# 反函数的求导

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB CED 第三单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-functions/

本模块讲解通用反函数求导法则、反三角函数的导数，以及求反函数图像的切线，这些内容都是AP微积分AB第三单元的考点，占考试总分的9-13%。

**先修:** 反函数的定义与性质; [隐函数求导法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/); 代数函数与三角函数的基本求导法则; [复合函数的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/)

## 学习目标

- 应用通用反函数求导法则求某点处的导数
- 记住并应用常用反三角函数的导数公式
- 求反函数图像的切线方程
- 识别并避免反函数求导中的常见误区

## 什么是反函数求导？

反函数求导是无需先将$f^{-1}(x)$显式解出为$x$的表达式，直接求$f^{-1}(x)$导数的过程。本主题是AP微积分AB CED第三单元明确要求的内容，占AP考试总分的9-13%，在选择题和自由问答题中都会出现。其核心思想建立在两个已有概念的基础上：反函数关系$f(f^{-1}(x)) = x$和链式法则，因此我们不需要每次都从极限出发推导结果。

> **重要符号约定**
>
> 我们用$(f^{-1})'(x)$表示反函数的导数。这**不等于**倒数$\frac{1}{f'(x)}$：符号$f^{-1}$表示反函数，因此$f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$。

## 通用反函数求导法则

反函数求导的最通用法则，可以直接通过链式法则对反函数恒等式两边求导得到。从以下恒等式出发：

$$f(f^{-1}(x)) = x$$

对$x$两边求导，对左侧应用链式法则可得：

$$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$

整理得到$(f^{-1})'(x)$，即可得到$x=a$点处导数的通用法则：

$$\boxed{(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}}$$

该法则仅当$f$在$f^{-1}(a)$处可导且$f'(f^{-1}(a)) \neq 0$时成立。从几何上看，由于$f^{-1}$的图像是$f$沿$y=x$的翻转，反函数切线的斜率就是原函数对应点切线斜率的倒数。

**例题:** 已知$f(x) = 2x^3 + 5x + 1$，且$f(1) = 8$，因此$f^{-1}(8) = 1$。求$(f^{-1})'(8)$。

1. 首先确认法则适用条件：计算$f(x)$的导数：
2. $$f'(x) = 6x^2 + 5$$
3. 我们已知$f^{-1}(8) = 1$，因此在$x=1$处计算$f'$的值：
4. $$f'(1) = 6(1)^2 + 5 = 11 \neq 0$$
5. 代入$a=8$的反函数求导法则：
6. $$(f^{-1})'(8) = \frac{1}{f'(f^{-1}(8))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{11}$$

> **考试提示:** 应用法则前一定要先确认$f'(f^{-1}(a))$不为零；如果它为零，那么反函数在该点的导数不存在（切线为竖直线），这是AP选择题中常见的陷阱题。

## 反三角函数的导数

在AP微积分AB中，你最常需要求导的反函数就是反三角函数：反正弦、反余弦和反正切。它们的标准导数都可以直接通过通用反函数求导法则和隐函数求导推导得到，AP考试要求你要么记住这些导数，要么能快速推导出来。

**推导:** 求$\frac{d}{dx} \arcsin x$

*起点:* 反正弦的定义：$y = \arcsin x \implies \sin y = x$，取值范围为$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

1. 对$x$两边隐式求导：
2. $$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
3. 整理得到$\frac{dy}{dx}$：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$
5. 在$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$区间内，$\cos y$非负，因此使用勾股恒等式：
6. $$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$

*结论:* 我们得到标准导数公式：$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

用相同的过程可以得到反余弦和反正切的标准导数，你在求导和后续积分中会经常用到它们。

**例题:** 求$\frac{d}{dx} \left( \arctan(2x^2 + 3) \right)$。

1. 记住反正切的标准导数公式，对复合函数应用链式法则：
2. 令$u = 2x^2 + 3$，则$\frac{du}{dx} = 4x$。由链式法则可得：
3. $$\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$$
4. 回代$u = 2x^2 + 3$并化简：
5. $$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{1 + (2x^2 + 3)^2} = \frac{4x}{4x^4 + 12x^2 + 10} = \frac{2x}{2x^4 + 6x^2 + 5}$$

> **考试提示:** 注意反三角函数导数的符号差异：反正弦的导数为正，反余弦的导数为负；混淆符号是AP反三角函数求导考题中最常见的错误。

*计算器:* allowed

## 求反函数的切线方程

AP考试中非常常见的一类考题要求求反函数在某特定点处的切线方程。这类问题结合了反函数求导法则和直线的点斜式，即使你无法写出$f^{-1}(x)$的显式表达式也能求解。核心关系：如果$(b, a)$是$y = f(x)$上的点（即$f(b) = a$），那么$(a, b)$就是$y = f^{-1}(x)$上的对应点，也就是切点。

