# 求解相关变化率问题

> AP 微积分 AB · 微分的情境应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-solving-related-rates-problems/

本指南介绍AP微积分AB中求解相关变化率问题的核心框架，包括隐式对时间求导、变化率符号解释，以及常见几何和真实世界考试场景的解法。

**先修:** [隐函数的隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/); [复合函数的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/); 面积、体积和相似三角形的基础几何公式

## 学习目标

- 理解相关变化率问题如何利用微分关联变化的量
- 应用四步解题框架求解所有相关变化率问题
- 求解AP考试常见场景，包括勾股定理和相似三角形问题
- 在情境中正确标记和解释变化率的符号

## 什么是相关变化率问题？

相关变化率问题利用微分，将一个未知量的变化率与一个或多个已知量的变化率关联起来，几乎所有问题都是对时间$t$求导。该知识点约占第四单元考试占比的12%，在AP考试的选择题和自由问答题部分都会出现。

**相关变化率问题** — 已知一个或多个随时间变化的相关量的变化率，要求计算某一未知量瞬时变化率的问题。

*例:* 已知球形气球半径以恒定速率增加，求气球表面积的增加速率

所有变化量都被视为时间$t$的函数，因此导数$\frac{dx}{dt}$就是$x$对时间的变化率，单位为（$x$的单位）/（时间单位）：

- **正变化率**表示该量随时间增加
- **负变化率**表示该量随时间减少

> **info**
>
> 在AP考试中，题目几乎总是要求某一特定时刻的未知变化率，而非关于时间的一般函数。该知识点考察你将情境转化为数学表达式、正确应用链式法则的能力。

## 四步解题框架

所有相关变化率问题都遵循这套可重复的四步框架，它能消除猜测，确保链式法则应用正确：

1. 定义所有变量，记录已知变化率和需要求解的未知变化率，包括单位和符号约定（增加为正，减少为负）
2. 写出关联所有变量的方程，消去所有不出现在已知或未知变化率中的多余变量
3. 对方程两边隐式对时间$t$求导，对每个依赖$t$的项应用链式法则
4. 代入给定的变量瞬时值和已知变化率，求解未知变化率，并在情境中解释符号的含义

原理：由于所有量都随时间变化，链式法则要求每个导数都包含$\frac{d[\text{变量}]}{dt}$项，这就将不同变化率相互关联起来。

**例题:** 球形气球的半径以2 cm/s的恒定速率增加，当半径为5 cm时，气球表面积的变化率是多少？

1. **第一步（定义变量）：** 设$r(t)$为$t$时刻气球的半径，$S(t)$为$t$时刻的表面积。已知：$\frac{dr}{dt} = 2$ cm/s（半径增加，所以为正）。未知：$r = 5$ cm时的$\frac{dS}{dt}$。
2. **第二步（关联变量）：** 球的表面积公式为$S = 4\pi r^2$，没有需要消去的多余变量。
3. **第三步（求导）：** 对两边关于$t$求导：
4. $$\frac{d}{dt}[S] = \frac{d}{dt}[4\pi r^2] \implies \frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$$
5. **第四步（代入求解）：** 代入$r=5$，$\frac{dr}{dt}=2$：
6. $$\frac{dS}{dt} = 8\pi (5)(2) = 80\pi \text{ cm}^2/\text{s}$$
7. 结果为正，说明表面积在增加，与已知半径增加的条件一致。

> **考试提示:** 一定要先求导，再代入瞬时值。提前代入会错误地将变量视为常数，得到导数为零的错误结果。

## 勾股定理相关的相关变化率问题

AP考试最常见的场景之一是两个相互垂直的变化量，它们之间的距离由勾股定理关联。常见例子包括梯子沿墙滑动、汽车垂直于观察者方向行驶、拉绳将船拉向码头等。

斜边和一条或两条直角边都随时间变化，因此它们的导数都不为零。在代入求导后的方程前，你几乎总是需要先从原始勾股关系中计算出未知边长的瞬时值。

**例题:** 一把25英尺长的梯子斜靠在竖直墙上，梯子底部以2 ft/s的速率离开墙，当梯子底部距离墙7英尺时，梯子顶端沿墙下滑的速率是多少？

1. **第一步（定义变量）：** 设$x(t)$为梯子底部到墙的距离，$y(t)$为梯子顶端到地面的距离。已知：$\frac{dx}{dt} = 2$ ft/s（x增加，所以为正）。未知：$x=7$ ft时的$\frac{dy}{dt}$。
2. **第二步（关联变量）：** 墙与地面垂直，因此根据勾股定理：
3. $$x^2 + y^2 = 25^2 = 625$$
4. 没有需要消去的多余变量。
5. **第三步（求导）：** 对两边关于$t$求导：
6. $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \implies x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$
7. **第四步（代入求解）：** 首先求$x=7$时的$y$：
8. $$7^2 + y^2 = 625 \implies y^2 = 576 \implies y = 24$$
9. 因为$y$是长度，所以取正根。代入数值：
10. $$(7)(2) + 24 \frac{dy}{dt} = 0 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{7}{12} \text{ ft/s}$$
11. 负号说明$y$在减小，因此顶端下滑速率为$\frac{7}{12}$ ft/s。

> **考试提示:** 当题目问某个量减少的速率（比如滑动梯子顶端）时，题目要求的是速率（正的大小），而非带符号的变化率。

## 相似三角形相关的相关变化率问题

相似三角形是AP考试另一种非常常见的场景，用于圆锥水箱排水、路灯投射移动影子等问题。解题的关键难点在于：求导前，利用相似三角形的比例关系消去你没有变化率信息的多余变量。

