考试中的重点考察内容。如果不掌握正确判定凹凸性的方法，你无法在图像分析类自由问答题中获得满分。

- [二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-second-derivative-test/)
- [绘制f、f'、f''的图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-sketching-graphs-of-f-f/)
- [f、f'、f''的定性关系](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-connecting-f-f-f-qualitatively/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-determining-concavity/