# 隐式关系的性质

> AP 微积分 AB · 微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-behaviors-of-implicit-relations/

本模块讲解如何分析未显式解出$y$的方程的斜率、切线位置、增减性和凹凸性。你将学习使用隐函数求导法求这些关系的一阶和二阶导数。

**先修:** 基本导数法则（幂法则、乘积法则、商法则）; 复合函数的链式法则; 通过导数符号判断增减性; 通过二阶导数判断凹凸性

## 学习目标

- 通过隐函数求导法求隐式关系的一阶导数
- 确定隐式曲线上水平切线和竖直切线的位置
- 计算隐式关系的二阶导数以确定凹凸性
- 判断隐式关系的递增/递减性质

## 隐式关系分析的核心概念

隐式关系的性质指的是对未显式解出$y$为$x$的函数的方程，分析其斜率、切线位置、增减趋势和凹凸性。和形如$y = f(x)$的显函数不同，隐式关系中一个$x$可以对应多个$y$值，因此我们无法直接对$y$的显式表达式求导来得到导数信息。相反，我们使用隐函数求导法直接从原隐式方程中提取性质信息。该知识点占AP微积分AB考试总分的约2-4%，会出现在选择题和自由作答题两个部分。

**隐式关系** — 关联$x$和$y$、未写成显式形式$y = f(x)$的方程，对于给定的$x$可能对应多个$y$值。

*例:* $x^2 + y^2 = 4$是表示圆的隐式关系。

## 切线斜率与特殊切线

要求隐式关系上某点的切线斜率，我们使用隐函数求导法，该方法利用链式法则对含$y$的项求导（因为$y$是$x$的函数）。

1. 对方程两边所有项关于$x$求导
2. 对任何含$y$的项应用链式法则，乘以$\frac{dy}{dx}$以考虑内层函数$y(x)$的导数
3. 将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到方程一侧，其余项移到另一侧
4. 提取公因子$\frac{dy}{dx}$，解出其关于$x$和$y$的表达式，再代入目标点坐标得到斜率

**例题:** 求隐式关系$x^3 + 2xy + y^2 = 5$在点$(1, 1)$处切线的斜率。

1. 对方程两边关于$x$求导：
2. $$frac{d}{dx}left(x^3right) + frac{d}{dx}left(2xyright) + frac{d}{dx}left(y^2right) = frac{d}{dx}left(5right)$$
3. 应用幂法则、乘积法则和链式法则：
4. $$3x^2 + 2left(y + xfrac{dy}{dx}right) + 2yfrac{dy}{dx} = 0$$
5. 展开并整理含$\frac{dy}{dx}$的项，然后解出$\frac{dy}{dx}$：
6. $$3x^2 + 2y + frac{dy}{dx}left(2x + 2yright) = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-3x^2 - 2y}{2x + 2y}$$
7. 代入$x=1, y=1$得到斜率：
8. $$frac{dy}{dx} = frac{-3(1)^2 - 2(1)}{2(1) + 2(1)} = -frac{5}{4}$$
9. 点$(1,1)$处切线的斜率是$-frac{5}{4}$。

AP考试的常见考题是要求找出隐式关系中切线为水平或竖直的所有点。当$\frac{dy}{dx}$写成分式形式$\frac{N(x,y)}{D(x,y)}$时：

- **水平切线**：出现在$\frac{dy}{dx} = 0$时，要求$N(x,y) = 0$，且该点处$D(x,y) \neq 0$。
- **竖直切线**：出现在斜率无定义时，即$D(x,y) = 0$，且该点处$N(x,y) \neq 0$。
- 如果$N(x,y) = 0$且$D(x,y) = 0$，则该点是奇点，AP考试很少要求求这些点的切线。

> **tip**
>
> 一定要将你解出的$x$或$y$代回原隐式方程，得到完整的点坐标，不要只停留在导数部分。

**例题:** 对于关系$x^2 + 4y^2 - 2x = 3$，找出所有切线为水平的点。

1. 求导得到$\frac{dy}{dx}$：
2. $$2x + 8yfrac{dy}{dx} - 2 = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{1 - x}{4y}$$
3. 水平切线要求分子等于零：
4. $$1 - x = 0 implies x = 1$$
5. 代入$x=1$回原关系，得到对应的$y$值：
6. $$(1)^2 + 4y^2 - 2(1) = 3 implies 4y^2 = 4 implies y = 1 text{ or } y = -1$$
7. 检查两个点的分母：两个点的$D=4y \neq 0$，因此都有效。存在水平切线的点是$(1, 1)$和$(1, -1)$。

> **tip**
>
> 如果你被要求写出切线方程，记住：水平切线形式为$y = k$，竖直切线形式为$x = h$，其中$(h,k)$是切点。很多学生混淆这两种形式，因此丢分。

