# AP 微积分 AB 商法则

> AP 微积分 AB · 第2单元：微分：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-quotient-rule/

本模块讲解两个可导函数比值求导的商法则，内容包括商法则的推导、在有理函数与三角函数中的应用、切线问题，以及AP考试的常见陷阱。

**先修:** [导数的极限定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivative-definition/); 基本幂函数、三角函数和指数函数的导数; [微分的乘积法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-product-rule/)

## 学习目标

- 说出函数比值求导的商法则公式
- 将商法则应用于幂函数、三角函数和指数函数的比值求导
- 推导倒数三角函数的标准导数公式
- 求商函数的切线与法线方程
- 避免应用商法则时AP考试的常见陷阱

## 商法则的定义与推导

商法则是一套标准的求导法则，它让我们无需每次都回到极限定义，就能求出两个可导函数比值的导数。在AP微积分AB中，该知识点属于第2单元，占考试总分的10–12%，会在选择题和自由回答题中都出现。

**商法则** — 若$g(x)$和$h(x)$均可导，则$f(x)$的导数为：$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

*记法:* For $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, where $h(x) \neq 0$

*例:* 例如，对于$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$，$g(x) = x^2$，$h(x) = x+1$，因此$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}$

**推导:** 从乘积法则和链式法则推导商法则

*起点:* 我们从$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \cdot [h(x)]^{-1}$开始推导，其中$g$和$h$均可导，且$h(x) \neq 0$。

1. 对第二项先应用乘积法则，再应用链式法则：

   $$f'(x) = g'(x) \cdot [h(x)]^{-1} + g(x) \cdot (-1)[h(x)]^{-2} h'(x)$$
2. 乘以$\frac{[h(x)]^2}{[h(x)]^2}$通分后，得到标准公式：

   $$f'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{[h(x)]^2}$$

*结论:* 该推导验证了可用于所有函数比值求导的标准商法则公式。

> **记忆口诀**
>
> 下导上减上导下，结果除以下方平方。“下”指分母$h(x)$，“上”指分子$g(x)$。这个口诀可以避免最常见的项顺序错误。

## 商法则在有理函数中的应用

商法则最基础的应用是对有理函数（多项式的比值）求导。做题时请先明确分子和分母，分别计算它们的导数，再代入商法则公式，最后化简。

**例题:** 使用商法则求$f(x) = \frac{3x^2 + 2x}{x - 4}$的导数

1. 确定分子（上）和分母（下）：

   $$g(x) = 3x^2 + 2x, \quad h(x) = x - 4$$
2. 计算两个函数的导数：

   $$g'(x) = 6x + 2, \quad h'(x) = 1$$
3. 代入商法则公式：

   $$f'(x) = \frac{(6x + 2)(x - 4) - (3x^2 + 2x)(1)}{(x - 4)^2}$$
4. 展开分子并合并同类项：

   $$(6x^2 - 24x + 2x - 8) - 3x^2 - 2x = 3x^2 - 24x - 8$$
5. 最终化简后的导数：

   $$f'(x) = \frac{3x^2 - 24x - 8}{(x - 4)^2}$$

> **tip**
>
> 化简分子时，先展开所有乘积再合并同类项。这可以降低符号错误的概率，符号错误是AP考试中十分常见的失分原因。

**概念自测**

检验你对商法则公式的理解

1. 下列哪个选项是$f(x) = \frac{\sin(x)}{2x^2 + 1}$的正确导数？

   - $\frac{\cos(x)(2x^2 + 1) - \sin(x)(4x)}{(2x^2 + 1)}$
   - $\frac{\cos(x)(2x^2 + 1) + \sin(x)(4x)}{(2x^2 + 1)^2}$
   - $\frac{\cos(x)(2x^2 + 1) - 4x \sin(x)}{(2x^2 + 1)^2}$
   - $\frac{\sin(x)(2x^2 + 1) - \cos(x)(4x)}{(2x^2 + 1)^2}$

   *答案:* $\frac{\cos(x)(2x^2 + 1) - 4x \sin(x)}{(2x^2 + 1)^2}$

   *解析:* 正确！所有项都符合商法则公式。选项A遗漏了分母的平方，选项B符号错误，选项D交换了分子中项的顺序。

## 三角函数的商法则求导

商法则在AP考试中的一个核心应用是推导正切、余切、正割、余割的导数，这些函数都是正弦和余弦的比值。AP考试偶尔会在自由回答题中要求完整推导，因此你必须写出所有步骤，不能只写出最终结果。

