# 隐函数求导

> AP 微积分 AB · 求导：复合函数、隐函数与反函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/

本指南介绍隐函数求导，这是AP微积分AB中链式法则的核心应用。你将学习如何求隐函数关系的一阶和二阶导数，并解决涉及切线与法线的常见考题。

**先修:** [复合函数的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-chain-rule/); 代数函数与三角函数的基本求导法则; [线性方程的点斜式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-tangent-line-approximation/)

## 学习目标

- 区分显函数与隐函数
- 应用链式法则计算隐函数关系的$\frac{dy}{dx}$
- 求隐曲线的切线与法线方程
- 计算隐函数的二阶导数
- 规避隐函数求导问题中的常见考试陷阱

## 什么是隐函数求导？

显函数的形式为$y = f(x)$，其中$y$被明确分离在等式的一侧。但许多数学关系（如圆、椭圆和更复杂的曲线）无法轻易或完全将$y$整理为$x$的显函数。

隐函数求导是一种无需整理分离$y$，直接从原隐函数关系中求出$\frac{dy}{dx}$的方法。它不是新的求导法则，只是链式法则在$x$的隐函数上的系统应用。由于即使未明确写出，$y$也被视为$x$的函数，因此每次对含$y$的项求导时，我们都必须根据链式法则乘以$\frac{dy}{dx}$。

**隐函数求导** — 无需将$y$显式分离为$x$的函数，即可直接求出$x$与$y$之间隐函数关系的导数$\frac{dy}{dx}$的方法。

*例:* 用于求圆、椭圆和其他非显式曲线的导数。

## 隐函数求导的核心步骤

整个方法基于一个关键的链式法则结论，适用于任意可导函数$f(y)$（其中$y$是$x$的函数）：

$$\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$$

1. 对等式两边所有项关于$x$求导
2. 将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到等式左侧，其余项移到右侧
3. 从左侧提取公因子$\frac{dy}{dx}$
4. 两边除以剩余因子，分离出$\frac{dy}{dx}$，得到关于$x$和$y$的函数

当你遇到$x$和$y$的乘积或商项（如$xy$、$x^2y$，或$\frac{y}{x}$），仍然先按常规应用乘积法则或商法则，再为$y$项添加$\frac{dy}{dx}$因子。

**例题:** 求关系$x^2 + 3xy + y^2 = 6$的$\frac{dy}{dx}$。

1. 对等式两边所有项关于$x$求导：
2. $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(6)$$
3. 对每一项求导，对$3xy$应用乘积法则，对$y^2$应用链式法则：
4. $$2x + 3\left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
5. 将所有$\frac{dy}{dx}$项移到左侧，常数/仅含$x$的项移到右侧：
6. $$3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = -2x - 3y$$
7. 提取公因子$\frac{dy}{dx}$并分离：
8. $$\frac{dy}{dx}(3x + 2y) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 3y}{3x + 2y}$$

> **考试提示:** 对于$x$与$y$的混合项，一定要先应用乘积/商法则，再添加$\frac{dy}{dx}$因子。跳过乘积法则（例如对$\frac{d}{dx}(xy)$漏写$y$项）是AP考试中最常见的初级错误。

## 隐曲线的切线与法线

隐函数求导在AP考试中最常见的应用之一，就是求隐曲线上某点的切线或法线方程。一旦你通过隐函数求导得到斜率$\frac{dy}{dx}$，后续步骤和求显函数的切线完全相同。

1. 确认给定的点$(x_0, y_0)$在原曲线上（AP有时会给出不在曲线上的点来考查这点）
2. 将$x_0$和$y_0$代入$\frac{dy}{dx}$的表达式，得到切线斜率$m_{\text{tan}}$
3. 法线（垂直于切线）的斜率是负倒数：$m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}}$
4. 使用点斜式$y - y_0 = m(x - x_0)$写出最终方程

