绝对极值候选点测试

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分的解析应用· 14 分钟阅读

1. 候选点测试的核心概念★★☆☆☆⏱ 3 min

候选点测试（又称极值候选点测试或闭区间法）是寻找函数在给定区间上绝对（全局）最大值和最小值的标准算法。根据AP微积分AB课程与考试说明（CED），该内容占你考试总分的~1-2%，会同时出现在选择题和自由作答题中，通常作为更大的优化问题或图像分析问题的一部分。

📘 定义

候选点

所有可能在区间上出现函数绝对极值的点，包括：1) 区间内部的临界点，2) 区间的端点，3) 函数有定义的间断点。

例:

对于 $f (x)$ 上 $[a, b]$ ，候选点包括 $a$ , $b$ , 和所有 $a$ 和 $b$ 之间的临界点。

其核心思想来自极值定理：如果函数在闭有界区间 $[a, b]$ 上连续，则它一定在该区间上同时取得绝对最大值和绝对最小值，且这些值只能出现在候选点处。与仅对局部极值分类的一阶或二阶导数测试不同，候选点测试直接识别全局极值，这也是AP考试中最常要求的极值类型。

2. 闭区间上的候选点测试★★☆☆☆⏱ 4 min

在闭有界区间 $[a, b]$ 上寻找绝对极值是AP考试最常见的场景，也是候选点测试流程的基础。极值定理保证了闭区间上连续函数一定存在两个绝对极值，因此分步流程为：

确认 $f (x)$ 在整个区间 $[a, b]$ 上连续
找出所有严格位于开区间 $(a, b)$ 内部的 $f (x)$ 临界点。临界点是满足 $f^{'} (x) = 0$ ，或 $f^{'} (x)$ 无定义但 $f (x)$ 有定义的点。
将端点 $x = a$ 和 $x = b$ 添加到你的候选点列表中
计算每个候选点处的 $f (x)$ 值
最大的函数值就是绝对最大值，最小的就是绝对最小值。

📐 例题

Find the absolute maximum and absolute minimum of $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ on the closed interval $[- 1, 4]$ .

1
$f (x)$ 是多项式，因此在包括 $[- 1, 4]$ 在内的所有实数上连续，极值定理适用。
2
计算一阶导数：
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
3
令 $f^{'} (x) = 0$ 得临界点为 $x = 0$ 和 $x = 2$ ，两者都位于 $(- 1, 4)$ 内部。不存在 $f^{'} (x)$ 无定义的点，因此这就是我们仅有的临界点。
4
完整候选点列表： $x = - 1, 0, 2, 4$ 。
5
计算每个候选点处的 $f (x)$ : $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} + 1 = - 3$ $f (0) = 0 - 0 + 1 = 1$ $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ $f (4) = 64 - 48 + 1 = 17$
6
最大值为 $17$ ，因此 $f (x)$ 在 $[- 1, 4]$ 上的绝对最大值为 $17$ ，出现在 $x = 4$ 处。最小值为 $- 3$ ，因此绝对最小值为 $- 3$ ，出现在 $x = - 1$ 和 $x = 2$ 处。

3. 开区间和无穷区间上的候选点测试★★★☆☆⏱ 5 min

候选点测试可以调整后用于寻找开区间 $(a, b)$ 或无穷区间 $(- \infty, \infty)$ 上的绝对极值，不过由于端点不包含在区间内，极值定理在此不适用。关键调整是我们将开端点处的极限值作为候选值，并且必须检查极值是否确实在区间内部的某点取得。流程如下：

确认 $f (x)$ 在整个开区间上连续
和闭区间一样，找出区间内部所有临界点
计算每个临界点处的 $f (x)$ 值
计算 $x$ 从区间内部趋近每个开端点时 $f (x)$ 的极限（对于无穷端点，计算 $lim_{x \to \infty} f (x)$ 或 $lim_{x \to - \infty} f (x)$ ）
如果最大的候选值来自区间内部的临界点，则该值就是绝对最大值。如果最大值仅在端点处作为极限被逼近，从未在区间内部取得，则不存在绝对最大值。相同逻辑适用于绝对最小值。

📐 例题

Find all absolute extrema of $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ on the open interval $(0, 3)$ .

