隐式关系的性质

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 隐式关系分析的核心概念★★☆☆☆⏱ 3 min

隐式关系的性质指的是对未显式解出 $y$ 为 $x$ 的函数的方程，分析其斜率、切线位置、增减趋势和凹凸性。和形如 $y = f (x)$ 的显函数不同，隐式关系中一个 $x$ 可以对应多个 $y$ 值，因此我们无法直接对 $y$ 的显式表达式求导来得到导数信息。相反，我们使用隐函数求导法直接从原隐式方程中提取性质信息。该知识点占AP微积分AB考试总分的约2-4%，会出现在选择题和自由作答题两个部分。

📘 定义

隐式关系

关联 $x$ 和 $y$ 、未写成显式形式 $y = f (x)$ 的方程，对于给定的 $x$ 可能对应多个 $y$ 值。

例:

$x^{2} + y^{2} = 4$ 是表示圆的隐式关系。

2. 切线斜率与特殊切线★★★☆☆⏱ 5 min

要求隐式关系上某点的切线斜率，我们使用隐函数求导法，该方法利用链式法则对含 $y$ 的项求导（因为 $y$ 是 $x$ 的函数）。

对方程两边所有项关于 $x$ 求导
对任何含 $y$ 的项应用链式法则，乘以 $r a c d y d x$ 以考虑内层函数 $y (x)$ 的导数
将所有含 $r a c d y d x$ 的项移到方程一侧，其余项移到另一侧
提取公因子 $r a c d y d x$ ，解出其关于 $x$ 和 $y$ 的表达式，再代入目标点坐标得到斜率

📐 例题

求隐式关系 $x^{3} + 2 x y + y^{2} = 5$ 在点 $(1, 1)$ 处切线的斜率。

1
对方程两边关于 $x$ 求导：
2
$frac{d}{dx}left(x^3right) + frac{d}{dx}left(2xyright) + frac{d}{dx}left(y^2right) = frac{d}{dx}left(5right)$
3
应用幂法则、乘积法则和链式法则：
4
$3x^2 + 2left(y + xfrac{dy}{dx}right) + 2yfrac{dy}{dx} = 0$
5
展开并整理含 $r a c d y d x$ 的项，然后解出 $r a c d y d x$ ：
6
$3x^2 + 2y + frac{dy}{dx}left(2x + 2yright) = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-3x^2 - 2y}{2x + 2y}$
7
代入 $x = 1, y = 1$ 得到斜率：
8
$frac{dy}{dx} = frac{-3(1)^2 - 2(1)}{2(1) + 2(1)} = -frac{5}{4}$
9
点 $(1, 1)$ 处切线的斜率是 $- f r a c 54$ 。

AP考试的常见考题是要求找出隐式关系中切线为水平或竖直的所有点。当 $r a c d y d x$ 写成分式形式 $r a c N (x, y) D (x, y)$ 时：

水平切线：出现在 $r a c d y d x = 0$ 时，要求 $N (x, y) = 0$ ，且该点处 $D (x, y) \neq = 0$ 。
竖直切线：出现在斜率无定义时，即 $D (x, y) = 0$ ，且该点处 $N (x, y) \neq = 0$ 。
如果 $N (x, y) = 0$ 且 $D (x, y) = 0$ ，则该点是奇点，AP考试很少要求求这些点的切线。

📐 例题

对于关系 $x^{2} + 4 y^{2} - 2 x = 3$ ，找出所有切线为水平的点。

1
求导得到 $r a c d y d x$ ：
2
$2x + 8yfrac{dy}{dx} - 2 = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{1 - x}{4y}$
3
水平切线要求分子等于零：
4
$1 - x = 0 implies x = 1$
5
代入 $x = 1$ 回原关系，得到对应的 $y$ 值：
6
$(1)^2 + 4y^2 - 2(1) = 3 implies 4y^2 = 4 implies y = 1 text{ or } y = -1$
7
检查两个点的分母：两个点的 $D = 4 y \neq = 0$ ，因此都有效。存在水平切线的点是 $(1, 1)$ 和 $(1, - 1)$ 。

Exam tip:

如果你只需要求特定点的斜率，不要浪费时间化简 $r a c d y d x$ 的通式；解出 $r a c d y d x$ 后立即代入点的坐标，这样可以减少代数错误。

