# f、f'、f''的定性关系

> AP 微积分 AB · 微分的分析应用
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本模块将教你如何利用$f'$和$f''$的性质描述$f$的形状和行为，从一个函数推导另一个函数的特征，并解答AP考试中关于增减性、凹凸性、极值和拐点的常见问题。

**先修:** 导数是函数的瞬时斜率; 初等函数的基本求导法则; 识别函数图像的关键特征

## 学习目标

- 将f'的符号与f的递增/递减行为联系起来
- 将f''的符号与f的凹凸性联系起来
- 识别临界点、拐点，并对局部极值进行分类
- 从其他函数的图像/信息推导某个函数的特征

## f与f'的关系：增减性与临界点

$f$与$f'$的核心关系来源于导数的定义：导数是$f$在任意点$x$处的瞬时斜率。

- 若区间内所有$x$满足$f'(x) > 0$，则$f$是**递增**的：$x$增大时，$f(x)$增大
- 若区间内所有$x$满足$f'(x) < 0$，则$f$是**递减**的：$x$增大时，$f(x)$减小

**临界点** — $f$定义域内任意满足$f'(c) = 0$或$f'(c)$无定义的点$x=c$。临界点是$f$唯一可能从递增变为递减（或反之）的位置。

**例题:** $f'(x)$的图像在$x < -2$时为负，$-2 < x < 1$时为正，$1 < x < 4$时为负，$x > 4$时为正，$f'(x)$恰好仅在$x=-2$、$x=1$和$x=4$处穿过x轴，且无间断点。$f$在哪些区间递增？$f$的临界点有哪些？

1. 根据定义，当$f'(x) > 0$时$f$递增。
2. $f'(x)$为正的区间是$(-2, 1)$和$(4, \infty)$，因此这些就是$f$的递增区间。
3. 临界点出现在$f'(x)=0$或$f'(x)$无定义的位置。本题中，$f'(x)=0$在$x=-2$、$x=1$、$x=4$处成立，且没有点使得$f'(x)$无定义。
4. 最终答案：$f$在$(-2, 1) \cup (4, \infty)$上递增，临界点为$x=-2$、$x=1$、$x=4$。

> **考试提示:** 在AP考试所有要求写出增减区间的题目中，始终使用开区间。AP阅卷官从不接受该题型的闭区间答案。

## f与f''的关系：凹凸性与拐点

凹凸性描述$f$的斜率随$x$增大如何变化，因此它由$f'$的导数即$f''$决定。

- 若$f''(x) > 0$，则$f'$在区间内递增，因此$f$是**凹向上**（形状像开口向上的杯子$\cup$）
- 若$f''(x) < 0$，则$f'$在区间内递减，因此$f$是**凹向下**（形状像开口向下的帽子$\cap$）

**拐点** — $f$的凹凸性从向上变为向下（或从向下变为向上）的点。对于二阶可导的$f$，这要求$f''(x)$在该点改变符号，只有当$f''(c)=0$或$f''(c)$无定义时才会发生改变。并非所有满足$f''(c)=0$的点都是拐点。

*例:* 一个实用结论：$f$的拐点出现在$f'$的局部极值点处

**例题:** $f$对所有实数$x$二阶可导，且$f'$的图像在$x=2$处有局部最大值，在$x=-3$处有局部最小值。$f$的拐点在哪里？证明你的结论。

1. $f$的拐点要求$f''$发生符号改变，这对应$f'$的增减性发生改变。
2. 在$f'$的局部最大值点，$f'$从递增（此时$f'' > 0$）变为递减（此时$f'' < 0$）。这意味着$f''$在$x=2$处改变符号，因此$x=2$是$f$的拐点。
3. 在$f'$的局部最小值点，$f'$从递减（此时$f'' < 0$）变为递增（此时$f'' > 0$）。这意味着$f''$也在$x=-3$处改变符号，因此$x=-3$也是$f$的拐点。
4. 最终答案：$f$在$x=-3$和$x=2$处有拐点。

> **考试提示:** 始终通过明确说明凹凸性（或$f''$的符号）在该点发生变化来证明拐点。如果你只说明$f''(c)=0$而没有提到符号变化，AP阅卷官会扣分。

## 局部极值的定性分类

识别出$f$的临界点后，你可以通过两种定性方法将其分类为局部最大值、局部最小值或两者都不是：

- **一阶导数判别法**：适用于所有临界点：$f'$从正变负 = 局部最大值；从负变正 = 局部最小值；无符号变化 = 不是极值
- **二阶导数判别法**：仅适用于满足$f'(c)=0$的临界点：$f''(c) < 0$ = 局部最大值；$f''(c) > 0$ = 局部最小值；$f''(c)=0$ = 判别法无结论，使用一阶导数判别法

