# AP微积分AB 链式法则

> AP 微积分 AB · 求导：复合函数、隐函数与反函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/

本学习指南涵盖AP微积分AB中复合函数求导的链式法则、其在常见函数类型中的应用、与其他求导法则的结合，以及切线问题的求解。

**先修:** 复合函数的分解; 基本函数的导数法则; 直线的点斜式

## 学习目标

- 将复合函数分解为内层和外层分量
- 应用链式法则对复合函数求导
- 将链式法则与乘积/商求导法则结合使用
- 使用链式法则求解切线与法线问题
- 识别并避免链式法则的常见错误

## 什么是链式法则？

链式法则是复合函数求导的核心法则，复合函数的形式为$y = f(g(x))$，即内层函数$u = g(x)$代入外层函数$f(u)$中。该知识点约占AP微积分AB考试总分的4-6%，同时出现在选择题和自由问答题部分，几乎总是与其他求导法则结合考查。

链式法则的核心思路是：复合函数的变化率等于外层函数的变化率（在内层函数处取值）乘以内层函数的变化率。AP考试中的大多数函数都是复合函数，因此你无法仅依靠基本求导法则解题。

**链式法则** — 用于复合函数求导的法则，将外层函数的导数（在内层函数处取值）乘以内层函数的导数。

*记法:* $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

*例:* $y = (x^2 + 3x)^5$需要使用链式法则才能正确求导。

## 基础链式法则：分解与核心公式

要正确应用链式法则，你首先需要将复合函数正确分解为外层和内层分量。一个简单的判断方法：代入$x$值计算时，先计算的就是内层函数，后计算的就是外层函数。例如，对于$y = e^{x^2}$，内层函数是$u = x^2$，外层函数是$y = e^u$。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

$$\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

乘积形式的思路很简单：如果$y$对$u$的变化率是2倍，$u$对$x$的变化率是3倍，那么$y$对$x$的变化率就是$2 \times 3 = 6$倍，因此变化率相乘。不需要使用链式法则的唯一情况是内层函数就是$y=x$，其导数为1，乘积化简后就是外层导数。

**例题:** 求$y = (2x^3 - 5x + 1)^4$的导数。

1. 分解为外层$y = u^4$和内层$u = 2x^3 - 5x + 1$。
2. 对$u$求外层函数的导数：

   $$\frac{dy}{du} = 4u^3$$
3. 对$x$求内层函数的导数：

   $$\frac{du}{dx} = 6x^2 - 5$$
4. 相乘后回代$u = 2x^3 - 5x + 1$：

   $$\frac{dy}{dx} = 4(2x^3 - 5x + 1)^3(6x^2 - 5)$$
5. 化简（AP考试中可选）：

   $$(24x^2 - 20)(2x^3 - 5x + 1)^3$$

> **考试提示:** 在草稿纸上一定要明确标出你的内层和外层函数——如果你无法清晰说出两者，几乎肯定会错误应用该法则。

## 链式法则与其他求导法则的结合

链式法则在AP考试中几乎从不单独考查，你几乎总是需要将它与乘积法则、商法则或基本非幂函数的导数结合使用。最常见的推广形式有：

- 广义幂法则: $\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1} u'$
- 广义三角函数: $\frac{d}{dx}[\sin u] = \cos u \cdot u'$, $\frac{d}{dx}[\cos u] = -\sin u \cdot u'$, 等.
- 广义指数函数 (底数$e$): $\frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot u'$

结合多个法则的核心原则是：先对最外层运算应用对应法则，再向内对任何复合的内层部分应用链式法则。如果最外层运算是乘积，就先应用乘积法则，再对任何复合因子使用链式法则。

**例题:** 求$f(x) = e^{3x} \cos(2x)$的导数。

1. 最外层运算是乘法，因此先应用乘积法则：

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{3x}] \cdot \cos(2x) + e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$$
2. 用链式法则对$e^{3x}$求导（外层$e^u$，内层$u=3x$）：

   $$\frac{d}{dx}[e^{3x}] = 3e^{3x}$$
3. 用链式法则对$\cos(2x)$求导（外层$\cos u$，内层$u=2x$）：

   $$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -2\sin(2x)$$
4. 回代并化简：

   $$f'(x) = e^{3x}\left(3\cos(2x) - 2\sin(2x)\right)$$

> **考试提示:** 结合多个法则时，不要一步写出最终导数，逐次写出每一步——自由问答题中正确的中间步骤几乎总能获得部分分。

## 切线与法线问题中的链式法则

求给定点处复合函数的切线方程（或法线斜率）是AP考试非常常见的题型。由于函数是复合函数，你需要用链式法则计算切线斜率。回顾一下，$x=a$处的切线符合点斜式：$y - f(a) = f'(a)(x-a)$。对于法线，斜率是切线斜率的负倒数：$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}$。

