# 直线运动：位置、速度、加速度

> AP 微积分 AB · 第4单元：微分的实际应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-straight-line-motion-position-velocity/

本子主题将微分与运动学结合，讲解直线运动中位置、速度、加速度三者的核心关系。你将学习如何计算这些物理量，并在AP考试题目中解读运动状态。

**先修:** [包括链式法则在内的基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivative-rules/); 解读导数在区间上的符号意义; 求解多项式方程和三角方程

## 学习目标

- 利用导数建立位置、速度和加速度的关系
- 解读运动方向，判断质点何时静止
- 判断质点是加速还是减速
- 计算速率及其变化率
- 规避直线运动问题中常见的考试错误

## 位置与瞬时速度

质点在时刻$t$的位置由函数$s(t)$给出，它返回质点在直线坐标轴上的坐标。在AP运动问题中，时间始终是非负的（$t \geq 0$），$t=a$到$t=b$之间的位移为$s(b)-s(a)$，即位置的净变化，和总路程不同。

**瞬时速度** — 位置对时间的瞬时变化率，等于位置函数的一阶导数。

*记法:* $v(t)$

*例:* 若$s(t)$的单位是厘米，$v(t)$的单位就是厘米/秒。

$$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$$

速度的符号表示运动方向：$v(t) > 0$表示质点向正方向运动（向右/向上），$v(t) < 0$表示质点向负方向运动（向左/向下），$v(t)=0$表示质点瞬时静止。考试中常见问题包括求某一时刻的速度，或求质点静止的所有时刻。

**例题:** 沿x轴运动的质点位置满足$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（$t \geq 0$），其中$s$单位为厘米，$t$单位为秒。(a) 求$t=2$秒时质点的速度。(b) 质点在哪些$t>0$的时刻处于静止状态？

1. 速度是位置的一阶导数，用幂函数求导法则求导：
2. $$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$$
3. 对于(a)问，将$t=2$代入$v(t)$：
4. $$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \text{ cm/s}$$
5. 对于(b)问，质点静止时$v(t)=0$，因此令导数等于零：
6. $$3t^2 - 12t + 9 = 0$$
7. 对二次式因式分解后求解：
8. $$3(t-1)(t-3) = 0$$
9. 两个解都是正数，因此质点在$t=1$秒和$t=3$秒时静止。

> **考试提示:** 做自由问答题的运动题时，最终答案一定要带单位。AP阅卷人会对情景题中漏写或错写单位扣1分，因此默认所有最终答案都要加上单位。

*计算器:* allowed

## 加速度与加速/减速

加速度是速度对时间的瞬时变化率，因此它是原位置函数的二阶导数。

**瞬时加速度** — 速度的导数，即位置的二阶导数，描述速度随时间的变化情况。

*记法:* $a(t)$

$$a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt} = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}$$

AP考试高频考察的核心概念能力是判断质点加速还是减速。判断规则是：若$v(t)$和$a(t)$符号相同（同为正或同为负），则质点在加速；若符号相反，则质点在减速。

**例题:** 已知质点位置为$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（$t \geq 0$，单位：厘米、秒），求$t=1.5$秒时的加速度，并判断此时质点是加速还是减速。

1. 我们已经在上一个例题中求出了速度，现在计算$v(1.5)$：
2. $$v(1.5) = 3(2.25) - 12(1.5) + 9 = -2.25 \text{ cm/s}$$
3. $t=1.5$时速度为负。加速度是速度的导数，因此对$v(t)$求导：
4. $$a(t) = 6t - 12 \text{ cm/s}^2$$
5. 代入$t=1.5$求加速度：
6. $$a(1.5) = 6(1.5) - 12 = -3 \text{ cm/s}^2$$
7. 加速度也为负。由于$v(t)$和$a(t)$符号相同（都为负），因此质点在$t=1.5$秒时正在加速。