如果你的方程中留下了没有变化率信息的多余变量，你就无法求解未知变化率。写完方程后，一定要确认方程中只包含你有已知变化率或要求解的变量。

**例题:** 水从大型圆锥水箱中以10 m³/分钟的速率排出，水箱总高24 m，底面半径6 m。当水深为8 m时，水深下降的速率是多少？

1. **第一步（定义变量）：** 设$V(t)$为水箱中水的体积，$h(t)$为水深，$r(t)$为水深$h$处水面的半径。已知：$\frac{dV}{dt} = -10$ m³/min（体积减少，所以为负）。未知：$h = 8$ m时的$\frac{dh}{dt}$。
2. **第二步（关联变量）：** 圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。水的半径和高度构成的三角形与水箱整体三角形相似，因此：
3. $$\frac{r}{h} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \implies r = \frac{h}{4}$$
4. 代入消去$r$：
5. $$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{4}\right)^2 h = \frac{\pi}{48} h^3$$
6. **第三步（求导）：** 关于$t$求导：
7. $$\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi}{48} h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$$
8. **第四步（代入求解）：** 代入$\frac{dV}{dt} = -10$，$h=8$：
9. $$-10 = \frac{\pi}{16} (8^2) \frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{5}{2\pi} \text{ m/min}$$
10. 负号说明水深在下降，速率为$\frac{5}{2\pi}$ m/min。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对勾股定理相关变化率的理解：

1. 一个5米高的码头有一根绳子系在船上，将船拉向码头。如果绳子以3 m/s的速率拉进，当还剩13米绳子在外面时，船靠近码头的速率是多少？

   - $-\frac{13}{4}$ m/s
   - $\frac{5}{13}$ m/s
   - $\frac{13}{4}$ m/s
   - $\frac{15}{12}$ m/s

   *解析:* 正确：负变化率说明船到码头的距离$x$在减小，因此船靠近码头的速率是其大小，即$\frac{13}{4}$ m/s。

> **考试提示:** 明确标注整个水箱/问题的大三角形和内部的小三角形，避免混淆比例关系。

## 常见错误

- **错误做法:** 求导前就将变量的给定瞬时值代入关系式，例如在求导前就将$r=5$代入$S=4\pi r^2$。
  - 原因: 学生错误地认为该变量在该瞬时是常数，因此提前代入简化。
  - 正确做法: 永远先对变量的一般关系式求导，求导后再代入瞬时值。
- **错误做法:** 忘记对因变量应用链式法则，例如对$S=4\pi r^2$求导得到$\frac{dS}{dt} = 8\pi r$，遗漏了$\frac{dr}{dt}$项。
  - 原因: 学生习惯对$r$求导，而非对$t$求导，因此遗漏了额外的链式法则因子。
  - 正确做法: 求导完成后，确认每个变量项都有$\frac{d[\text{变量}]}{dt}$因子，以表示对时间的导数。
- **错误做法:** 相似三角形比例错误，例如圆锥水箱例子中错写为$\frac{r}{h} = \frac{24}{6}$。
  - 原因: 学生混淆了对应三角形的边，颠倒了比例。
  - 正确做法: 明确标注大三角形和小三角形，然后写出对应边的比例（大半径：大高度 = 小半径：小高度），再化简。
- **错误做法:** 变化率符号错误，例如排水水箱错写为$\frac{dV}{dt} = +10$。
  - 原因: 学生只记录变化率的大小，忘记减少的量变化率为负。
  - 正确做法: 定义变量和已知变化率时，在继续解题前，立即根据量是增加（正）还是减少（负）赋予符号。
- **错误做法:** 代入前忘记求解缺失的变量瞬时值，例如梯子例子中用斜边长代替未知直角边长。
  - 原因: 学生求导后急于代入，忘记他们需要该瞬时第二个变量的值。
  - 正确做法: 求导后，列出所有需要的瞬时值，在代入求导后的方程前，从原始关系式中计算出所有缺失的值。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 一般对时间求导 | $\frac{d}{dt}F(x_1,...,x_n) = \sum \frac{\partial F}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt}$ | 对每个变量应用链式法则，所有变量都是$t$的函数 |
| 勾股定理关系式 | $x^2 + y^2 = h^2$ | 用于直角三角形场景；$h$为斜边 |
| 相似三角形比例关系 | $\frac{s_1}{S_1} = \frac{s_2}{S_2}$ | $s$ = 小三角形边长；$S$ = 对应大三角形边长 |
| 球体体积 | $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ | 用于球形物体（气球、细胞、雨滴） |
| 球体表面积 | $S = 4\pi r^2$ | 常用于球形相关变化率问题 |
| 圆锥体积 | $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ | 用于圆锥水箱排水问题 |
| 圆柱体积 | $V = \pi r^2 h$ | 用于横截面积均匀的圆柱水箱 |
| 变化率符号约定 | 正 = 增加；负 = 减少 | 定义变量时分配符号，结尾解释结果 |

## 下一步

相关变化率问题是隐函数求导在情境中的第一个主要应用，它构建了你在第四单元剩余内容和整个AP微积分AB考试中需要的核心情境解题能力。掌握这里的四步框架，能为你求解其他情境微分问题（包括线性近似和微分，以及课程后期的优化问题）做好准备。将真实世界情境转化为数学关系式、正确应用链式法则、在情境中解释结果的能力，在AP考试的选择题和自由问答题部分都占很大比重，因此练习这个知识点会对你整个考试有很大帮助。

- [第四单元：微分的情境应用 概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-overview/)
- [局部线性与线性化](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-local-linearity-and-linearization/)
- [不定式的洛必达法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-l-hopital-s-rule-for/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-solving-related-rates-problems/