**例题:** 已知$f(x) = e^x + 3x$，且$f(0) = 1$。求$y = f^{-1}(x)$在$x=1$处的切线方程。

1. 首先确定切点：因为$f(0) = 1$，所以$f^{-1}(1) = 0$，因此切点为$(1, 0)$。
2. 求原函数的导数，并在$f^{-1}(1) = 0$处求值：
3. $$f'(x) = e^x + 3 \implies f'(0) = e^0 + 3 = 4$$
4. 计算反函数切线的斜率：
5. $$m = (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{4}$$
6. 代入点斜式并化简：
7. $$y - 0 = \frac{1}{4}(x - 1) \implies y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$$

> **考试提示:** 一定要反复核对切点坐标：反函数上切点的$x$坐标就是原函数上对应点的$y$坐标，反之亦然。写切线方程时不要不小心弄混坐标。

## 常见错误

- **错误做法:** 写成$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)}$，而非$\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
  - 原因: 学生混淆了反函数符号和负指数符号，错误地对$x$处的$f'$取倒数，而非对$f^{-1}(x)$处的$f'$取倒数
  - 正确做法: 计算反函数在$a$处的导数时，一定要明确写出$f'$的自变量：$f'(f^{-1}(a))$，而非仅仅$f'(a)$。
- **错误做法:** 给$\frac{d}{dx} \arcsin x$加上负号，或把$\frac{d}{dx} \arccos x$写成正的
  - 原因: 学生死记硬背所有反三角函数导数都是正的，忘记了由恒等式$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$得到的符号差异
  - 正确做法: 如果你忘记符号，可以快速重新推导：从$y = \arccos x$开始，隐函数求导会立即得到负导数。
- **错误做法:** 求$f^{-1}(x)$在$x=a$处的切线时，把切点错写成$(f^{-1}(a), a)$而非$(a, f^{-1}(a))$
  - 原因: 学生混淆了反函数的坐标交换规则，错误交换了$x$和$y$坐标
  - 正确做法: 从明确写出关系开始：如果$f(b) = a$，那么$f^{-1}(a) = b$，因此切点为$(a, b)$。
- **错误做法:** 当$f'(f^{-1}(a)) = 0$时仍然应用反函数求导法则，声称导数等于0
  - 原因: 学生忘记了法则成立的前提条件：$f'$在反函数对应点处不能为零
  - 正确做法: 一定要先计算$f'(f^{-1}(a))$；如果它等于零，直接说明反函数在$a$处的导数不存在（切线为竖直线）。
- **错误做法:** 对$\arcsin(3x)$求导时，把导数写成$\frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}$而非$\frac{3}{\sqrt{1 - (3x)^2}}$
  - 原因: 学生应用链式法则后，忘记把内层函数$u$代入整个导数公式
  - 正确做法: 乘以$\frac{du}{dx}$之前，一定要先把内层函数$u$代入完整的标准导数公式。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 通用反函数求导法则 | $(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ | 当$f'(f^{-1}(a)) \neq 0$时成立 |
| 反正弦导数 | $\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | 定义域为$-1 < x < 1$ |
| 反余弦导数 | $\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | 定义域为$-1 < x < 1$ |
| 反正切导数 | $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$ | 对所有实数$x$成立 |
| 复合反三角函数求导 | $\frac{d}{dx} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$ | 所有反三角函数都适用相同的链式法则 |
| 反函数切线 | $y - f^{-1}(a) = (f^{-1})'(a)(x - a)$ | 切点为$(a, f^{-1}(a))$ |
| 反函数恒等式 | $f(f^{-1}(x)) = x$ | 所有导数推导的出发点 |

## 下一步

反函数求导是AP微积分AB后续内容的重要前提，尤其是课程后半段的积分技巧。接下来，你会把这里学到的反函数求导法则应用于求能得到反三角函数结果的函数的原函数，这是AP CED第四单元和第六单元的核心考点。如果不掌握反三角函数的导数公式和通用反函数求导法则，你将无法正确求解这类原函数问题，而这类问题在考试的选择题和自由问答题中都经常出现。本主题也和反函数及其性质的更广泛研究相关，在相关变化率和最优化问题中，当需要关联两个互为反函数的量时也会用到本主题的知识。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [复合函数的导数（链式法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/)
- [反三角函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/)

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