> **考试提示:** 永远不要假设负加速度就意味着质点在减速。仅加速度的符号只能描述速度的变化方向，你必须对比加速度和速度的符号，才能判断速率是增加还是减少。

*计算器:* allowed

## 速率及其变化率

速度和速率经常被混淆，但它们是不同的物理量。速度是一维矢量，符号代表方向。速率是没有方向的非负标量，等于速度的绝对值。

**速率** — 速度的非负大小，描述质点运动的快慢，不包含方向信息。

*记法:* $\text{Speed}(t)$

*例:* 速率永远是正数或零，不可能为负。

$$\text{Speed}(t) = |v(t)|$$

AP 微积分 AB 也会考察速率的变化率，当$v(t) \neq 0$时，可以用绝对值的链式法则推导得到：

$$\frac{d}{dt}|v(t)| = \frac{v(t) \cdot v'(t)}{|v(t)|} = \frac{v(t)a(t)}{|v(t)|}$$

该导数的符号验证了之前的加速/减速规则：当$v$和$a$符号相同时，速率的导数为正（速率增加，即加速）；当符号相反时，导数为负（速率减小，即减速）。

**例题:** 沿x轴运动的质点在$t \geq 0$时的速度为$v(t) = 4\cos(2t)$，速度单位为米/秒。(a) 求$t = \frac{\pi}{3}$时质点的速率；(b) 求该时刻速率的变化率。

1. 对于(a)问，先计算给定时刻的速度：
2. $$v\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \text{ m/s}$$
3. 速率是速度的绝对值，因此：
4. $$\left|v\left(\frac{\pi}{3}\right)\right| = |-2| = 2 \text{ m/s}$$
5. 对于(b)问，先对速度求导得到加速度：
6. $$a(t) = v'(t) = -8\sin(2t) \implies a\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4\sqrt{3} \text{ m/s}^2$$
7. 代入速率的导数公式：
8. $$\frac{d}{dt}|v(t)| = \frac{v(t) a(t)}{|v(t)|} = \frac{(-2)(-4\sqrt{3})}{|-2|} = 4\sqrt{3} \text{ m/s}^2$$

> **考试提示:** 题目中每出现"速率"这个词就把它圈出来，提醒自己要对速度取绝对值。这是AP运动题中最常见的可避免错误之一。

*计算器:* allowed

## AP风格练习例题

**例题:** 质点沿x轴运动，位置函数为$s(t) = e^{t} - 3t$（$t \geq 0$），$t=1$时质点的速率是多少？
A) $e - 3$
B) $3 - e$
C) $e$
D) $3$

1. 速率是速度的绝对值，速度是位置的一阶导数。对$s(t)$求导：
2. $$v(t) = s'(t) = e^t - 3$$
3. 代入$t=1$得$v(1) = e - 3 \approx -0.282$，结果为负。
4. 取绝对值得到速率：因为$e < 3$，所以$|e - 3| = 3 - e$，正确答案是B。

**例题:** 弹珠沿水平直轨道运动，位置满足$s(t) = t^4 - 10t^3 + 24t^2 + 5$（$t \geq 0$），其中$s$单位为米，$t$单位为秒。
(a) 求速度函数$v(t)$，并计算$v(2)$。
(b) 求所有使得质点静止的非负$t$值。
(c) 判断质点在$t=1.5$时是加速还是减速，证明你的结论。