**例题:** 求曲线$x^2 + 2xy + y^3 = 4$在点$(1, 1)$处的切线方程。

1. 确认点在曲线上：$1^2 + 2(1)(1) + 1^3 = 4$，与等式右侧相等。
2. 隐函数求导得到$\frac{dy}{dx}$：
3. $$2x + 2\left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$$
4. 代入$x=1$，$y=1$，求解切线斜率$m$：
5. $$2(1) + 2\left(1 \cdot m + 1\right) + 3(1)^2 m = 0 \implies 2 + 2m + 2 + 3m = 0 \implies 5m = -4 \implies m = -\frac{4}{5}$$
6. 用点斜式写出切线方程并化简：
7. $$y - 1 = -\frac{4}{5}(x - 1) \implies y = -\frac{4}{5}x + \frac{9}{5}$$

> **考试提示:** 务必仔细读题：如果题目要求法线而非切线，你必须使用负倒数斜率。AP出题人经常考查这一点，来抓跳读题目的学生。

## 隐函数的二阶导数

AP微积分AB经常要求用$x$和$y$表示隐函数的二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$。过程很简单，但有一个额外步骤很多学生都会忘记。

求出一阶导数$\frac{dy}{dx}$后，你对$\frac{dy}{dx}$关于$x$求导，过程和对原方程求导完全相同：所有含$y$或$\frac{dy}{dx}$的项仍然需要链式法则，因此对这些项求导时会得到$\frac{dy}{dx}$因子。求导后，你必须将已经求出的$\frac{dy}{dx}$表达式代入二阶导数，让最终结果仅用$x$和$y$表示，不包含$\frac{dy}{dx}$。你还可以利用原曲线方程抵消常数项，化简最终结果。

**例题:** 求圆$x^2 + y^2 = 4$的$\frac{d^2y}{dx^2}$，用$x$和$y$表示结果。

1. 求一阶导数$\frac{dy}{dx}$：
2. $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
3. 用商法则对$\frac{dy}{dx}$关于$x$求导：
4. $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{(1 \cdot y - x \cdot \frac{dy}{dx})}{y^2}$$
5. 将$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$代入表达式：
6. $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{\frac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3}$$
7. 利用原方程$x^2 + y^2 = 4$化简：
8. $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4}{y^3}$$

> **考试提示:** 绝对不要在二阶导数的最终答案中保留$\frac{dy}{dx}$。AP阅卷官会在自由作答题中给未代入$\frac{dy}{dx}$的答案扣分。一定要在对一阶导数求导后立即代入。

## AP风格练习题

**概念自测**

用这道选择题测试你的理解：

1. 已知$​\sin(xy) = x + y$，下列哪个是$​\frac{dy}{dx}$的正确表达式？

   - $\frac{1}{\cos(xy) - 1}$
   - $\frac{1 - y \cos(xy)}{x \cos(xy) - 1}$
   - $\frac{y \cos(xy) - 1}{1 - x \cos(xy)}$
   - $1 - y \cos(xy)$

   *答案:* $\frac{1 - y \cos(xy)}{x \cos(xy) - 1}$

   *解析:* 正确！完整推导过程为：两边求导、应用乘积法则与链式法则、整理$​\frac{dy}{dx}$项、分离后得到该结果。

**例题:** 考虑由$y^3 - xy + 2x^2 = 4$定义的曲线。(a) 用$x$和$y$表示$​\frac{dy}{dx}$。(b) 求曲线在点$(1, 1)$处切线的斜率。(c) 求曲线上所有切线为水平的点。

1. (a)问：对等式两边关于$x$求导：
2. $$3y^2 \frac{dy}{dx} - \left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 4x = 0$$
3. 整理并提取公因子$​\frac{dy}{dx}$：
4. $$\frac{dy}{dx} (3y^2 - x) = y - 4x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 4x}{3y^2 - x}$$
5. (b)问：将$x=1$，$y=1$代入$​\frac{dy}{dx}$：
6. $$m = \frac{1 - 4(1)}{3(1)^2 - 1} = \frac{-3}{2}$$
7. 点$(1,1)$处切线的斜率为$​-\frac{3}{2}$。
8. (c)问：水平切线的斜率为$0$，因此令分子等于$0$，并确认分母不为零：$y - 4x = 0 \implies y = 4x$。代入原方程：
9. $$(4x)^3 - x(4x) + 2x^2 = 4 \implies 64x^3 - 2x^2 - 4 = 0 \implies 32x^3 - x^2 - 2 = 0$$
10. 唯一实根为$x \approx 0.42$，因此$y = 4x \approx 1.68$。唯一有水平切线的点约为$(0.42, 1.68)$。

