# 选择求导计算方法

> AP 微积分 AB · 第3单元：复合函数、隐函数和反函数的求导
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/

本教程将教你根据函数结构选择正确的求导方法（链式法则、隐函数求导、反函数导数法则），这是AP微积分AB考试中占比9–13%的核心技能。

**先修:** 基本导数法则（幂法则、乘积法则、商法则、三角函数导数）; 函数复合和反函数性质; 导数的极限定义

## 学习目标

- 根据函数的代数结构识别正确的求导方法
- 正确应用链式法则、隐函数求导和反函数导数法则
- 避免组合多个求导法则时的常见错误

## 什么是选择求导方法？

选择求导计算方法是一项核心技能：你需要根据待求导函数的代数结构选择正确的求导技巧，而非直接套用预先指定的法则。根据AP微积分AB课程与考试描述（CED），本主题属于第3单元，占AP考试总分的9–13%，在选择题和自由作答题部分均会考查。它是AP微积分AB几乎所有后续主题（从相关变化率到曲线绘图）的基础。

> **info**
>
> 不同于要求你套用给定法则的常规题目，AP考试在此类题目中要求你根据函数的表达形式独立判断需要使用哪种方法。

## 识别并应用复合函数的链式法则

**复合函数** — 一个函数嵌套在另一个外层函数$f(u)$内部得到的函数，被嵌套的称为内层函数$g(x)$

*记法:* $f(g(x))$

*例:* $\sin(e^x)$, $(3x^2 + 2)^5$, $\sqrt{4x-1}$

遇到复合函数时你始终应当选择链式法则。对于超过两层的嵌套复合函数，从最外层向内重复应用链式法则即可。链式法则公式为：

$$\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

在莱布尼茨记号中，如果$y = f(u)$且$u = g(x)$，公式变为：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

**例题:** 求$\frac{d}{dx}\left[\sin\left(\sqrt{4x - 1}\right)\right]$。

1. 识别三层复合结构：外层$f(u) = \sin(u)$，中层$g(v) = \sqrt{v}$，内层$h(x) = 4x-1$。重复应用链式法则。
2. 先对最外层求导，保留内层不变：

   $$f'(u) = \cos(u) = \cos\left(\sqrt{4x-1}\right)$$
3. 乘上中层函数的导数：

   $$\frac{d}{dv}\left[\sqrt{v}\right] = \frac{1}{2\sqrt{v}} = \frac{1}{2\sqrt{4x-1}}$$
4. 乘上最内层函数的导数：

   $$\frac{d}{dx}\left[4x - 1\right] = 4$$
5. 化简乘积得到最终结果：

   $$\frac{dy}{dx} = \cos\left(\sqrt{4x-1}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot 4 = \frac{2\cos\left(\sqrt{4x-1}\right)}{\sqrt{4x-1}}$$

> **考试提示:** 应用链式法则时始终从最外层向内推导，不要先对内层求导，否则会遗漏一个乘法步骤。

*计算器:* allowed

## 对非显式函数选择隐函数求导

当$y$没有被显式整理为$x$的函数，即你无法轻易将关系改写为$y = f(x)$时，应当选择隐函数求导法。隐函数求导的核心就是链式法则的应用：任何含$y$的项都是复合函数，因此求导时必须乘以$\frac{dy}{dx}$。分步步骤如下：

1. 对方程两边所有项关于$x$求导
2. 对所有含$y$的项应用链式法则，添加$\frac{dy}{dx}$因子
3. 将所有含$\frac{dy}{dx}$的项整理到方程一侧
4. 提出公因子$\frac{dy}{dx}$，再通过除法解出它