> **考试提示:** 如果你只需要求特定点的斜率，不要浪费时间化简$\frac{dy}{dx}$的通式；解出$\frac{dy}{dx}$后立即代入点的坐标，这样可以减少代数错误。

## 二阶导数与凹凸性

要确定隐式关系在某点的凹凸性，我们需要二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$，其符号含义和显函数相同：$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$表示凹向上，$\frac{d^2y}{dx^2} < 0$表示凹向下。

1. 先通过隐函数求导得到$\frac{dy}{dx}$，如前文所述。
2. 对$\frac{dy}{dx}$的整个表达式关于$x$求导，根据需要使用乘积/商/链式法则。
3. 将你已经得到的$\frac{dy}{dx}$表达式代入二阶导数，消去右侧的$\frac{dy}{dx}$。
4. 代入点坐标，得到$\frac{d^2y}{dx^2}$的数值。

> **warning**
>
> 这里最常见的错误是在求导前就把点代入$\frac{dy}{dx}$，这会得到错误的零值二阶导数。

**例题:** 求关系$x^2 + xy + y^2 = 3$在点$(1, 1)$处的凹凸性。

1. 通过隐函数求导得到$\frac{dy}{dx}$：
2. $$2x + y + xfrac{dy}{dx} + 2yfrac{dy}{dx} = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-2x - y}{x + 2y}$$
3. 计算$(1, 1)$处的$\frac{dy}{dx}$：
4. $$frac{dy}{dx} = frac{-2 -1}{1 + 2} = -1$$
5. 对$\frac{dy}{dx}$使用商法则求导得到$\frac{d^2y}{dx^2}$：
6. $$frac{d^2y}{dx^2} = frac{(-2 - frac{dy}{dx})(x + 2y) - (-2x - y)(1 + 2frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$$
7. 代入$x=1, y=1, \frac{dy}{dx} = -1$：
8. $$frac{d^2y}{dx^2} = frac{(-2 - (-1))(3) - (-3)(1 - 2)}{9} = frac{-3 - 3}{9} = -frac{2}{3}$$
9. 因为$\frac{d^2y}{dx^2} = -frac{2}{3} < 0$，所以该关系在$(1,1)$处凹向下。

> **tip**
>
> 一定要在代入点求值前将$\frac{dy}{dx}$代入二阶导数表达式；不代入$\frac{dy}{dx}$会得到错误的凹凸性数值结果。

## AP风格的练习题讲解

**例题:** 选择题：关系$2x^2 + y^2 = 12$在哪一个点处存在水平切线？<br>A) $(0, 2\sqrt{3})$<br>B) $(2, 2)$<br>C) $(\sqrt{3}, -\sqrt{6})$<br>D) $(-2, 2)$

1. 要找存在水平切线的点，首先通过隐函数求导计算$\frac{dy}{dx}$：
2. $$4x + 2y frac{dy}{dx} = 0 implies frac{dy}{dx} = frac{-2x}{y}$$
3. 水平切线要求$\frac{dy}{dx} = 0$，因此分子$-2x = 0 \implies x=0$。只有选项A的$x=0$，且$(0, 2\sqrt{3})$满足原方程，分母非零。
4. 正确答案：**A**

**例题:** 自由作答题：考虑隐式关系$x^2 + xy - y^2 = 5$。<br>(a) 用$x$和$y$表示$\frac{dy}{dx}$。<br>(b) 找出曲线上所有存在竖直切线的点，写出每条竖直切线的方程。<br>(c) 求点$(1, 1)$处的$\frac{d^2y}{dx^2}$，说明曲线在该点是凹向上还是凹向下。