**例题:** $f$二阶可导，在$x=3$处有一个临界点，满足$f'(3)=0$，$f''(3) = -4$。$f'(2.9) = 2$，$f'(3.1) = -1$。对$x=3$处的临界点进行分类。

1. 首先应用二阶导数判别法：我们有$f'(3)=0$，且$f''(3) = -4 < 0$。根据二阶导数判别法，这意味着$f$在$x=3$处有一个局部最大值。
2. 用一阶导数判别法验证：检查$x=3$两侧$f'$的符号。
3. $x=3$左侧，$f'(2.9) = 2 > 0$，因此$f$在$x=3$左侧递增。$x=3$右侧，$f'(3.1) = -1 < 0$，因此$f$在$x=3$右侧递减。
4. $f'$在$x=3$处从正变负，因此一阶导数判别法验证了结论：$x=3$是局部最大值。

> **考试提示:** 如果FRQ要求你证明局部极值，你必须明确引用你使用的判别法（例如，"根据二阶导数判别法，$f''(3) < 0$，因此$x=3$是局部最大值"）。仅给出结论不得分。

## 根据另一个函数图像绘制目标函数图像

AP的常见题型是给定$f'$的图像要求你绘制$f$的图像（或反过来），只使用定性关系。绘制过程遵循三个简单步骤：标出所有关键点，将x轴按关键点划分为区间，然后为每个区间赋予正确的增减性和凹凸性。

**例题:** $f'(x)$的图像是开口向上的抛物线，根在$x=0$和$x=4$处，且$f(0) = 2$。为绘制草图，识别$f$的所有关键特征（极值、拐点）。

1. 首先，找到$f$的增减区间：由于$f'(x)$是开口向上的抛物线，它在根之间（$0 < x < 4$）为负，在根之外（$x < 0$和$x > 4$）为正。因此$f$在$(-\infty, 0)$上递增，在$(0, 4)$上递减，在$(4, \infty)$上递增。
2. 找到$f$的极值：$f'$在$x=0$处从正变负，因此$f$在$(0, 2)$处有局部最大值。$f'$在$x=4$处从负变正，因此$f$在$x=4$处有局部最小值。
3. 找到$f$的凹凸性和拐点：抛物线$f'(x)$的顶点在$x=2$处，因此$f'(x)$在$x < 2$时递减，$x > 2$时递增。这意味着$x < 2$时$f''(x) < 0$，$x > 2$时$f''(x) > 0$，因此$f$在$x=2$处改变凹凸性，$x=2$是拐点。
4. 最终关键特征：局部最大值在$(0, 2)$，拐点在$x=2$，局部最小值在$x=4$。

> **考试提示:** 在AP FRQ中要求绘制图像时，你只需要正确标出所有要求的关键特征，保证大致形状正确即可。你不需要标出每个点就能得满分。

## 概念检查

**概念自测**

通过这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 函数$f$的二阶导数$f''$的图像在$x < 1$时为负，在$x=1$处穿过x轴，在$1 < x < 3$时为正，在$x=3$处与x轴相切（不穿过），且在所有$x > 3$时保持为正。$f$在哪些$x$值处有拐点？

   - A) 仅$x = 1$
   - B) 仅$x = 3$
   - C) $x = 1$和$x = 3$
   - D) $x < 1$和$1 < x < 3$

   *答案:* A) 仅$x = 1$

   *解析:* 回答正确！拐点仅出现在$f''$改变符号的位置，本题中仅在$x=1$处发生符号改变。在$x=3$处，$f''$保持为正，因此没有发生符号改变，所以它不是拐点。

**例题:** 函数$f$对所有实数$x$二阶可导，一阶导数为$f'(x) = x(x - 2)^2$。(a) 找出$f$的所有临界点。(b) $f$在哪些区间递减？证明你的结论。(c) 将每个临界点分类为局部最大值、局部最小值或两者都不是。(d) 找出$f$的所有拐点。证明你的结论。

