反三角函数的求导

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 第3单元求导· 14 分钟阅读

1. 基本反三角函数导数公式的推导★★☆☆☆⏱ 4 min

所有反三角函数的导数公式都可以通过隐函数求导推导得到，核心利用反函数定义：若 $y = f^{- 1} (x)$ ，则在反函数的限制值域内满足 $f (y) = x$ 。

对于 $y = arcsin x$ ，我们从 $sin y = x$ 出发，其中 $y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，因此 $cos y \geq 0$ 。对 $x$ 隐函数求导可得：

\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}

利用勾股恒等式 $cos^{2} y = 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$ ，我们取正根得到最终公式：

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1

遵循相同的过程可以得到反余弦和反正切的导数公式：

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}, \quad \text{all real } x

📐 例题

用隐函数求导推导 $f (x) = arccos x$ 的导数公式。

1
从反函数定义出发：令 $y = arccos x$ ，因此 $cos y = x$ ，根据反余弦函数的定义， $y \in [0, π]$ 。
2
对 $x$ 两边同时求导，左侧应用链式法则：
3
$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
4
分离出 $\frac{d y}{d x}$ ：
5
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$
6
用勾股恒等式改写为 $x$ 的表达式。对于 $y \in [0, π]$ ， $sin y \geq 0$ ，因此：
7
$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - x^2 \implies \sin y = \sqrt{1 - x^2}$
8
代回得到最终公式：
9
$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1$

2. 复合反三角函数的求导★★★☆☆⏱ 4 min

几乎所有AP考题都涉及形如 $y = arcsin (u (x))$ 、 $y = arccos (u (x))$ 或 $y = arctan (u (x))$ 的复合反三角函数，其中 $u (x)$ 是非常值可导函数。对这类函数求导时，应用链式法则： $\frac{d y}{d x} = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ，其中 $f$ 是外层的反三角函数。

每个核心函数的通用链式法则形式为：

\frac{d}{dx}\arcsin(u(x)) = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}, \quad |u(x)| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arccos(u(x)) = \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}, \quad |u(x)| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arctan(u(x)) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}, \quad \text{all real } x

📐 例题

求 $f (x) = arctan (3 x^{2} - 2 x)$ 的导数。

1
识别外层和内层函数：外层函数为 $arctan (u)$ ，内层函数为 $u (x) = 3 x^{2} - 2 x$ 。
2
计算内层函数的导数：
3
$u'(x) = 6x - 2$
4
应用反正切的链式法则：
5
$f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}$
6
代入并化简得到最终结果：
7
$f'(x) = \frac{6x - 2}{1 + (3x^2 - 2x)^2} = \frac{6x - 2}{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 + 1}$

3. 反三角函数的切线问题★★★☆☆⏱ 3 min

反三角函数导数在AP考试中的一个常见应用是求反三角函数在给定点处的切线方程。这个问题需要三个关键步骤：(1) 利用反函数的限制值域计算正确的y坐标，(2) 求该点处的导数得到斜率，(3) 用点斜式写出切线方程，除非题目要求其他形式，否则点斜式是优先选择。

📐 例题

求 $y = arcsin (\frac{x}{2})$ 在 $x = 1$ 处的切线方程。

1
求切点的y坐标。 $arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$ （我们不使用 $\frac{5 π}{6}$ ，因为反正弦的值域限制为 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ），因此切点为 $(1, \frac{π}{6})$ 。
2
用链式法则计算导数： $u (x) = \frac{x}{2}$ ，因此 $u^{'} (x) = \frac{1}{2}$ ：
3
$y' = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$
4
求 $x = 1$ 处的斜率：
5
$y'(1) = \frac{1}{\sqrt{4 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
6
用点斜式写出切线方程：
7
$y - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$
8
如果需要，转化为斜截式可得：
9
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\pi}{6}$

4. AP风格混合例题★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

求 $f (x) = x arccos (2 x)$ 的导数是多少？

1
本题需要用到乘积法则和反三角函数的链式法则。根据乘积法则：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot \arccos(2x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\arccos(2x)]$
3
第一项化简为 $arccos (2 x)$ ，因为 $\frac{d}{d x} [x] = 1$ 。对于第二项， $u (x) = 2 x$ ，因此 $u^{'} (x) = 2$ ：
4
$\frac{d}{dx}\arccos(2x) = \frac{-2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
5
乘以 $x$ 合并项得到最终结果：
6
$f^{'} (x) = arccos (2 x) - \frac{2 x}{1 - 4 x ^{2}}$

📐 例题

设 $f (x) = arctan (4 x)$ 。(a) 求 $f^{'} (x)$ ；(b) 求 $x = \frac{1}{4}$ 处切线的斜率；(c) 求所有斜率等于 $\frac{1}{2}$ 的 $x$ 值。