1
$f (x)$ 是多项式，因此在 $(0, 3)$ 上连续，我们开始计算。
2
计算导数：
$f'(x) = 2x - 4 = 2(x-2)$
3
唯一临界点是 $x = 2$ ，它位于 $(0, 3)$ 内部，且不存在 $f^{'} (x)$ 无定义的点。
4
计算临界点处的 $f (x)$ ：
$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$
5
计算开端点处的极限：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3, \quad \lim_{x \to 3^-} f(x) = 0$
6
比较候选值： $- 1, 3, 0$ 。最小值是 $- 1$ ，它在区间内部的 $x = 2$ 处取得，因此这就是绝对最小值。最大候选值是 $3$ ，它仅为 $x \to 0^{+}$ 时的极限，且 $x = 0$ 不包含在区间内，因此 $f (x)$ 在 $(0, 3)$ 上从未实际取得 $3$ 。因此，不存在绝对最大值。

4. 不连续函数和分段函数的候选点测试★★★★☆⏱ 5 min

如果函数在感兴趣的区间上存在间断（分段函数和有理函数很常见），候选点测试需要额外一步：将所有函数有定义的间断点添加到候选点列表中。极值定理仅保证闭区间上完全连续的函数存在极值，因此间断点处可能出现极值，如果只检查临界点和端点会漏掉这些极值。

首先找出 $f (x)$ 在区间上所有间断点
将所有函数有定义的间断点，连同临界点和端点，一起添加到候选点列表中
和之前一样，计算所有候选点处的 $f (x)$ 并比较大小。如果间断点处 $f (x)$ 无定义，则不可能在该处出现极值，因此不添加到列表中。

📐 例题

Find the absolute maximum and absolute minimum of $f (x) = {x^{2} + 1, 3 x - 1, - 2 \leq x \leq 0 0 < x \leq 2$ on the closed interval $[- 2, 2]$ .

1
$f (x)$ 由多项式分段构成，因此唯一可能的间断点在边界 $x = 0$ 处。我们确认 $f (0) = 1$ ， $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - 1$ ，因此 $x = 0$ 处是跳跃间断点，且 $f (0)$ 有定义，所以我们将 $x = 0$ 添加到候选点列表中。
2
找出 $(- 2, 2)$ 内部的临界点：对于 $- 2 < x < 0$ ， $f^{'} (x) = 2 x$ ，仅在 $x = 0$ 处等于零。对于 $0 < x < 2$ ， $f^{'} (x) = 3$ ，永远不为零也不会无定义。因此区间内部仅有的点就是 $x = 0$ 处的间断点。
3
完整候选点列表：端点 $x = - 2, x = 2$ ，加上 $x = 0$ 。
4
计算所有候选点处的 $f (x)$ ：
$f(-2) = 5, \quad f(0) = 1, \quad f(2) = 5$
5
分类：最大值为 $5$ ，在两个端点处都取得，因此绝对最大值是 $5$ 。对于最小值， $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - 1$ ，它比所有候选函数值都小，但 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上从未实际取得 $- 1$ ，因为 $x = 0$ 的定义是 $1$ ，且所有 $x > 0$ 的点都满足 $f (x) > - 1$ 。区间内没有点能取得这个最小值，因此该函数在 $[- 2, 2]$ 上不存在绝对最小值。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这道AP风格选择题测试你的理解：

What is the absolute minimum value of $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 2$ on the closed interval $[0, 5]$ ?
- A. $2$
- B. $- 8$
- C. $11$
- D. $41$
显示答案
B. $-8$ —
正确： $f (x)$ 是连续函数，临界点为 $x = 1$ 和 $x = 4$ （都在区间内部）。候选点是 $x = 0, 1, 4, 5$ 。计算得 $f (4) = - 8$ ，这是最小值。其他选项对应在错误候选点处计算得到的值。

6. 常见陷阱

错误做法:

忘记将闭区间端点加入候选点列表

原因:

学生将临界点和所有候选点混淆，错误认为所有极值都一定是局部极值

正确做法:

