# 反三角函数的求导

> AP 微积分 AB · 求导：复合函数、隐函数与反函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/

本小节覆盖AP微积分AB课程中，反正弦、反余弦、反正切导数公式的推导，链式法则在复合反三角函数中的应用，切线问题求解，以及可导定义域的确定。

**先修:** [反函数的隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/); 基本三角函数的导数; 复合函数的链式法则

## 学习目标

- 用隐函数求导推导反正弦、反余弦、反正切的导数法则
- 用链式法则对复合反三角函数求导
- 求反三角函数在给定点处的切线
- 确定反三角函数的可导定义域

## 基本反三角函数导数公式的推导

所有反三角函数的导数公式都可以通过隐函数求导推导得到，核心利用反函数定义：若$y = f^{-1}(x)$，则在反函数的限制值域内满足$f(y) = x$。

对于$y = \arcsin x$，我们从$\sin y = x$出发，其中$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，因此$\cos y \geq 0$。对$x$隐函数求导可得：

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

利用勾股恒等式$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$，我们取正根得到最终公式：

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1$$

遵循相同的过程可以得到反余弦和反正切的导数公式：

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}, \quad \text{all real } x$$

**例题:** 用隐函数求导推导$f(x) = \arccos x$的导数公式。

1. 从反函数定义出发：令$y = \arccos x$，因此$\cos y = x$，根据反余弦函数的定义，$y \in [0, \pi]$。
2. 对$x$两边同时求导，左侧应用链式法则：
3. $$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
4. 分离出$\frac{dy}{dx}$：
5. $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$
6. 用勾股恒等式改写为$x$的表达式。对于$y \in [0, \pi]$，$\sin y \geq 0$，因此：
7. $$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - x^2 \implies \sin y = \sqrt{1 - x^2}$$
8. 代回得到最终公式：
9. $$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1$$

> **tip**
>
> 在AP考试中，除非题目明确要求，否则你不需要在自由问答题中重新推导这些基础公式，可以直接引用以节省时间。

## 复合反三角函数的求导

几乎所有AP考题都涉及形如$y = \arcsin(u(x))$、$y = \arccos(u(x))$或$y = \arctan(u(x))$的复合反三角函数，其中$u(x)$是非常值可导函数。对这类函数求导时，应用链式法则：$\frac{dy}{dx} = f'(u(x)) \cdot u'(x)$，其中$f$是外层的反三角函数。

每个核心函数的通用链式法则形式为：

$$\frac{d}{dx}\arcsin(u(x)) = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}, \quad |u(x)| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arccos(u(x)) = \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}, \quad |u(x)| < 1 \\ \frac{d}{dx}\arctan(u(x)) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}, \quad \text{all real } x$$

> **tip**
>
> 这里最常见的错误是忘记在分子中加入$u'(x)$。应用公式前明确写出$u(x)$和$u'(x)$可以避免这个错误。

**例题:** 求$f(x) = \arctan(3x^2 - 2x)$的导数。

1. 识别外层和内层函数：外层函数为$\arctan(u)$，内层函数为$u(x) = 3x^2 - 2x$。
2. 计算内层函数的导数：
3. $$u'(x) = 6x - 2$$
4. 应用反正切的链式法则：
5. $$f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}$$
6. 代入并化简得到最终结果：
7. $$f'(x) = \frac{6x - 2}{1 + (3x^2 - 2x)^2} = \frac{6x - 2}{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 + 1}$$

> **tip**
>
> 完成计算后一定要检查导数的定义域。对于反正弦和反余弦复合函数，导数仅存在于$|u(x)| < 1$处，这是单选题中常考的考点。

## 反三角函数的切线问题

反三角函数导数在AP考试中的一个常见应用是求反三角函数在给定点处的切线方程。这个问题需要三个关键步骤：(1) 利用反函数的限制值域计算正确的y坐标，(2) 求该点处的导数得到斜率，(3) 用点斜式写出切线方程，除非题目要求其他形式，否则点斜式是优先选择。

**例题:** 求$y = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$在$x = 1$处的切线方程。

1. 求切点的y坐标。$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$（我们不使用$\frac{5\pi}{6}$，因为反正弦的值域限制为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$），因此切点为$\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$。
2. 用链式法则计算导数：$u(x) = \frac{x}{2}$，因此$u'(x) = \frac{1}{2}$：
3. $$y' = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$$
4. 求$x = 1$处的斜率：
5. $$y'(1) = \frac{1}{\sqrt{4 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
6. 用点斜式写出切线方程：
7. $$y - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$$
8. 如果需要，转化为斜截式可得：
9. $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\pi}{6}$$