**例题:** 使用商法则求$y = \sec(x)$的导数，然后化简为标准三角形式

1. 将正割改写为显式比值，确定分子和分母：

   $$y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \\ g(x) = 1, \quad h(x) = \cos(x)$$
2. 计算导数：

   $$g'(x) = 0, \quad h'(x) = -\sin(x)$$
3. 应用商法则公式：

   $$y' = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} = \frac{(0)(\cos(x)) - (1)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}$$
4. 化简分子：

   $$y' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$$
5. 利用三角定义改写为标准形式：

   $$\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \tan(x) \sec(x)$$

> **tip**
>
> 应用商法则前，请始终将倒数三角函数改写为显式比值，避免误判分子和分母。

## 应用问题：切线与法线

AP考试中最常见的商法则应用问题之一，就是求商函数的切线或法线方程。这类问题结合了第2单元的多个知识点，遵循以下标准步骤：

1. 使用商法则对$f(x)$求导得到$f'(x)$
2. 计算$f'(a)$，得到$x=a$处切线的斜率
3. 计算$f(a)$，得到点$(a, f(a))$
4. 用点斜式写出切线方程$y - f(a) = f'(a)(x-a)$；法线的斜率则为$-\frac{1}{f'(a)}$

**例题:** 写出$f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 1}$在$x=1$处的切线方程

1. 确定$g(x)$、$h(x)$以及它们的导数：

   $$g(x) = e^x, \quad h(x) = x^2 + 1 \\ g'(x) = e^x, \quad h'(x) = 2x$$
2. 应用商法则并化简：

   $$f'(x) = \frac{e^x(x^2 + 1) - e^x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}$$
3. 在$x=1$处计算导数得到斜率：

   $$f'(1) = \frac{e^1(0)^2}{(1 + 1)^2} = 0$$
4. 求$x=1$处的y坐标：

   $$f(1) = \frac{e}{1 + 1} = \frac{e}{2}$$
5. 用点斜式写出切线方程：

   $$y - \frac{e}{2} = 0(x - 1) \implies y = \frac{e}{2}$$

> **tip**
>
> 在给定点计算导数值前，请先完全化简导数。先对分子因式分解通常能得到简化，减少计算错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 交换项的顺序，将分子写为$g(x)h'(x) - g'(x)h(x)$
  - 原因: 混淆了商法则和乘积法则，或者记错了口诀的顺序
  - 正确做法: 始终遵循口诀“下导上减上导下”，严格按照这个顺序写项。
- **错误做法:** 忘记对导数中的整个分母平方
  - 原因: 急于套用公式，跳过了“分母平方”这一步
  - 正确做法: 写完分子后，立刻在化简前写出分母为（原分母）$^2$。
- **错误做法:** 没有将负号分配给$g(x)h'(x)$的所有项
  - 原因: 忘记负号适用于整个第二项，而不只是第一项
  - 正确做法: 在负号后，始终将整个$g(x)h'(x)$项放在括号中。
- **错误做法:** 求导前约去公因式，但没有注明定义域限制
  - 原因: 忘记原函数在原分母为零处无定义，因此导数在该点也不存在
  - 正确做法: 如果求导前约去了公因式，请明确说明导数在被排除的定义域点处不存在。
- **错误做法:** 当分子或分母是复合函数时忘记链式法则
  - 原因: 注意力都放在记住商法则上，忽略了需要的链式法则步骤
  - 正确做法: 代入商法则公式前，计算$g(x)$和$h(x)$的导数时都要检查是否需要链式法则。

## 速查表

| 类别 | 公式/法则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 一般商法则 | $\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ | 仅适用于$h(x) \neq 0$，且$g$、$h$均可导的情况 |
| 记忆口诀 | "下导上减上导下，结果除以下方平方" | 避免常见的项顺序和符号错误 |
| $\tan(x)$的导数 | $\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$ | 由对$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$应用商法则推导得到 |
| $\cot(x)$的导数 | $\frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x)$ | 由对$\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$应用商法则推导得到 |
| $\sec(x)$的导数 | $\frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x)\tan(x)$ | 由对$\frac{1}{\cos(x)}$应用商法则推导得到 |
| $\csc(x)$的导数 | $\frac{d}{dx} \csc(x) = -\csc(x)\cot(x)$ | 由对$\frac{1}{\sin(x)}$应用商法则推导得到 |
| 切线斜率 | $m_{\text{tangent}} = f'(a)$ | 在$(a, f(a))$处求斜率需计算$x=a$处的导数值 |
| 法线斜率 | $m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}$ | 仅适用于非水平、非垂直的切线 |

## 下一步

掌握商法则是AP微积分AB中所有后续求导知识点的重要基础。你之后会将商法则与复合函数的链式法则结合使用，还会在隐函数求导中用到它，很多隐函数求导问题都需要对有理表达式求导。商法则经常用于有理函数，而有理函数会在课程后续的相关变化率、最优化和积分问题中出现。商法则的错误（比如符号错误、项顺序交换）会导致在此之后几乎每个单元都丢失送分题的分数。不断练习直到你能快速正确应用这个法则，会在整个剩余课程和最终AP考试中带来回报。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [正切、余切、正割、余割的导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/)
- [微分：复合函数、隐函数与反函数 概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-quotient-rule/