3. 二阶导数与凹凸性★★★☆☆⏱ 4 min

要确定隐式关系在某点的凹凸性，我们需要二阶导数 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ，其符号含义和显函数相同： $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0$ 表示凹向上， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0$ 表示凹向下。

先通过隐函数求导得到 $r a c d y d x$ ，如前文所述。
对 $r a c d y d x$ 的整个表达式关于 $x$ 求导，根据需要使用乘积/商/链式法则。
将你已经得到的 $r a c d y d x$ 表达式代入二阶导数，消去右侧的 $r a c d y d x$ 。
代入点坐标，得到 $r a c d^{2} y d x^{2}$ 的数值。

📐 例题

求关系 $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ 在点 $(1, 1)$ 处的凹凸性。

1
通过隐函数求导得到 $r a c d y d x$ ：
2
$2x + y + xfrac{dy}{dx} + 2yfrac{dy}{dx} = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-2x - y}{x + 2y}$
3
计算 $(1, 1)$ 处的 $r a c d y d x$ ：
4
$frac{dy}{dx} = frac{-2 -1}{1 + 2} = -1$
5
对 $r a c d y d x$ 使用商法则求导得到 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ：
6
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{(-2 - frac{dy}{dx})(x + 2y) - (-2x - y)(1 + 2frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$
7
代入 $x=1, y=1, rac{dy}{dx} = -1$ ：
8
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{(-2 - (-1))(3) - (-3)(1 - 2)}{9} = frac{-3 - 3}{9} = -frac{2}{3}$
9
因为 $r a c d^{2} y d x^{2} = - f r a c 23 < 0$ ，所以该关系在 $(1, 1)$ 处凹向下。

4. AP风格的练习题讲解★★★★☆⏱ 5 min

📐 例题

选择题：关系 $2 x^{2} + y^{2} = 12$ 在哪一个点处存在水平切线？
A) $(0, 23)$
B) $(2, 2)$
C) $(3, - 6)$
D) $(- 2, 2)$

1
要找存在水平切线的点，首先通过隐函数求导计算 $r a c d y d x$ ：
2
$4x + 2y frac{dy}{dx} = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-2x}{y}$
3
水平切线要求 $r a c d y d x = 0$ ，因此分子 $- 2 x = 0 ⟹ x = 0$ 。只有选项A的 $x = 0$ ，且 $(0, 23)$ 满足原方程，分母非零。
4
正确答案：A

📐 例题

自由作答题：考虑隐式关系 $x^{2} + x y - y^{2} = 5$ 。
(a) 用 $x$ 和 $y$ 表示 $r a c d y d x$ 。
(b) 找出曲线上所有存在竖直切线的点，写出每条竖直切线的方程。
(c) 求点 $(1, 1)$ 处的 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ，说明曲线在该点是凹向上还是凹向下。

1
(a) 部分：对方程两边关于 $x$ 求导：
2
$2x + y + x frac{dy}{dx} - 2y frac{dy}{dx} = 0$
3
整理含 $r a c d y d x$ 的项并求解：
4
$frac{dy}{dx} = frac{-(2x + y)}{x - 2y}$
5
(b) 部分：竖直切线出现在 $r a c d y d x$ 的分母为零、分子非零的位置。令分母等于零：
6
$x - 2y = 0 implies x = 2y$
7
将 $x = 2 y$ 代入原关系：
8
$(2y)^2 + (2y)y - y^2 = 5 implies 5y^2 = 5 implies y = 1, y = -1$
9
对应的 $x$ 值为 $x = 2$ 和 $x = - 2$ ，两个点的分子都非零。有效点是 $(2, 1)$ 和 $(- 2, - 1)$ ，因此竖直切线方程为 $x = 2$ 和 $x = - 2$ 。
10
(c) 部分：先求 $(1, 1)$ 处的 $r a c d y d x$ ：
11
$frac{dy}{dx} = frac{-(2 + 1)}{1 - 2(1)} = 3$
12
使用商法则求 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ：
13
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ - (2 + frac{dy}{dx})(x - 2y) + (2x + y)(1 - 2frac{dy}{dx}) }{(x - 2y)^2}$
14
代入 $x=1, y=1, rac{dy}{dx}=3$ ：
15
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ - (5)(-1) + (3)(-5) }{(-1)^2} = 5 - 15 = -10$
16
因为 $r a c d^{2} y d x^{2} = - 10 < 0$ ，所以曲线在 $(1, 1)$ 处凹向下。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $y^{n}$ 求导得到 $n y^{n - 1}$ ，而非 $n y^{n - 1} \frac{d y}{d x}$