1. (a) 临界点出现在$f'(x)=0$或$f'(x)$无定义的位置。$f'(x)$是多项式，因此处处有定义。令$x(x - 2)^2 = 0$，得到临界点在$x=0$和$x=2$。
2. (b) 当$f'(x) < 0$时$f$递减。$(x-2)^2$对所有实数$x$非负，因此$f'(x)$的符号与$x$的符号一致。当$x < 0$时$f'(x) < 0$，因此$f$在$(-\infty, 0)$上递减。
3. (c) 对于$x=0$：$x < 0$时$f'(x) < 0$，$0 < x < 2$时$f'(x) > 0$。$f'$从负变正，因此$x=0$是局部最小值。对于$x=2$：$0 < x < 2$时$f'(x) > 0$，$x > 2$时$f'(x) > 0$，因此没有符号变化。$x=2$既不是局部最大值也不是局部最小值。
4. (d) 要找到拐点，首先计算$f''(x)$：
5. $$f'(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \implies f''(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$$
6. 令$f''(x)=0$得到$x = \frac{2}{3}$和$x=2$。检验符号：$x < \frac{2}{3}$时$f''(x) > 0$，$\frac{2}{3} < x < 2$时$f''(x) < 0$，$x > 2$时$f''(x) > 0$。$f''$在两个点都改变符号，因此拐点在$x = \frac{2}{3}$和$x=2$。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅因为$f''(c)=0$就将$x=c$称为$f$的拐点，不检查符号是否变化。
  - 原因: 学生记住了拐点出现在$f''=0$的位置，因此假设所有这样的点都符合条件，忘记了需要凹凸性改变的要求。
  - 正确做法: 始终检查$c$两侧$f''$的符号；只有当符号改变时才标记为拐点。
- **错误做法:** 当被要求写出递增区间时，声明$f$在$[a, b]$上递增。
  - 原因: 学生错误地认为闭区间是可接受的，因为单调性可以延伸到端点。
  - 正确做法: 按照AP考试惯例，始终将增减区间写为开区间。
- **错误做法:** 将$f'$图像的y值与$f$的斜率混淆。
  - 原因: 给定$f'$的图像时，学生混淆了哪个性质对应$f$的增减性，哪个对应$f$的凹凸性。
  - 正确做法: 立刻给图像标注：$y = f'(x)$，因此$y > 0$对应$f$递增；该图像的斜率等于$f''(x)$，因此正斜率对应$f$凹向上。
- **错误做法:** 将所有临界点都分类为局部最大值或最小值。
  - 原因: 学生根据定义假设所有临界点都是极值。
  - 正确做法: 始终检查临界点周围$f'$的符号变化；如果没有符号变化，就不是极值。
- **错误做法:** 当二阶导数判别法得到$f''(c)=0$时，得出$x=c$处不存在极值的结论。
  - 原因: 学生忘记了当$f''(c)=0$时，判别法是无结论，不是不存在极值。
  - 正确做法: 如果$f''(c)=0$，改用一阶导数判别法检查$f'$的符号变化。
- **错误做法:** 声称$f$的拐点与$f$的临界点是同一概念。
  - 原因: 学生将凹凸性改变的位置与斜率改变的位置混淆。
  - 正确做法: 记住$f$的拐点对应$f'$的极值，而不是$f$的临界点。

## 速查表

| 类别 | 法则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| $f$在区间上递增 | $f'(x) > 0$ 对区间内所有$x$成立 | AP考试始终使用开区间；不需要包含端点。 |
| $f$在区间上递减 | $f'(x) < 0$ 对区间内所有$x$成立 | AP不接受该题型的闭区间答案。 |
| $f$的临界点 | $f'(c) = 0$或$f'(c)$无定义 | 只有$f$定义域内的点才算；并非所有临界点都是极值。 |
| $f$在区间上凹向上 | $f''(x) > 0 \iff f'$递增 | 形状像开口向上的杯子$\cup$；$f$的斜率随$x$增大而增大。 |
| $f$在区间上凹向下 | $f''(x) < 0 \iff f'$递减 | 形状像开口向下的帽子$\cap$；$f$的斜率随$x$增大而减小。 |
| $f$的拐点 | $f$的凹凸性在$x=c$处改变 | $f''(c)=0$是必要条件但不充分；必须确认符号改变。 |
| 极值的一阶导数判别法 | $f'$：正变负 = 局部最大值；负变正 = 局部最小值；无变化 = 不是极值 | 适用于所有临界点，即使$f''$不存在也能用。 |
| 极值的二阶导数判别法 | $f'(c)=0$，$f''(c) < 0$ = 局部最大值；$f'(c)=0$，$f''(c) > 0$ = 局部最小值 | 若$f''(c)=0$则无结论；这种情况下使用一阶导数判别法。 |

## 下一步

本主题是AP微积分AB中所有微分进一步应用的基础概念框架，包括完整曲线绘制、优化问题和相关变化率，所有这些内容都是AP考试的重点考查内容。掌握$f$、$f'$和$f''$之间的定性关系，将让你更容易解释数值导数计算的结果，解决需要描述函数随时间变化行为的实际应用问题。接下来，你将把这些概念应用到完整曲线绘制，然后解决优化问题，这些问题使用我们在这里介绍的相同极值识别法则，继续你学习AP微积分AB第5单元的进程。

- [第5单元概述：微分的分析应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-overview/)
- [最优化问题简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-introduction-to-optimization-problems/)
- [求解最优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-solving-optimization-problems/)

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