1. (a) 部分：对方程两边关于$x$求导：
2. $$2x + y + x frac{dy}{dx} - 2y frac{dy}{dx} = 0$$
3. 整理含$\frac{dy}{dx}$的项并求解：
4. $$frac{dy}{dx} = frac{-(2x + y)}{x - 2y}$$
5. (b) 部分：竖直切线出现在$\frac{dy}{dx}$的分母为零、分子非零的位置。令分母等于零：
6. $$x - 2y = 0 implies x = 2y$$
7. 将$x=2y$代入原关系：
8. $$(2y)^2 + (2y)y - y^2 = 5 implies 5y^2 = 5 implies y = 1, y = -1$$
9. 对应的$x$值为$x=2$和$x=-2$，两个点的分子都非零。有效点是$(2,1)$和$(-2,-1)$，因此竖直切线方程为$x=2$和$x=-2$。
10. (c) 部分：先求$(1,1)$处的$\frac{dy}{dx}$：
11. $$frac{dy}{dx} = frac{-(2 + 1)}{1 - 2(1)} = 3$$
12. 使用商法则求$\frac{d^2y}{dx^2}$：
13. $$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ - (2 + frac{dy}{dx})(x - 2y) + (2x + y)(1 - 2frac{dy}{dx}) }{(x - 2y)^2}$$
14. 代入$x=1, y=1, \frac{dy}{dx}=3$：
15. $$frac{d^2y}{dx^2} = frac{ - (5)(-1) + (3)(-5) }{(-1)^2} = 5 - 15 = -10$$
16. 因为$\frac{d^2y}{dx^2} = -10 < 0$，所以曲线在$(1,1)$处凹向下。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$y^n$求导得到$n y^{n-1}$，而非$n y^{n-1} \frac{dy}{dx}$
  - 原因: 学生将$y$当作和$x$一样的自变量，忘记$y$是$x$的函数，因此需要应用链式法则。
  - 正确做法: 进行隐函数求导时，任何含$y$项的导数后都一定要乘以$\frac{dy}{dx}$。
- **错误做法:** 即使分子也为零，仍然声称所有让$\frac{dy}{dx}$分母为零的点都存在竖直切线
  - 原因: 学生只记住了'分母为零=竖直切线'，没有检查0/0的不定情况。
  - 正确做法: 找到让分母为零的点后，代入$\frac{dy}{dx}$的分子确认其非零，再确定存在竖直切线。
- **错误做法:** 先把$\frac{dy}{dx}$在点处求值得到常数，再对该常数求导得到二阶导数，而非先对通式$\frac{dy}{dx}$求导
  - 原因: 学生为了节省计算量提前代入点，消去了所有变量，得到错误的零值二阶导数。
  - 正确做法: 一定要先对$\frac{dy}{dx}$的通式求导得到$\frac{d^2y}{dx^2}$，最后再代入数值。
- **错误做法:** 求水平切线时，解出$x$后就停止，没有从原方程得到对应的$y$坐标
  - 原因: 题目要求的是点，仅$x$不是完整答案，学生忘记点必须满足原关系。
  - 正确做法: 解出使$\frac{dy}{dx}$为零的$x$（或$y$）后，代回原隐式关系，得到所有有效点的完整坐标。
- **错误做法:** 求$\frac{d^2y}{dx^2}$时，代入点前没有将$\frac{dy}{dx}$代入最终表达式
  - 原因: 学生忘记第一步已经得到了$\frac{dy}{dx}$，不代入会导致$\frac{d^2y}{dx^2}$的数值结果错误。
  - 正确做法: 在点处求值前，一定要先将$\frac{dy}{dx}$的表达式代入二阶导数。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 隐函数求导步骤 | 1. 两边关于$x$求导<br>2. 所有含$y$项乘以$\frac{dy}{dx}$<br>3. 整理含$\frac{dy}{dx}$的项<br>4. 解出$\frac{dy}{dx}$ | 适用于任何隐式关系，可求通式或定点斜率 |
| 切线斜率 | 斜率 = 在$(x_0, y_0)$处求值的$\frac{dy}{dx}$ | 先确认$(x_0, y_0)$在原关系上 |
| 水平切线条件 | $N(x,y) = 0$，$D(x,y) \neq 0$ | $\frac{dy}{dx} = \frac{N}{D}$；通过原关系求完整点坐标 |
| 竖直切线条件 | $D(x,y) = 0$，$N(x,y) \neq 0$ | 忽略两者都为零的点（奇点） |
| 增减性 | $\frac{dy}{dx} > 0 \implies$ 递增<br>$\frac{dy}{dx} < 0 \implies$ 递减 | 和显函数相同；适用于局部曲线分支 |
| 二阶导数步骤 | 对通式$\frac{dy}{dx}$求导，代入$\frac{dy}{dx}$，再求值 | 先求导，最后代入数值，避免错误 |
| 凹凸性 | $\frac{d^2y}{dx^2} > 0 \implies$ 凹向上<br>$\frac{d^2y}{dx^2} < 0 \implies$ 凹向下 | 含义和显函数相同，适用于该点 |

## 下一步

本知识点是分析非显式关系的基础，这类问题会在第5单元剩余部分的应用题型中反复出现。你会将本章学到的技能应用到相关变化率和优化问题中，这类问题几乎总是从变化量之间的隐式关系开始，再求解所需量。如果没有掌握隐式关系的导数、斜率性质和凹凸性的求法，你会很难正确建立和求解这些应用问题，而这类问题占AP微积分AB考试总分的约8-11%。本知识点也为所有类型关系的完整曲线绘图打下基础，将导数性质和可视化的图形形状联系起来。

- [积分与变化的累积 单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-overview/)
- [变化累积探究](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-exploring-accumulations-of-change/)
- [用黎曼和近似面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-approximating-areas-with-riemann-sums/)

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