原因:

学生将 $y$ 当作和 $x$ 一样的自变量，忘记 $y$ 是 $x$ 的函数，因此需要应用链式法则。

正确做法:

进行隐函数求导时，任何含 $y$ 项的导数后都一定要乘以 $r a c d y d x$ 。

错误做法:

即使分子也为零，仍然声称所有让 $r a c d y d x$ 分母为零的点都存在竖直切线

原因:

学生只记住了'分母为零=竖直切线'，没有检查0/0的不定情况。

正确做法:

找到让分母为零的点后，代入 $r a c d y d x$ 的分子确认其非零，再确定存在竖直切线。

错误做法:

先把 $r a c d y d x$ 在点处求值得到常数，再对该常数求导得到二阶导数，而非先对通式 $r a c d y d x$ 求导

原因:

学生为了节省计算量提前代入点，消去了所有变量，得到错误的零值二阶导数。

正确做法:

一定要先对 $r a c d y d x$ 的通式求导得到 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ，最后再代入数值。

错误做法:

求水平切线时，解出 $x$ 后就停止，没有从原方程得到对应的 $y$ 坐标

原因:

题目要求的是点，仅 $x$ 不是完整答案，学生忘记点必须满足原关系。

正确做法:

解出使 $r a c d y d x$ 为零的 $x$ （或 $y$ ）后，代回原隐式关系，得到所有有效点的完整坐标。

错误做法:

求 $r a c d^{2} y d x^{2}$ 时，代入点前没有将 $r a c d y d x$ 代入最终表达式

原因:

学生忘记第一步已经得到了 $r a c d y d x$ ，不代入会导致 $r a c d^{2} y d x^{2}$ 的数值结果错误。

正确做法:

在点处求值前，一定要先将 $r a c d y d x$ 的表达式代入二阶导数。

6. 速查表

类别	法则/公式	备注
隐函数求导步骤	两边关于 $x$ 求导 2. 所有含 $y$ 项乘以 $\frac{d y}{d x}$ 3. 整理含 $\frac{d y}{d x}$ 的项 4. 解出 $\frac{d y}{d x}$	适用于任何隐式关系，可求通式或定点斜率
切线斜率	斜率 = 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处求值的 $\frac{d y}{d x}$	先确认 $(x_{0}, y_{0})$ 在原关系上
水平切线条件	$N (x, y) = 0$ ， $D (x, y) \neq = 0$	$\frac{d y}{d x} = \frac{N}{D}$ ；通过原关系求完整点坐标
竖直切线条件	$D (x, y) = 0$ ， $N (x, y) \neq = 0$	忽略两者都为零的点（奇点）
增减性	$\frac{d y}{d x} > 0 ⟹$ 递增 $\frac{d y}{d x} < 0 ⟹$ 递减	和显函数相同；适用于局部曲线分支
二阶导数步骤	对通式 $\frac{d y}{d x}$ 求导，代入 $\frac{d y}{d x}$ ，再求值	先求导，最后代入数值，避免错误
凹凸性	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0 ⟹$ 凹向上 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0 ⟹$ 凹向下	含义和显函数相同，适用于该点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求隐式曲线上的水平切线
2022 · FRQ
求dy/dx和凹凸性

深入阅读

syllabus官方 AP 微积分 AB CED美国大学理事会官方课程文件

下一步

本知识点是分析非显式关系的基础，这类问题会在第5单元剩余部分的应用题型中反复出现。你会将本章学到的技能应用到相关变化率和优化问题中，这类问题几乎总是从变化量之间的隐式关系开始，再求解所需量。如果没有掌握隐式关系的导数、斜率性质和凹凸性的求法，你会很难正确建立和求解这些应用问题，而这类问题占AP微积分AB考试总分的约8-11%。本知识点也为所有类型关系的完整曲线绘图打下基础，将导数性质和可视化的图形形状联系起来。