## 常见错误

- **错误做法:** 对$x^2 y$求导时，只写$2x \frac{dy}{dx}$，漏了乘积法则项
  - 原因: 学生把注意力都放在记住$y$项的链式法则上，忘记$x$-$y$混合乘积需要先应用乘积法则
  - 正确做法: 对混合项一定要先应用乘积/商法则，再为$y$项添加$​\frac{dy}{dx}$因子：$​\frac{d}{dx}(x^2 y) = 2xy + x^2 \frac{dy}{dx}$
- **错误做法:** 对$​\cos(y)$求导时，只写$​-\sin(y)$，漏了$​\frac{dy}{dx}$因子
  - 原因: 学生习惯了对$x$项求导，忘记每个$y$的函数都需要链式法则因子
  - 正确做法: 对任意$y$的函数求导后，立即写下$​\frac{dy}{dx}$因子，养成这个习惯再进入下一项
- **错误做法:** 求某点斜率时，在分离$​\frac{dy}{dx}$之前就代入$x_0, y_0$
  - 原因: 学生认为提前代入可以简化问题，但这会导致漏项和混乱的代数错误
  - 正确做法: 先将$​\frac{dy}{dx}$分离为$x$和$y$的函数，再代入点的坐标得到数值斜率
- **错误做法:** 求水平切线时，令$​\frac{dy}{dx}$的分母等于零，而非分子
  - 原因: 学生混淆了水平切线和竖直切线的条件
  - 正确做法: 斜率为零即$​\frac{dy}{dx} = 0$，对于有理形式的$​\frac{dy}{dx}$，这要求分子为零且分母不为零
- **错误做法:** 当只给出切点的$x$坐标时，随便选一个满足原方程的$y$值
  - 原因: 隐函数关系中一个$x$对应多个$y$值，错误的$y$会得到错误的斜率
  - 正确做法: 计算斜率前，一定要根据给定的上下文（象限、曲线上的位置）选择正确的$y$值

## 速查表

| 类别 | 公式/步骤 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| $y$项的链式法则 | $\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \frac{dy}{dx}$ | 适用于任意$y$的函数，因为$y$是$x$的隐函数 |
| 核心隐函数求导 | 1. 两边对$x$求导；2. 将$\frac{dy}{dx}$项移到左侧；3. 提取$\frac{dy}{dx}$；4. 分离 | 无需先解出$y$ |
| $(x_0, y_0)$处的切线斜率 | $m_{\text{tan}} = \frac{dy}{dx}\bigg\|_{(x_0, y_0)}$ | 一定要先确认$(x_0, y_0)$在原曲线上 |
| 法线斜率 | $m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}}$ | 切线水平时法线无定义，切线竖直时法线水平 |
| 隐函数二阶导数 | $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ | 代入$\frac{dy}{dx}$，让最终结果仅用$x$和$y$表示 |
| 水平切线 | $\frac{dy}{dx} = 0 \implies \text{numerator} = 0, \text{denominator} \neq 0$ | 仅在该点分母不为零时有效 |
| 竖直切线 | $\frac{dy}{dx}$ 无定义 $\implies \text{denominator} = 0, \text{numerator} \neq 0$ | AP考试中常见的后续问题 |

## 下一步

隐函数求导是AP微积分AB第三单元剩余核心主题的基础：反函数导数和相关变化率。如果不掌握隐$y$项的链式法则应用，你就无法正确推导反三角函数的导数公式，也无法解决相关变化率问题，而这些问题占AP微积分AB自由作答题分数的很大比例。本主题还建立了从函数导数到关系导数的关键概念转变，这是高等微积分主题的重要基础。

- [反函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-functions/)
- [反三角函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/)
- [选择求导计算方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/)

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