**例题:** 求曲线$x^3 + 2xy + y^3 = 4$的$\frac{dy}{dx}$，并在点$(1, 1)$处求值。

1. 对方程两边逐项关于$x$求导：

   $$\frac{d}{dx}\left(x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(2xy\right) + \frac{d}{dx}\left(y^3\right) = \frac{d}{dx}\left(4\right)$$
2. 对每一项求导，对$2xy$应用乘积法则，对$y^3$应用链式法则：

   $$3x^2 + 2\left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$$
3. 展开后将所有含$\frac{dy}{dx}$的项整理到左侧：

   $$2x \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = -3x^2 - 2y$$
4. 提出$\frac{dy}{dx}$并求解：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 2y}{2x + 3y^2}$$
5. 代入$x=1, y=1$，在点$(1, 1)$处求值：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{-3(1) - 2(1)}{2(1) + 3(1)} = -1$$

> **考试提示:** 在求特定点的$\frac{dy}{dx}$时，你可以在解出$\frac{dy}{dx}$之前就代入点坐标化简代数运算，这能降低计算错误的概率。

*计算器:* allowed

## 选择反函数导数法则

当你需要求某点处反函数的导数，且不需要（或无法）显式求出反函数时，应当选择反函数导数法则。这是AP考试中反函数导数最常见的考查题型，测试你应用法则的能力，而非常规求导操作。

**反函数导数法则** — 如果$y = f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函数，那么反函数在$x=a$处的导数等于原函数在$f^{-1}(a)$处导数的倒数。

*记法:* $\left(f^{-1}\right)'(a) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}$

该法则的直观来源是：反函数的图像是原函数关于直线$y=x$的对称图形，因此反函数切线斜率等于对应点处原函数切线斜率的倒数。应用法则的步骤：1) 找到满足$f(b) = a$的$b$（即$f^{-1}(a) = b$），2) 求$f'(b)$，3) 取倒数。

**例题:** 设$f(x) = x^3 + 2x + 1$，求$\left(f^{-1}\right)'(4)$。

1. 应用反函数导数法则公式：

   $$\left(f^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(4)\right)}$$
2. 通过解方程$f(b) = 4$求$f^{-1}(4)$：

   $$b^3 + 2b + 1 = 4 \implies b^3 + 2b - 3 = 0$$
3. 测试小整数可得$b=1$是解，因此$f^{-1}(4) = 1$。求$f'(x)$并在$b=1$处求值：

   $$f'(x) = 3x^2 + 2 \implies f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$$
4. 取倒数得到最终结果：

   $$\left(f^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{5}$$

> **考试提示:** 如果题目要求$\left(f^{-1}\right)'(a)$，一定要先解出$f(b) = a$再求导。在AP考试中$b$几乎总是整数，所以先测试小整数可以节省时间。

*计算器:* allowed

## 为复杂函数组合应用多种方法

大多数AP考题要求组合应用多种求导方法。常见的情况是对复合函数因子组合乘积/商法则与链式法则。一定要先识别最顶层结构：如果函数是两个项的乘积，先应用乘积法则，再对任意复合因子应用链式法则。

**概念自测**

测试你选择正确方法的能力：

1. 若$f(x) = \cos\left(3x^2 - 2x\right)$，求$f'(1)$？

   - $-4 \cos(1)$
   - $4 \sin(1)$
   - $-4 \sin(1)$
   - $4 \cos(1)$

   *解析:* 正确。$f(x)$是复合函数，因此链式法则给出$f'(x) = -\sin(3x^2 - 2x) \cdot (6x - 2)$，在$x=1$处求值得到$-4 \sin(1)$。

**例题:** 注射后$t$小时，患者血液中的药物浓度$C$由$C(t) = 10 e^{-0.5\sqrt{t}}$给出，$C$的单位是mg/L。注射后4小时，药物浓度的变化率是多少？

1. 首先识别出$C(t)$是复合函数，因此我们选择链式法则。令$u = \sqrt{t}$，则$C(u) = 10 e^{-0.5u}$。
2. 对每一层求导，应用链式法则：

   $$C'(t) = \frac{dC}{du} \cdot \frac{du}{dt} = -5 e^{-0.5\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{-5 e^{-0.5\sqrt{t}}}{2\sqrt{t}}$$
3. 在$t=4$处求值，此时$\sqrt{4} = 2$：