1
(a) 对复合反正切应用链式法则， $u (x) = 4 x$ ， $u^{'} (x) = 4$ ：
2
$f'(x) = \frac{4}{1 + (4x)^2} = \frac{4}{1 + 16x^2}$
3
(b) 将 $x = \frac{1}{4}$ 代入 $f^{'} (x)$ 得到斜率：
4
$f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{4}{1 + 16\left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{4}{1 + 1} = 2$
5
(c) 令 $f^{'} (x) = \frac{1}{2}$ ，求解 $x$ ：
6
$\frac{4}{1 + 16x^2} = \frac{1}{2} \implies 8 = 1 + 16x^2 \implies 16x^2 = 7 \implies x = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

5. 常见陷阱

错误做法:

写出 $\frac{d}{d x} arcsin (2 x) = \frac{1}{1 - 4 x ^{2}}$ （遗漏了链式法则中的因子2）

原因:

学生记住了 $arcsin x$ 的基本公式，却忘记复合函数需要乘以内层函数的导数。

正确做法:

应用反三角函数导数公式前，一定要明确标记内层函数 $u (x)$ 及其导数 $u^{'} (x)$ ，这样就不会忘记分子中的 $u^{'} (x)$ 了。

错误做法:

写出 $\frac{d}{d x} arcsin x = \pm \frac{1}{1 - x ^{2}}$ （保留了开根号得到的 $\pm$ 符号）

原因:

学生忘记反正弦的值域限制保证了 $cos y$ 非负，因此留下了模糊的符号。

正确做法:

反正弦的导数一定取正根，反余弦的导数固定取负根，永远不需要写 $\pm$ 。

错误做法:

声称 $f (x) = arccos (x^{3})$ 在 $x = 1$ 处导数存在

原因:

学生忘记导数仅存在于 $∣ u (x) ∣ < 1$ ，而非 $∣ u (x) ∣ \leq 1$ ，因为导数在定义域端点处无定义。

正确做法:

当被问及某点的可导性时，对于反正弦和反余弦导数，一定要检查满足 $∣ u (x) ∣ < 1$ 。

错误做法:

写出 $\frac{d}{d x} arctan (x^{2}) = \frac{2 x}{1 - x ^{4}}$

原因:

学生将反正切导数的分母和反正弦的分母混淆，把加号错换成了减号。

正确做法:

记住：正弦/余弦反函数的分母是 $1 - u^{2}$ ，反正切的分母是 $1 + u^{2}$ 。

错误做法:

推导止步于 $\frac{d}{d x} arcsin x = \frac{1}{c o s ( a r c s i n x )}$ ，没有化简

原因:

学生记住了通用反函数导数法则，却忘记化简为考试要求的仅含 $x$ 的标准形式。

正确做法:

一定要用勾股恒等式化简反三角函数导数，得到仅含 $x$ 的表达式，消去剩余的反三角函数。

6. 速查表

类别	公式	备注
基本反正弦导数	$\frac{d}{d x} arcsin x = \frac{1}{1 - x ^{2}}$	适用于 $∣ x ∣ < 1$ ；在端点 $x = \pm 1$ 处无定义
基本反余弦导数	$\frac{d}{d x} arccos x = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$	适用于 $∣ x ∣ < 1$ ；始终为负，符号与反正弦相反
基本反正切导数	$\frac{d}{d x} arctan x = \frac{1}{1 + x ^{2}}$	适用于所有实数 $x$ ；分母为加号，不是减号
链式法则：复合反正弦	$\frac{d}{d x} arcsin (u (x)) = \frac{u ^{'} ( x )}{1 - [ u ( x ) ] ^{2}}$	一定要乘以 $u^{'} (x)$ ；在 $∣ u (x) ∣ < 1$ 处有效
链式法则：复合反余弦	$\frac{d}{d x} arccos (u (x)) = - \frac{u ^{'} ( x )}{1 - [ u ( x ) ] ^{2}}$	不要忘记分子的负号
链式法则：复合反正切	$\frac{d}{d x} arctan (u (x)) = \frac{u ^{'} ( x )}{1 + [ u ( x ) ] ^{2}}$	适用于 $u (x)$ 可导的所有 $x$
$x = a$ 处的切线	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$	一定要确认 $f (a)$ 使用了反函数正确的限制值域

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
复合反正弦的链式法则应用
2022 · FRQ
反正切函数的切线
2021 · MCQ
反三角函数导数的定义域

下一步

掌握反三角函数的导数是认识反三角函数原函数的关键前提，这部分内容你将在AP微积分AB大纲的第6单元学习。如果没有记住这些导数公式，你在积分问题中很难将被积函数与对应的原函数匹配，而积分占AP考试分数的比例很高。本主题也是第4单元后续相关变化率和优化问题中反三角函数项的基础，在多选题中常结合隐函数求导、乘积/商法则出题。现在熟练掌握这些公式，会为你后续学习更复杂的主题节省时间。