高阶导数的计算

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions· 14 分钟阅读

1. 高阶导数的定义与符号★☆☆☆☆⏱ 3 min

高阶导数就是导数的导数：求出函数的一阶导数后，你可以对结果再次求导得到二阶导数，第三次求导得到三阶导数，以此类推可得到任意阶导数。在AP微积分AB考试中，题目几乎只要求你计算到二阶导数，不过多项式的高阶导数偶尔会出现在选择题中。根据AP课程与考试描述（CED），该主题占考试总分的约2-4%，会在选择题和自由作答题部分均出现。

📘 定义

高阶导数

Prime: $f^{'} (x), f^{''} (x), f^{(n)} (x)$ ; Leibniz: $\frac{d y}{d x}, \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

对一个函数迭代求导n次得到的结果。二阶导数是函数一阶导数的变化率。

例:

位置对时间的二阶导数等于加速度。

高阶导数有核心的实际解释：二阶导数衡量原函数斜率的变化率，对应一般函数的凹性，以及直线运动问题中的加速度。本主题直接建立在第3单元前面所学的隐函数求导基础上。

2. 显函数的高阶导数★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

对于形如 $y = f (x)$ 的显函数，计算高阶导数是一个迭代过程：你只需要对前一次求导的结果再次求导即可。n次多项式的n阶导数为非零常数，所有更高阶的导数都等于零。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2} sin (3 x)$ 的二阶导数。

1
首先，使用乘积法则计算一阶导数 $f^{'} (x)$ ：令 $u = x^{2}$ ， $v = sin (3 x)$ ，因此 $u^{'} = 2 x$ ， $v^{'} = 3 cos (3 x)$ （对内函数 $3 x$ 应用了链式法则）。由此得到：
2
$f'(x) = u'v + uv' = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$
3
对 $f^{'} (x)$ 逐项求导得到 $f^{''} (x)$ 。第一项 $2 x sin (3 x)$ 的导数（通过乘积法则和链式法则）为：
4
$\frac{d}{dx}\left[2x\sin(3x)\right] = 2\sin(3x) + 2x(3\cos(3x)) = 2\sin(3x) + 6x\cos(3x)$
5
对第二项 $3 x^{2} cos (3 x)$ 求导，再次应用乘积法则和链式法则：
6
$\frac{d}{dx}\left[3x^2\cos(3x)\right] = 3\left[2x\cos(3x) + x^2(-3\sin(3x))\right] = 6x\cos(3x) - 9x^2\sin(3x)$
7
将两个导数相加并合并同类项：
8
$f''(x) = 2\sin(3x) + 12x\cos(3x) - 9x^2\sin(3x)$

Exam tip:

如果题目要求给定点处的高阶导数，可在每次求导后代入x值来简化计算——如果你只需要数值结果，不要浪费时间先化简整个通式。

3. 隐函数的高阶导数★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

处理隐函数关系时，你已经知道如何求 $\frac{d y}{d x}$ ：对两边关于x求导，整理含 $\frac{d y}{d x}$ 的项，然后解出 $\frac{d y}{d x}$ 。要求二阶导数 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ，你需要对 $\frac{d y}{d x}$ 的表达式关于x再次求导，然后将原来 $\frac{d y}{d x}$ 的表达式代回结果，就能得到仅含x和y的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

📐 例题

求隐函数关系 $x^{2} + 4 y^{2} = 9$ 的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
对两边关于x求导得到一阶导数：
2
$2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$
3
分离出导数项，解出 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$8y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$
5
应用商法则，对两边关于x求导得到二阶导数：
6
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1)(4y) - (x)(4 \frac{dy}{dx})}{(4y)^2} = -\frac{4y - 4x \frac{dy}{dx}}{16y^2}$
7
将 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$ 代入表达式并化简：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4y - 4x\left(-\frac{x}{4y}\right)}{16y^2} = -\frac{4y^2 + x^2}{16y^3}$
9
利用原关系 $x^{2} + 4 y^{2} = 9$ 进一步化简：
10
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{9}{16y^3}$

Exam tip:

AP考试始终要求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 仅用x和y表示。在完成题目之前，一定要将一阶导数代回二阶导数表达式中。

4. 高阶导数在实际场景中的解释★★☆☆☆⏱ 3 min

AP微积分AB不仅会考查你计算高阶导数的能力，还会经常考查你在现实和抽象场景中解释其意义的能力。二阶导数作为一阶导数的变化率，是最常考的解释类问题。

运动学（运动问题）中：如果 $s (t)$ 是沿直线运动物体的位置，那么 $s^{'} (t) = v (t)$ （速度，位置的变化率）， $s^{''} (t) = a (t)$ （加速度，速度的变化率）。正加速度表示速度在增加，负加速度表示速度在减小。
非运动场景中：如果 $P (x)$ 是生产x单位产品的利润， $P^{'} (x)$ 是边际利润，那么 $P^{''} (x)$ 就是边际利润的变化率，告诉你增加产量会提高还是降低边际利润。
抽象函数中：二阶导数的符号告诉我们凹性： $f^{''} (x) > 0$ 表示 $f (x)$ 凹向上， $f^{''} (x) < 0$ 表示凹向下。

📐 例题

从地面竖直向上发射的抛射体的高度由 $h (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 4$ 给出，其中 $h (t)$ 单位为英尺，t单位为秒。求t=2时抛射体的加速度，并解释其在该场景中的意义。