计算函数值前，一定要将闭区间的两个端点添加到候选点列表中

错误做法:

将位于给定区间外的临界点加入候选点列表

原因:

学生找出了函数整个定义域上的所有临界点，然后忘记筛选出仅位于目标区间内的临界点

正确做法:

找出所有临界点后，划掉所有不在给定区间内的点，只保留有效候选点

错误做法:

当极值仅在端点处作为极限取得时，仍然声称开区间上存在绝对极值

原因:

学生忘记开区间不包含端点，因此函数不可能在该处取得值

正确做法:

对于任何开端点，只有当端点包含在区间内时，才能将极限算作取得的极值

错误做法:

忘记将（ $f (x)$ 有定义的）间断点添加到候选点列表

原因:

学生默认所有考察的函数都是处处连续的，因此在处理分段函数或有理函数时跳过检查间断点

正确做法:

对于任何非多项式函数，首先找出区间上所有间断点，将所有 $f (x)$ 有定义的间断点添加到候选点列表中

错误做法:

比较 $x$ -值而不是 $f (x)$ 值来寻找绝对最大/最小值

原因:

学生找到候选点后急于下结论，错误选择最大或最小的 $x$ 坐标而非最大/最小的函数输出值

正确做法:

一定要明确写出每个候选点处的 $f (x)$ 值，然后对 函数输出值 排序来找到极值

错误做法:

忽略 $f^{'} (x)$ 无定义（但 $f (x)$ 有定义）的临界点

原因:

学生只通过令 $f^{'} (x) = 0$ 找临界点，忘记了临界点定义的第二部分

正确做法:

找到 $f^{'} (x) = 0$ 的点后，检查是否存在 $f^{'} (x)$ 无定义但 $f (x)$ 有定义的点，将区间内的这类点添加到候选点列表中

7. 速查表

类别	规则/流程	注意事项
候选点定义	All points where absolute extrema can occur: 1) Critical points inside interval, 2) Endpoints of interval, 3) Discontinuities where $f (x)$ is defined	Discard any candidates that lie outside the interval of interest
候选点测试（闭 $[a, b]$ ）	Confirm $f$ continuous, 2. Find critical points in $(a, b)$ , 3. Add endpoints to candidates, 4. Evaluate $f$ at all candidates, 5. Largest $f$ = absolute max, smallest $f$ = absolute min	EVT guarantees both absolute max and min exist for continuous $f$
候选点测试（开 $(a, b)$ ）	Confirm $f$ continuous, 2. Find critical points, 3. Evaluate $f$ at critical points, 4. Calculate $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ and $lim_{x \to b^{-}} f (x)$ , 5. Compare all candidate values, only count attained extrema	No guarantee extrema exist; always check for attainment
候选点测试（无穷 $(- \infty, \infty)$ ）	Same as open interval, add $lim_{x \to - \infty} f (x)$ and $lim_{x \to \infty} f (x)$ as candidate values	Odd-degree polynomials have no absolute extrema; even-degree have one
临界点定义	$x = c$ is critical if $f (c)$ is defined, and $f^{'} (c) = 0$ or $f^{'} (c)$ is undefined	Always include points where $f^{'}$ is undefined but $f$ is defined
不连续函数	Add all discontinuities where $f (x)$ is defined to the candidate list	This is required for all piecewise functions at piece boundaries
绝对极值分类	Absolute maximum = largest $f (x)$ among attained candidates; Absolute minimum = smallest $f (x)$ among attained candidates	Never report an extremum that is not attained at a point in the interval

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
在闭区间上寻找绝对最小值
2023 · FRQ
证明开区间上的绝对最大值

下一步

掌握绝对极值的候选点测试是学习优化问题的关键前置知识，后者是第5单元「微分的解析应用」的下一个主要主题。优化问题要求你寻找实际问题中函数在给定区间上的最大值或最小值，而候选点测试是你解决这些问题的核心方法。你在分析导数图像、证明自由作答题中的极值时也会用到这个技能，所以一定要练习包含所有候选点并证明你的结论，才能在考试当天获得满分。