**例题:** 求$y = \sqrt{4x^2 + 9}$在$x = 2$处的切线方程。

1. 求$x=2$处的$y$坐标：$y = \sqrt{4(2)^2 + 9} = 5$，因此切点为$(2, 5)$。
2. 改写为$y = (4x^2 + 9)^{1/2}$，分解为外层$y = u^{1/2}$，内层$u = 4x^2 + 9$。
3. 应用广义幂法则：

   $$y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}$$
4. 计算$x=2$处的斜率：

   $$y'(2) = \frac{8}{5}$$
5. 写出切线的点斜式，再整理为斜截式：

   $$y - 5 = \frac{8}{5}(x - 2) \implies y = \frac{8}{5}x + \frac{9}{5}$$

> **考试提示:** 计算$f'(a)$之前一定要先算出$f(a)$（切点坐标）——这是自由问答题中很容易拿到的1分，哪怕你导数算错也能得到。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这道选择题测试你的理解：

1. 下列哪一项等于$\frac{d}{dx}\left[ \tan(x^3 - 2x) \right]$?

   - $\sec^2(3x^2 - 2)$
   - $(3x^2 - 2)\sec^2(x^3 - 2x)$
   - $\sec^2(x^3 - 2x)$
   - $(3x^2 - 2)\tan(x^3 - 2x)$

   *解析:* 回答正确！你正确识别了外层$\tan u$和内层$u = x^3 - 2x$，然后应用链式法则得到了结果。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记乘$g'(x)$，漏写内层导数。例如，对$(x^2 + 1)^3$求导得到$3(x^2 + 1)^2$，而非$3(x^2 + 1)^2(2x)$
  - 原因: 学生求完外层函数导数就停止了，忘记内层函数会随$x$变化。
  - 正确做法: 求完外层函数导数后，一定要问自己：'内层函数不是$x$本身吗？'如果不是，继续下一步前乘上它的导数。
- **错误做法:** 颠倒内外层求导顺序，得到$g'(x) f(x)$而非$f'(g(x)) g'(x)$。例如，对$\sin(5x)$求导得到$5\sin(x)$
  - 原因: 混淆了应该先对哪个函数求导。
  - 正确做法: 一定要在草稿纸上明确标出外层和内层，先对外层函数求导，再乘以内层导数。
- **错误做法:** 对两个函数的乘积使用链式法则而非乘积法则。例如，对$x^2 \sin x$求导得到$2x \cos x$
  - 原因: 混淆了复合$f(g(x))$和乘积$f(x)g(x)$。
  - 正确做法: 求导前，先确认函数是一个函数代入另一个，还是两个独立函数相乘——仅对复合函数使用链式法则。
- **错误做法:** 切线问题中，求导前就将$x=a$代入内层函数。例如，对$x=2$处的$y=(x^2+1)^3$，先代入$x=2$得到$y=125$，再求导得到斜率0。
  - 原因: 混淆了代入数值的时机。
  - 正确做法: 先用链式法则对整个函数求导，再将$x=a$代入导数得到斜率。
- **错误做法:** 当最外层运算为乘积/商时，先应用链式法则再应用乘积/商法则。例如，对$(x+1)(x^2+2)^3$求导时，先对整个表达式应用链式法则。
  - 原因: 忘记最外层运算决定法则的应用顺序。
  - 正确做法: 总是先对最外层运算应用对应法则，再向内对复合的内层部分应用链式法则。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 基础链式法则（莱布尼茨记号） | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, $y=f(u), u=g(x)$ | 复合函数的直观“消去$du$”启发式记忆 |
| 基础链式法则（撇号记号） | $\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x))g'(x)$ | 始终要在$g(x)$处而非$x$处计算$f'$的值 |
| 广义幂法则 | $\frac{d}{dx}\left[u^n\right] = n u^{n-1} u'$ | 对所有实数$n$都成立，包括根号形式 |
| 广义三角函数求导 | $\frac{d}{dx}\left[\sin u\right] = (\cos u) u'$ | 全部6个三角函数都符合该模式；使用正确的基本导数 |
| 广义指数函数求导 | $\frac{d}{dx}\left[e^u\right] = e^u u'$ | 指数项本身不变；仅乘以内层导数 |
| 广义对数函数求导 | $\frac{d}{dx}\left[\ln u\right] = \frac{1}{u} u'$ | 仅在$u>0$时成立，AP选择题中很常见 |
| 切线方程 | $y - f(a) = f'(a)(x-a)$ | 复合函数$f(x)$的$f'(a)$需要用链式法则计算 |
| 法线斜率 | $m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}$ | 切线斜率的负倒数 |

## 下一步

链式法则是第3单元所有剩余知识点的基础，它也是AP微积分AB课程后续所有积分和应用知识点的必备基础。接下来你会把链式法则应用到隐函数求导中，即通过对以$x$为自变量的$y$项应用链式法则，对隐函数求导。如果不能正确识别何时需要对隐式项乘$\frac{dy}{dx}$，就无法进行隐函数求导。链式法则也是相关速率问题的核心，这是AP考试中占分很高的自由问答题考点。之后当你学习积分的u换元法时，本质就是逆用链式法则，因此现在掌握好链式法则会让积分变得更直观，也为考试成功打下坚实基础。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [反函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-functions/)
- [反三角函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/