1
首先，求速度函数（高度的一阶导数）：
2
$v(t) = h'(t) = -32t + 80 \text{ ft/s}$
3
接下来，求加速度函数（高度的二阶导数）：
4
$a(t) = h''(t) = -32 \text{ ft/s}^2$
5
在t=2处求值： $a (2) = - 32$ 英尺/秒²。
6
解释结果：恒定的负加速度表示抛射体的速度以每秒32英尺/秒的恒定速率减小，这与地球表面附近的重力加速度一致。

Exam tip:

解释二阶导数时，一定要带上“输出/输入²”的单位（例如英尺/秒²、美元/单位²），并明确说明它衡量的是一阶导数对应量的变化率。

5. 概念检测★★☆☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检测你的理解：

$f (x) = (2 x + 5)^{4}$ 的二阶导数是下列哪项？
- A) $8 (2 x + 5)^{3}$
- B) $12 (2 x + 5)^{2}$
- C) $48 (2 x + 5)^{2}$
- D) $24 (2 x + 5)^{2}$
显示答案
C) $48(2x+5)^2$ —
一阶导数： $f^{'} (x) = 4 (2 x + 5)^{3} \cdot 2 = 8 (2 x + 5)^{3}$ 。再次求导，重新应用链式法则得： $f^{''} (x) = 8 \cdot 3 (2 x + 5)^{2} \cdot 2 = 48 (2 x + 5)^{2}$ 。其他选项要么漏了第二次应用链式法则，要么就是一阶导数本身。

6. 常见陷阱

错误做法:

计算隐函数的二阶导数时，在 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的最终表达式中保留 $\frac{d y}{d x}$ 。

原因:

学生对一阶导数求导后就停止了，忘记最终结果只能包含x和y。

正确做法:

求导得到含 $\frac{d y}{d x}$ 的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 表达式后，一定要代入你之前求出的 $\frac{d y}{d x}$ 解，再化简结果。

错误做法:

求复合函数的二阶导数时忘记重新应用链式法则（例如，对于 $f (x) = (2 x + 5)^{4}$ ，错写成 $f^{''} (x) = 24 (2 x + 5)^{2}$ 而不是 $48 (2 x + 5)^{2}$ ）。

原因:

学生记得一阶导数要应用链式法则，但忘记二阶导数要再次使用。

正确做法:

每次对任意复合函数求导时，即使是计算高阶导数，都要先检查是否有内函数并应用链式法则，再继续下一步。

错误做法:

将二阶导数的莱布尼茨符号错写成 $\frac{d y ^{2}}{d x ^{2}}$ ，而不是 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

原因:

学生在扩展一阶导数符号时，混淆了指数的位置。

正确做法:

记住指数2在分子的d上，因此正确符号是 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

错误做法:

对隐函数的 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$ 求导时，将y视为常数，错得到 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{1}{4}$ ，而没有应用商法则。

原因:

学生忘记在隐函数求导中y始终是x的函数。

正确做法:

任何含y的项关于x求导时都需要应用链式法则，因此对于同时含x和y的表达式，一定要使用乘积/商法则。

错误做法:

将加速度错误解释为位置的变化率，而非速度的变化率。

原因:

学生混淆了运动问题中导数的阶数顺序。

正确做法:

记住顺序：位置 $一阶导数$ 速度 $二阶导数$ 加速度，因此加速度始终是速度的导数，位置的二阶导数。

7. 速查表

分类	公式/法则	注释
n阶导数的撇号记法	$f^{'} (x), f^{''} (x), ..., f^{(n)} (x)$	对于n ≥ 3 使用 $f^{(n)}$ 避免多个撇号
二阶导数的莱布尼茨记法	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$	指数2在分子的d上，分母的x上
显函数的二阶导数	$f^{''} (x) = \frac{d}{d x} [f^{'} (x)]$	对高阶导数重复该过程
隐函数一阶导数步骤	对所有项关于x求导，提取公因子 $\frac{d y}{d x}$ ，求解	任何含y的项都会通过链式法则得到 $\frac{d y}{d x}$ 因子
隐函数二阶导数步骤	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} [\frac{d y}{d x}]$ ，代入 $\frac{d y}{d x}$	最终结果不能保留剩余的 $\frac{d y}{d x}$ 项
运动导数链	$v (t) = s^{'} (t), a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$	$a (t)$ 是加速度，速度的变化率
凹性解释	$f^{''} (x) > 0 ⟹$ 凹向上； $f^{''} (x) < 0 ⟹$ 凹向下	曲线绘图的核心法则
高阶导数的链式法则	每次求导都重新应用链式法则	绝不能只在一阶导数时用一次链式法则

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求复合函数的二阶导数
2022 · FRQ
隐函数二阶导数的计算

下一步

掌握高阶导数，尤其是隐函数二阶导数，是所有后续导数应用相关主题的关键前提。接下来你马上会用到二阶导数解决凹性和拐点问题，在这类问题中二阶导数的符号告诉你函数的斜率是增加还是减少。高阶导数也是运动学问题的核心，这类问题占AP自由作答题很大一部分，你需要联系位置、速度和加速度来判断物体何时加速何时减速。如果不能正确计算二阶导数，你就无法准确解决这些问题，也无法正确绘制函数图像。