非运动应用场景下的变化率

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB 课程与考试描述 — 微分的情境应用· 14 分钟阅读

1. 平均变化率 vs 瞬时变化率★★☆☆☆⏱ 5 min

首先需要掌握的核心技能是区分区间上的平均变化率和某点处的瞬时变化率。平均变化率衡量整个区间内的总变化量，等于函数上两点之间割线的斜率。瞬时变化率衡量自变量取某个特定值时，对应量的变化速度，等于该点处切线的斜率，也就是导数。

📘 定义

平均变化率

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

因变量在某个区间内的总变化量除以区间长度，衡量整个区间内的整体变化。

例:

3小时内细菌种群的变化量

无论平均还是瞬时变化率，变化率的单位总是（因变量单位）每（自变量单位）。AP考试的核心要求是不仅要算出数值，还要在场景中正确解释结果。

📐 例题

实验开始后 $t$ 小时，培养皿中的细菌数量由模型 $B (t) = 100 e^{0.2 t}$ 表示。(a) 求 $t = 2$ 到 $t = 5$ 之间细菌数量的平均变化率。(b) 求 $t = 3$ 时细菌数量的瞬时变化率，并在场景中解释结果。

1
对于(a)问，使用平均变化率公式：
2
$\frac{B(5) - B(2)}{5 - 2}$
3
计算数值： $B (5) = 100 e^{0.2 (5)} = 100 e^{1} \approx 271.83$ ， $B (2) = 100 e^{0.4} \approx 149.18$ 。
4
代入并化简：
5
$\frac{271.83 - 149.18}{3} \approx 40.88$
6
平均变化率约为每小时40.88个细菌。
7
对于(b)问，先计算 $B (t)$ 的导数：
8
$B'(t) = 100 \cdot 0.2 e^{0.2t} = 20 e^{0.2t}$
9
在 $t = 3$ 处计算导数值：
10
$B'(3) = 20 e^{0.6} \approx 36.44$
11
解释：实验开始后3小时，培养皿中的细菌数量以约每小时36个的速度增长。

Exam tip:

一定要根据变化率的符号明确说明该量是增加还是减少，并且带上单位——AP自由问答题（FRQ）的评分标准要求必须有这种明确解释才能得满分。

2. 经济学中的边际分析★★☆☆☆⏱ 4 min

AP微积分AB中最常考的非运动场景就是基础经济学的边际分析。在经济学中，"边际"一词始终指经济量相对于生产或销售单位数量的瞬时变化率。

边际成本： $M C (x) = C^{'} (x)$ ，即生产 $x$ 单位产品时总成本 $C (x)$ 的导数
边际收入： $M R (x) = R^{'} (x)$ ，即总收入 $R (x)$ 的导数
边际利润： $M P (x) = P^{'} (x)$ ，即总利润 $P (x)$ 的导数

在场景中， $x = 100$ 处的边际成本近似等于生产第101单位产品的成本： $x = 100$ 处的瞬时变化率非常接近产量从100增加到101单位时总成本的变化，因此对商业决策很有用。边际量的单位总是美元每单位。

📐 例题

一家小面包店确定，生产 $x$ 个酸面团面包的每日总成本由 $C (x) = 0.001 x^{2} + 2.5 x + 120$ 给出，其中 $C (x)$ 的单位是美元。(a) 求边际成本函数。(b) 计算 $x = 100$ 时的边际成本，并在场景中解释结果。

1
根据定义，边际成本是总成本函数的一阶导数。
2
用幂函数求导法则求导，得到边际成本函数：
3
$C'(x) = \frac{d}{dx}\left(0.001x^2 + 2.5x + 120\right) = 0.002x + 2.5$
4
对于(b)问，在 $x = 100$ 处取值：
5
$C'(100) = 0.002(100) + 2.5 = 2.7$
6
解释：当面包厂每日已经生产100个酸面团面包时，再多生产一个面包的成本约为2.70美元。

Exam tip:

只要你在经济学场景中看到"边际"这个词，求值前一定要先对给定函数求导——不要直接把 $x$ 代入原来的总成本/总收入/总利润函数。

3. 几何量的变化率★★★☆☆⏱ 4 min

第三种常见考试场景是求几何量（面积、体积、表面积）随另一个维度随时间变化的变化率。和你本单元后面会学到的相关变化率问题不同，这类问题通常会给出所有时间的显式函数关系，因此你只需要直接应用链式法则，不需要隐函数求导。

例如，如果正方形的边长随时间以已知恒定速度增长，那么边长 $s (t)$ 是时间的函数，面积 $A (t) = (s (t))^{2}$ 。用链式法则对 $t$ 求导得 $A^{'} (t) = 2 s (t) s^{'} (t)$ ，其中 $s^{'} (t)$ 是已知的边长变化率。这里的单位总是（面积/体积单位）每（时间单位）。