> **tip**
>
> 在代入切线方程前，一定要确认y值属于反三角函数的限制值域。

## AP风格混合例题

**例题:** 求$f(x) = x \arccos(2x)$的导数是多少？

1. 本题需要用到乘积法则和反三角函数的链式法则。根据乘积法则：
2. $$f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot \arccos(2x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\arccos(2x)]$$
3. 第一项化简为$\arccos(2x)$，因为$\frac{d}{dx}[x] = 1$。对于第二项，$u(x) = 2x$，因此$u'(x) = 2$：
4. $$\frac{d}{dx}\arccos(2x) = \frac{-2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$
5. 乘以$x$合并项得到最终结果：
6. $f'(x) = \arccos(2x) - \frac{2x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

**例题:** 设$f(x) = \arctan(4x)$。(a) 求$f'(x)$；(b) 求$x = \frac{1}{4}$处切线的斜率；(c) 求所有斜率等于$\frac{1}{2}$的$x$值。

1. (a) 对复合反正切应用链式法则，$u(x) = 4x$，$u'(x) = 4$：
2. $$f'(x) = \frac{4}{1 + (4x)^2} = \frac{4}{1 + 16x^2}$$
3. (b) 将$x = \frac{1}{4}$代入$f'(x)$得到斜率：
4. $$f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{4}{1 + 16\left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{4}{1 + 1} = 2$$
5. (c) 令$f'(x) = \frac{1}{2}$，求解$x$：
6. $$\frac{4}{1 + 16x^2} = \frac{1}{2} \implies 8 = 1 + 16x^2 \implies 16x^2 = 7 \implies x = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 写出$\frac{d}{dx} \arcsin(2x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}}$（遗漏了链式法则中的因子2）
  - 原因: 学生记住了$\arcsin x$的基本公式，却忘记复合函数需要乘以内层函数的导数。
  - 正确做法: 应用反三角函数导数公式前，一定要明确标记内层函数$u(x)$及其导数$u'(x)$，这样就不会忘记分子中的$u'(x)$了。
- **错误做法:** 写出$\frac{d}{dx} \arcsin x = \pm \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（保留了开根号得到的$\pm$符号）
  - 原因: 学生忘记反正弦的值域限制保证了$\cos y$非负，因此留下了模糊的符号。
  - 正确做法: 反正弦的导数一定取正根，反余弦的导数固定取负根，永远不需要写$\pm$。
- **错误做法:** 声称$f(x) = \arccos(x^3)$在$x = 1$处导数存在
  - 原因: 学生忘记导数仅存在于$|u(x)| < 1$，而非$|u(x)| \leq 1$，因为导数在定义域端点处无定义。
  - 正确做法: 当被问及某点的可导性时，对于反正弦和反余弦导数，一定要检查满足$|u(x)| < 1$。
- **错误做法:** 写出$\frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{2x}{1 - x^4}$
  - 原因: 学生将反正切导数的分母和反正弦的分母混淆，把加号错换成了减号。
  - 正确做法: 记住：正弦/余弦反函数的分母是$1 - u^2$，反正切的分母是$1 + u^2$。
- **错误做法:** 推导止步于$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\cos(\arcsin x)}$，没有化简
  - 原因: 学生记住了通用反函数导数法则，却忘记化简为考试要求的仅含$x$的标准形式。
  - 正确做法: 一定要用勾股恒等式化简反三角函数导数，得到仅含$x$的表达式，消去剩余的反三角函数。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 基本反正弦导数 | $\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | 适用于$\|x\| < 1$；在端点$x = \pm 1$处无定义 |
| 基本反余弦导数 | $\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | 适用于$\|x\| < 1$；始终为负，符号与反正弦相反 |
| 基本反正切导数 | $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$ | 适用于所有实数$x$；分母为加号，不是减号 |
| 链式法则：复合反正弦 | $\frac{d}{dx} \arcsin(u(x)) = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}$ | 一定要乘以$u'(x)$；在$\|u(x)\| < 1$处有效 |
| 链式法则：复合反余弦 | $\frac{d}{dx} \arccos(u(x)) = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}}$ | 不要忘记分子的负号 |
| 链式法则：复合反正切 | $\frac{d}{dx} \arctan(u(x)) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}$ | 适用于$u(x)$可导的所有$x$ |
| $x=a$处的切线 | $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ | 一定要确认$f(a)$使用了反函数正确的限制值域 |

## 下一步

掌握反三角函数的导数是认识反三角函数原函数的关键前提，这部分内容你将在AP微积分AB大纲的第6单元学习。如果没有记住这些导数公式，你在积分问题中很难将被积函数与对应的原函数匹配，而积分占AP考试分数的比例很高。本主题也是第4单元后续相关变化率和优化问题中反三角函数项的基础，在多选题中常结合隐函数求导、乘积/商法则出题。现在熟练掌握这些公式，会为你后续学习更复杂的主题节省时间。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [反函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-functions/)
- [选择求导计算方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/