   $$C'(4) = \frac{-5 e^{-1}}{4} \approx -0.46$$
4. 解释：注射后4小时，药物浓度正以约0.46 mg/L每小时的速率下降。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记对内层应用链式法则，例如错写为$\frac{d}{dx} (x^2 + 1)^3 = 3(x^2 + 1)^2$
  - 原因: 学生只对外层求导就停止，将复合函数与关于$x$的幂函数混淆。
  - 正确做法: 对外层求导后，始终检查：内层是不是$x$本身以外的关于$x$的函数？如果是，乘上它的导数。
- **错误做法:** 隐函数求导中，对含$y$的项求导时忘记乘以$\frac{dy}{dx}$，例如错写为$\frac{d}{dx} (y^2) = 2y$
  - 原因: 求导时学生将$y$当作常数，而非$x$的函数。
  - 正确做法: 每次对含$y$的项求导时，在继续下一步前自动加上链式法则带来的$\frac{dy}{dx}$因子。
- **错误做法:** 颠倒反函数导数公式出错，错写为$\left(f^{-1}\right)'(a) = f'\left(f^{-1}(a)\right)$而非倒数，或是错用$f'(a)$代替$f'(f^{-1}(a))$
  - 原因: 混淆$f'$的输入和反函数的输入。
  - 正确做法: 写出公式后，给每个项做标记：$\left(f^{-1}\right)'(\text{反函数的输入}) = \frac{1}{f'(\text{该输入对应的反函数输出})}$。
- **错误做法:** 在不需要时误用链式法则，例如错写为$\frac{d}{dx} (x \sin x) = (\cos x)(\sin x + x \cos x)$
  - 原因: 将两个函数的乘积与两个函数的复合混淆。
  - 正确做法: 求导前先确定最顶层运算：如果是乘积/商，就用乘积/商法则；如果是一个函数嵌套在另一个内部，就用链式法则。
- **错误做法:** 隐函数求导中关于$y$而非$x$求导，得到$\frac{dx}{dy}$而非$\frac{dy}{dx}$
  - 原因: 混淆因变量和自变量。
  - 正确做法: 开始任何隐函数求导题目时，在方程两边都写上$\frac{d}{dx}$，提醒自己是关于$x$求导。

## 速查表

| 类别 | 公式/方法 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 链式法则（两层复合） | $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)$ | 一个函数嵌套在另一个内部时使用，从外层向内推导。 |
| 链式法则（三层复合） | $\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)$ | 常用于$\sin(\sqrt{ax+b})$这类嵌套函数。 |
| 隐函数求导 | Differentiate both sides w.r.t $x$, multiply terms with $y$ by $\frac{dy}{dx}$, solve for $\frac{dy}{dx}$ | 当$y$无法轻易整理为$y=f(x)$时使用。 |
| $y^n$关于$x$的导数 | $\frac{d}{dx}[y^n] = n y^{n-1} \frac{dy}{dx}$ | 所有隐函数求导问题的核心步骤。 |
| 反函数导数 | $\left(f^{-1}\right)'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ | 用于求某点处反函数的导数；不需要显式求出反函数。 |
| 乘积法则+链式法则组合 | Apply product rule first, then chain rule to each composite factor | 适用于$f(g(x))h(k(x))$形式的函数 |
| 隐曲线切线的斜率 | Evaluate $\frac{dy}{dx}$ at $(x_0, y_0)$ | 提前代入$(x_0, y_0)$化简代数运算。 |

## 下一步

掌握选择正确求导方法的技能是AP微积分AB所有后续应用主题的基础前提。接下来你将应用这些求导法则解决相关变化率问题：这类问题要求你对多个变化量之间的关系做隐函数求导，以求出未知的变化率。如果不能快速选择并应用链式法则、隐函数求导和其他组合方法，相关变化率问题几乎不可能正确求解。这项技能还为后续主题（如高阶导数、复合函数优化、积分的u替换）打下基础，u替换是链式法则的逆过程，占AP考试总分的10–15%。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [高阶导数的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-calculating-higher-order-derivatives/)
- [微分的实际应用概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u4-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/