📐 例题

充入空气的球形气球半径 $r (t)$ （单位：厘米）以每秒2厘米的恒定速度增长。求半径为5厘米时气球体积的瞬时变化率，答案中需要包含单位。

1
从已知的球体积公式出发。已知 $\frac{d r}{d t} = 2$ 厘米/秒，需要求 $r = 5$ 厘米时的 $\frac{d V}{d t}$ ：
2
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
3
应用链式法则，对两边关于时间 $t$ 求导：
4
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$
5
代入已知值 $r = 5$ 和 $\frac{d r}{d t} = 2$ ：
6
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (5)^2 (2) = 200\pi$
7
解释：当半径为5厘米时，气球体积以 $200 π$ 立方厘米每秒的速度增长。

Exam tip:

一定要确认你是对正确的自变量求导。如果题目要求对时间的变化率，就要对 $t$ 求导，而不是对半径求导。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 1 min

✓ 快速检测

用这些AP风格练习题检测你的理解：

点燃后 $t$ 小时，燃烧中的蜡烛质量由 $m (t) = 50 - 2 t - 0.5 t^{2}$ 克给出。 $t = 2$ 小时时蜡烛质量的瞬时变化率是多少？
- A) $- 4$ 克
- B) $- 3$ 克每小时
- C) $- 4$ 克每小时
- D) $41$ 克每小时
显示答案
2 —
题目要求瞬时变化率，因此你需要求导： $m^{'} (t) = - 2 - t$ ，所以 $m^{'} (2) = - 4$ ，单位是克每小时。在AP考试中，漏写单位会失分。

5. 常见陷阱

错误做法:

题目要求区间上的平均变化率，却算出了瞬时变化率，反之亦然。

原因:

学生读题太快，混淆了"区间"和"点"的表述。

正确做法:

划出关键短语：如果指定了区间，用平均变化率公式；如果指定了单个点，用导数。

错误做法:

把 $x = 100$ 处的边际成本理解为100单位的总成本，将100代入 $C (x)$ 而不是 $C^{'} (x)$ 。

原因:

学生习惯直接代入给定的原总成本函数，而忘记求导。

正确做法:

只要看到"边际"这个词，求值前一定要先求导。

错误做法:

对时间求几何量的导数时忘记应用链式法则，写出 $\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2}$ 而不是 $4 π r^{2} \frac{d r}{d t}$ 。

原因:

学生忘记半径 $r$ 本身是时间的函数，不是常数。

正确做法:

每次对不是自变量的变量求导时，都要乘以该变量对自变量的导数。

错误做法:

在FRQ解释中省略单位，或者没有说明该量是增加还是减少。

原因:

学生认为算出数值就够了，因此跳过解释步骤。

正确做法:

算出任何变化率后，一定要加上单位，并明确说明正变化率是"增加"，负变化率是"减少"。

错误做法:

使用错误单位，把变化率写成"克"而不是"克每分钟"。

原因:

学生混淆了量本身和量的变化率。

正确做法:

永远记住，任何变化率的单位都是（因变量单位）每（自变量单位），因此要带上"每"这个部分。

6. 速查表

类别	公式	注释
$[a, b]$ 上的平均变化率	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$	适用于任意区间；单位为因变量每自变量
$x = c$ 处的瞬时变化率	$f^{'} (c)$	在 $c$ 处求值的导数；单点处的变化率
边际成本	$M C (x) = C^{'} (x)$	近似等于第 $(x + 1)$ 单位的成本
边际收入	$M R (x) = R^{'} (x)$	近似等于第 $(x + 1)$ 单位的收入
边际利润	$M P (x) = P^{'} (x)$	近似等于第 $(x + 1)$ 单位的利润
球体体积的变化率	$\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t}$	不要忘记链式法则的 $\frac{d r}{d t}$ 项
正方形面积的变化率	$\frac{d A}{d t} = 2 s \frac{d s}{d t}$	边长随时间变化时需要用链式法则

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AP Calc AB MCQ
边际成本解释
2022 · AP Calc AB FRQ
人口变化率计算

下一步

本主题是第4单元所有其他微分情境应用的基础先修内容。你接下来学习的主题是相关变化率，这是我们在这里练习的几何变化率问题的更复杂版本，对于变量之间的隐式关系需要隐函数求导。掌握单位解释、区分平均变化率和瞬时变化率、对基于时间的变化率应用链式法则这些核心技能，对于正确列出相关变化率问题的方程、在FRQ中得满分至关重要。本主题也为第4单元后面的最优化问题打下了基础，在最优化问题中你会用导数求利润或体积这类现实世界量的最大值和最小值。