1. (a)问：速度是位置的一阶导数：
2. $$v(t) = s'(t) = 4t^3 - 30t^2 + 48t$$
3. 代入$t=2$：
4. $$v(2) = 4(8) - 30(4) + 48(2) = 8 \text{ m/s}$$
5. (b)问：质点静止时$v(t)=0$，对$v(t)$因式分解：
6. $$2t(2t^2 - 15t + 24) = 0$$
7. 用二次求根公式求解根：
8. $$t = 0, \frac{15 \pm \sqrt{33}}{4}$$
9. 所有解都是非负的，因此质点在$t=0$、$t \approx 2.31$秒和$t \approx 5.19$秒时静止。
10. (c)问：计算加速度，并求出$t=1.5$时的值：
11. $$a(t) = 12t^2 - 60t + 48, \quad v(1.5)=18 \text{ (positive)}, \quad a(1.5)=-15 \text{ (negative)}$$
12. 由于$v(t)$和$a(t)$符号相反，因此质点在$t=1.5$时正在减速。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 仅因为$v(a)=0$就判定质点在$t=a$处改变运动方向。
  - 原因: 学生记住了"质点速度为零就是改变方向"，但忘记速度必须在该点变号；质点可以瞬时停下，不改变方向。
  - 正确做法: 得出方向改变的结论前，一定要在$v(t)=0$解的两侧区间检验$v(t)$的符号。
- **错误做法:** 因为加速度为负就说质点在减速。
  - 原因: 学生把"负加速度"和"减速"绑定，不考虑速度符号就默认负加速度一定是减速。
  - 正确做法: 一定要先写下给定时刻$v(t)$和$a(t)$的符号，再根据符号相同（加速）或相反（减速）判断。
- **错误做法:** 题目问加速度，却把速度当答案写上。
  - 原因: 做题快的时候，学生忘记加速度是速度的导数，只算到位置的一阶导数就停了。
  - 正确做法: 做每道运动题时，先在题干上方写下$s(t) \to v(t)=s' \to a(t)=v'=s''$，清晰标注各阶导数。
- **错误做法:** 求解质点静止时刻时，保留负的时间解。
  - 原因: 学生解完$v(t)=0$后，忘记所有运动问题都满足$t \geq 0$的前提。
  - 正确做法: 解完方程后立刻划掉所有负的$t$解，因为时间从$t=0$开始。
- **错误做法:** 计算速率时忘记对速度取绝对值。
  - 原因: 学生习惯了和速度打交道，因此直接把速度值（包括负号）抄过来当速率的答案。
  - 正确做法: 题目要求速率时，算出速度后立刻增加取绝对值的步骤。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 位置 | $s(t)$ | 给出质点在$t \geq 0$时刻的坐标；符号表示质点相对于原点的位置。 |
| 瞬时速度 | $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$ | 符号表示方向：$v>0$ = 正方向，$v<0$ = 负方向，$v=0$ = 静止。 |
| 瞬时加速度 | $a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}$ | 符号表示速度在增加（$a>0$）还是减少（$a<0$）。 |
| 速率 | $\text{Speed}(t) = \|v(t)\|$ | 无方向的非负标量；一定要对速度取绝对值。 |
| 速率的变化率 | $\frac{d}{dt}\|v(t)\| = \frac{v(t)a(t)}{\|v(t)\|}$ | $v(t) \neq 0$时成立；正 = 速率增加，负 = 速率减小。 |
| 加速 / 减速 | $v,a$同号 = 加速；异号 = 减速 | 永远不能仅靠加速度符号做出判断。 |
| 方向改变 | $v(t)$在$t=a$处变号时发生 | $v(a)=0$是必要不充分条件；必须验证变号。 |

## 下一步

本主题是你在AP微积分AB课程后续学习中遇到的所有运动问题的基础。接下来你将学习如何用积分根据速度求位置、根据速度计算总路程，这是自由问答题的常见考点，完全依赖你对位置、速度、加速度导数关系的掌握。如果不掌握本子主题中这三个函数的关系，求解积分运动问题会非常困难，因为你无法正确解读你算出的物理量。本主题还帮你建立导数作为变化率的核心概念理解，这是所有微分实际应用（包括相关变化率）的核心。

- [非运动应用场景下的变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-rates-of-change-in-applied/)
- [相关变化率入门](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-introduction-to-related-rates/)
- [求解相关变化率问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-solving-related-rates-problems/)

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