直线运动：位置、速度、加速度

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — 微分的实际应用· 14 分钟阅读

1. 位置与瞬时速度★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

质点在时刻 $t$ 的位置由函数 $s (t)$ 给出，它返回质点在直线坐标轴上的坐标。在AP运动问题中，时间始终是非负的（ $t \geq 0$ ）， $t = a$ 到 $t = b$ 之间的位移为 $s (b) - s (a)$ ，即位置的净变化，和总路程不同。

📘 定义

瞬时速度

$v (t)$

位置对时间的瞬时变化率，等于位置函数的一阶导数。

例:

若 $s (t)$ 的单位是厘米， $v (t)$ 的单位就是厘米/秒。

v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}

速度的符号表示运动方向： $v (t) > 0$ 表示质点向正方向运动（向右/向上）， $v (t) < 0$ 表示质点向负方向运动（向左/向下）， $v (t) = 0$ 表示质点瞬时静止。考试中常见问题包括求某一时刻的速度，或求质点静止的所有时刻。

📐 例题

沿x轴运动的质点位置满足 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ （ $t \geq 0$ ），其中 $s$ 单位为厘米， $t$ 单位为秒。(a) 求 $t = 2$ 秒时质点的速度。(b) 质点在哪些 $t > 0$ 的时刻处于静止状态？

1
速度是位置的一阶导数，用幂函数求导法则求导：
2
$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$
3
对于(a)问，将 $t = 2$ 代入 $v (t)$ ：
4
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \text{ cm/s}$
5
对于(b)问，质点静止时 $v (t) = 0$ ，因此令导数等于零：
6
$3t^2 - 12t + 9 = 0$
7
对二次式因式分解后求解：
8
$3(t-1)(t-3) = 0$
9
两个解都是正数，因此质点在 $t = 1$ 秒和 $t = 3$ 秒时静止。

Exam tip:

做自由问答题的运动题时，最终答案一定要带单位。AP阅卷人会对情景题中漏写或错写单位扣1分，因此默认所有最终答案都要加上单位。

2. 加速度与加速/减速★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

加速度是速度对时间的瞬时变化率，因此它是原位置函数的二阶导数。

📘 定义

瞬时加速度

$a (t)$

速度的导数，即位置的二阶导数，描述速度随时间的变化情况。

a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt} = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}

AP考试高频考察的核心概念能力是判断质点加速还是减速。判断规则是：若 $v (t)$ 和 $a (t)$ 符号相同（同为正或同为负），则质点在加速；若符号相反，则质点在减速。

📐 例题

已知质点位置为 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ （ $t \geq 0$ ，单位：厘米、秒），求 $t = 1.5$ 秒时的加速度，并判断此时质点是加速还是减速。

1
我们已经在上一个例题中求出了速度，现在计算 $v (1.5)$ ：
2
$v(1.5) = 3(2.25) - 12(1.5) + 9 = -2.25 \text{ cm/s}$
3
$t = 1.5$ 时速度为负。加速度是速度的导数，因此对 $v (t)$ 求导：
4
$a(t) = 6t - 12 \text{ cm/s}^2$
5
代入 $t = 1.5$ 求加速度：
6
$a(1.5) = 6(1.5) - 12 = -3 \text{ cm/s}^2$
7
加速度也为负。由于 $v (t)$ 和 $a (t)$ 符号相同（都为负），因此质点在 $t = 1.5$ 秒时正在加速。

Exam tip:

永远不要假设负加速度就意味着质点在减速。仅加速度的符号只能描述速度的变化方向，你必须对比加速度和速度的符号，才能判断速率是增加还是减少。

3. 速率及其变化率★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

速度和速率经常被混淆，但它们是不同的物理量。速度是一维矢量，符号代表方向。速率是没有方向的非负标量，等于速度的绝对值。

📘 定义

速率

$Speed (t)$

速度的非负大小，描述质点运动的快慢，不包含方向信息。

例:

速率永远是正数或零，不可能为负。

\text{Speed}(t) = |v(t)|

AP 微积分 AB 也会考察速率的变化率，当 $v (t) \neq = 0$ 时，可以用绝对值的链式法则推导得到：

\frac{d}{dt}|v(t)| = \frac{v(t) \cdot v'(t)}{|v(t)|} = \frac{v(t)a(t)}{|v(t)|}

该导数的符号验证了之前的加速/减速规则：当 $v$ 和 $a$ 符号相同时，速率的导数为正（速率增加，即加速）；当符号相反时，导数为负（速率减小，即减速）。

📐 例题

沿x轴运动的质点在 $t \geq 0$ 时的速度为 $v (t) = 4 cos (2 t)$ ，速度单位为米/秒。(a) 求 $t = \frac{π}{3}$ 时质点的速率；(b) 求该时刻速率的变化率。

1
对于(a)问，先计算给定时刻的速度：
2
$v\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \text{ m/s}$
3
速率是速度的绝对值，因此：
4
$\left|v\left(\frac{\pi}{3}\right)\right| = |-2| = 2 \text{ m/s}$
5
对于(b)问，先对速度求导得到加速度：
6
$a(t) = v'(t) = -8\sin(2t) \implies a\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4\sqrt{3} \text{ m/s}^2$
7
代入速率的导数公式：
8
$\frac{d}{dt}|v(t)| = \frac{v(t) a(t)}{|v(t)|} = \frac{(-2)(-4\sqrt{3})}{|-2|} = 4\sqrt{3} \text{ m/s}^2$

Exam tip:

题目中每出现"速率"这个词就把它圈出来，提醒自己要对速度取绝对值。这是AP运动题中最常见的可避免错误之一。

4. AP风格练习例题★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

📐 例题

质点沿x轴运动，位置函数为 $s (t) = e^{t} - 3 t$ （ $t \geq 0$ ）， $t = 1$ 时质点的速率是多少？ A) $e - 3$ B) $3 - e$ C) $e$ D) $3$

1
速率是速度的绝对值，速度是位置的一阶导数。对 $s (t)$ 求导：
2
$v(t) = s'(t) = e^t - 3$
3
代入 $t = 1$ 得 $v (1) = e - 3 \approx - 0.282$ ，结果为负。
4
取绝对值得到速率：因为 $e < 3$ ，所以 $∣ e - 3∣ = 3 - e$ ，正确答案是B。

📐 例题

弹珠沿水平直轨道运动，位置满足 $s (t) = t^{4} - 10 t^{3} + 24 t^{2} + 5$ （ $t \geq 0$ ），其中 $s$ 单位为米， $t$ 单位为秒。 (a) 求速度函数 $v (t)$ ，并计算 $v (2)$ 。 (b) 求所有使得质点静止的非负 $t$ 值。 (c) 判断质点在 $t = 1.5$ 时是加速还是减速，证明你的结论。

1
(a)问：速度是位置的一阶导数：
2
$v(t) = s'(t) = 4t^3 - 30t^2 + 48t$
3
代入 $t = 2$ ：
4
$v(2) = 4(8) - 30(4) + 48(2) = 8 \text{ m/s}$
5
(b)问：质点静止时 $v (t) = 0$ ，对 $v (t)$ 因式分解：
6
$2t(2t^2 - 15t + 24) = 0$
7
用二次求根公式求解根：
8
$t = 0, \frac{15 \pm \sqrt{33}}{4}$
9
所有解都是非负的，因此质点在 $t = 0$ 、 $t \approx 2.31$ 秒和 $t \approx 5.19$ 秒时静止。
10
(c)问：计算加速度，并求出 $t = 1.5$ 时的值：
11
$a(t) = 12t^2 - 60t + 48, \quad v(1.5)=18 \text{ (positive)}, \quad a(1.5)=-15 \text{ (negative)}$
12
由于 $v (t)$ 和 $a (t)$ 符号相反，因此质点在 $t = 1.5$ 时正在减速。

5. 常见陷阱

错误做法:

仅因为 $v (a) = 0$ 就判定质点在 $t = a$ 处改变运动方向。

原因:

学生记住了"质点速度为零就是改变方向"，但忘记速度必须在该点变号；质点可以瞬时停下，不改变方向。

正确做法:

得出方向改变的结论前，一定要在 $v (t) = 0$ 解的两侧区间检验 $v (t)$ 的符号。

错误做法:

因为加速度为负就说质点在减速。

原因:

学生把"负加速度"和"减速"绑定，不考虑速度符号就默认负加速度一定是减速。

正确做法:

一定要先写下给定时刻 $v (t)$ 和 $a (t)$ 的符号，再根据符号相同（加速）或相反（减速）判断。

错误做法:

题目问加速度，却把速度当答案写上。

原因:

做题快的时候，学生忘记加速度是速度的导数，只算到位置的一阶导数就停了。

正确做法:

做每道运动题时，先在题干上方写下 $s (t) \to v (t) = s^{'} \to a (t) = v^{'} = s^{''}$ ，清晰标注各阶导数。

错误做法:

求解质点静止时刻时，保留负的时间解。

原因:

学生解完 $v (t) = 0$ 后，忘记所有运动问题都满足 $t \geq 0$ 的前提。

正确做法:

解完方程后立刻划掉所有负的 $t$ 解，因为时间从 $t = 0$ 开始。

错误做法:

计算速率时忘记对速度取绝对值。

原因:

学生习惯了和速度打交道，因此直接把速度值（包括负号）抄过来当速率的答案。

正确做法:

题目要求速率时，算出速度后立刻增加取绝对值的步骤。

6. 速查表

类别	公式	注释
位置	$s (t)$	给出质点在 $t \geq 0$ 时刻的坐标；符号表示质点相对于原点的位置。
瞬时速度	$v (t) = s^{'} (t) = \frac{d s}{d t}$	符号表示方向： $v > 0$ = 正方向， $v < 0$ = 负方向， $v = 0$ = 静止。
瞬时加速度	$a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	符号表示速度在增加（ $a > 0$ ）还是减少（ $a < 0$ ）。
速率	$Speed (t) = ∣ v (t) ∣$	无方向的非负标量；一定要对速度取绝对值。
速率的变化率	$\frac{d}{d t} ∣ v (t) ∣ = \frac{v ( t ) a ( t )}{∣ v ( t ) ∣}$	$v (t) \neq = 0$ 时成立；正 = 速率增加，负 = 速率减小。
加速 / 减速	$v, a$ 同号 = 加速；异号 = 减速	永远不能仅靠加速度符号做出判断。
方向改变	$v (t)$ 在 $t = a$ 处变号时发生	$v (a) = 0$ 是必要不充分条件；必须验证变号。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AB
关于加速/减速的自由问答题部分
2022 · AB
速率计算选择题

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下一步

本主题是你在AP微积分AB课程后续学习中遇到的所有运动问题的基础。接下来你将学习如何用积分根据速度求位置、根据速度计算总路程，这是自由问答题的常见考点，完全依赖你对位置、速度、加速度导数关系的掌握。如果不掌握本子主题中这三个函数的关系，求解积分运动问题会非常困难，因为你无法正确解读你算出的物理量。本主题还帮你建立导数作为变化率的核心概念理解，这是所有微分实际应用（包括相关变化率）的核心。