根据定义，当$f^{\prime }(x)>0$时$f$递增。

$f^{\prime }(x)$为正的区间是$(-2,1)$和$(4,\infty )$，因此这些就是$f$的递增区间。

临界点出现在$f^{\prime }(x)=0$或$f^{\prime }(x)$无定义的位置。本题中，$f^{\prime }(x)=0$在$x=-2$、$x=1$、$x=4$处成立，且没有点使得$f^{\prime }(x)$无定义。

最终答案：$f$在$(-2,1)\cup (4,\infty )$上递增，临界点为$x=-2$、$x=1$、$x=4$。

$f$的拐点要求$f^{\prime \prime }$发生符号改变，这对应$f^{\prime }$的增减性发生改变。

在$f^{\prime }$的局部最大值点，$f^{\prime }$从递增（此时$f^{\prime \prime }>0$）变为递减（此时$f^{\prime \prime }<0$）。这意味着$f^{\prime \prime }$在$x=2$处改变符号，因此$x=2$是$f$的拐点。

在$f^{\prime }$的局部最小值点，$f^{\prime }$从递减（此时$f^{\prime \prime }<0$）变为递增（此时$f^{\prime \prime }>0$）。这意味着$f^{\prime \prime }$也在$x=-3$处改变符号，因此$x=-3$也是$f$的拐点。

最终答案：$f$在$x=-3$和$x=2$处有拐点。

首先应用二阶导数判别法：我们有$f^{\prime }(3)=0$，且$f^{\prime \prime }(3)=-4<0$。根据二阶导数判别法，这意味着$f$在$x=3$处有一个局部最大值。

用一阶导数判别法验证：检查$x=3$两侧$f^{\prime }$的符号。

$x=3$左侧，$f^{\prime }(2.9)=2>0$，因此$f$在$x=3$左侧递增。$x=3$右侧，$f^{\prime }(3.1)=-1<0$，因此$f$在$x=3$右侧递减。

$f^{\prime }$在$x=3$处从正变负，因此一阶导数判别法验证了结论：$x=3$是局部最大值。

首先，找到$f$的增减区间：由于$f^{\prime }(x)$是开口向上的抛物线，它在根之间（$0<x<4$）为负，在根之外（$x<0$和$x>4$）为正。因此$f$在$(-\infty ,0)$上递增，在$(0,4)$上递减，在$(4,\infty )$上递增。

找到$f$的极值：$f^{\prime }$在$x=0$处从正变负，因此$f$在$(0,2)$处有局部最大值。$f^{\prime }$在$x=4$处从负变正，因此$f$在$x=4$处有局部最小值。

找到$f$的凹凸性和拐点：抛物线$f^{\prime }(x)$的顶点在$x=2$处，因此$f^{\prime }(x)$在$x<2$时递减，$x>2$时递增。这意味着$x<2$时$f^{\prime \prime }(x)<0$，$x>2$时$f^{\prime \prime }(x)>0$，因此$f$在$x=2$处改变凹凸性，$x=2$是拐点。

最终关键特征：局部最大值在$(0,2)$，拐点在$x=2$，局部最小值在$x=4$。

(a) 临界点出现在$f^{\prime }(x)=0$或$f^{\prime }(x)$无定义的位置。$f^{\prime }(x)$是多项式，因此处处有定义。令$x(x-2{)}^2=0$，得到临界点在$x=0$和$x=2$。

(b) 当$f^{\prime }(x)<0$时$f$递减。$(x-2{)}^2$对所有实数$x$非负，因此$f^{\prime }(x)$的符号与$x$的符号一致。当$x<0$时$f^{\prime }(x)<0$，因此$f$在$(-\infty ,0)$上递减。

(c) 对于$x=0$：$x<0$时$f^{\prime }(x)<0$，$0<x<2$时$f^{\prime }(x)>0$。$f^{\prime }$从负变正，因此$x=0$是局部最小值。对于$x=2$：$0<x<2$时$f^{\prime }(x)>0$，$x>2$时$f^{\prime }(x)>0$，因此没有符号变化。$x=2$既不是局部最大值也不是局部最小值。

(d) 要找到拐点，首先计算$f^{\prime \prime }(x)$：

令$f^{\prime \prime }(x)=0$得到$x=\frac{2}{3}$和$x=2$。检验符号：$x<\frac{2}{3}$时$f^{\prime \prime }(x)>0$，$\frac{2}{3}<x<2$时$f^{\prime \prime }(x)<0$，$x>2$时$f^{\prime \prime }(x)>0$。$f^{\prime \prime }$在两个点都改变符号，因此拐点在$x=\frac{2}{3}$和$x=2$。