乘积法则

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 两个可导函数的乘积法则★★☆☆☆⏱ 4 min

对于任意函数 $f (x) = g (x) h (x)$ ，若 $g (x)$ 和 $h (x)$ 在 $x$ 处均可导，乘积法则可以直接从导数的极限定义推导得出。

🔬 推导

目标:

从第一性原理推导乘积法则公式

起点:

$f (x) = g (x) h (x)$ 的 $f^{'} (x)$ 极限定义

1
从标准极限定义出发：
2
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)h(x+\Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$
3
在分子中同时加上和减去 $g (x + Δ x) h (x)$ 进行因式分解：
4
$\text{Numerator} = g(x+\Delta x)\left(h(x+\Delta x) - h(x)\right) + h(x)\left(g(x+\Delta x) - g(x)\right)$
5
拆分极限，利用可导函数必连续的性质（ $lim_{Δ x \to 0} g (x + Δ x) = g (x)$ ），再代入 $g^{'} (x)$ 和 $h^{'} (x)$ 的定义。

结果:

我们最终得到两个函数的标准乘积法则公式。

📘 定义

乘积法则（两个函数）

f(x) = g(x)h(x)

若 $g$ 和 $h$ 都在 $x$ 处可导，则 $f (x)$ 的导数为： $f^{'} (x) = g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)$

例:

对于 $f (x) = x^{3} sin x$ ， $f^{'} (x) = x^{3} cos x + 3 x^{2} sin x$

📐 例题

求 $f (x) = x^{3} sin x$ 的导数。

1
1. 识别两个可导因子：
2
$g(x) = x^3, \quad h(x) = \sin x$
3
1. 计算每个因子的导数：
4
$g'(x) = 3x^2, \quad h'(x) = \cos x$
5
1. 代入乘积法则公式：
6
$f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = x^3 \cos x + (\sin x)(3x^2)$
7
1. 提出公因子 $x^{2}$ 进行化简：
8
$f'(x) = x^2\left(x \cos x + 3 \sin x\right)$

Exam tip:

在自由作答题（FRQ）的解题过程中，务必明确标出 $g (x), g^{'} (x), h (x), h^{'} (x)$ ，这样即使出现小错误也能获得部分分数。

2. 三个及更多函数的扩展乘积法则★★★☆☆⏱ 3 min

乘积法则可以自然推广到三个及以上可导函数的乘积，这一扩展内容是AP考试的常见考点。规律很简单： $n$ 个因子相乘，导数会有 $n$ 项，每一项恰好是其中一个因子的导数，乘以其余所有保持不变的原因子。

📘 定义

乘积法则（三个函数）

f(x) = u(x)v(x)w(x)

导数公式为： $f^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) w (x) + u (x) v^{'} (x) w (x) + u (x) v (x) w^{'} (x)$

如果你忘记了扩展规律，总能通过将两个因子合并为一个乘积，两次运用双函数乘积法则推导出结果。这种方法不需要额外记忆，总能得到正确结果。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x e^{x} cos x$ 的导数。

1
1. 标出三个因子及其各自的导数：
2
$u(x) = 2x, \quad u'(x) = 2 \\ v(x) = e^x, \quad v'(x) = e^x \\ w(x) = \cos x, \quad w'(x) = -\sin x$
3
1. 运用扩展乘积法则：
4
$f'(x) = (2)(e^x)(\cos x) + (2x)(e^x)(\cos x) + (2x)(e^x)(-\sin x)$
5
1. 提出公因子 $2 e^{x}$ 进行化简：
6
$f'(x) = 2e^x\left(\cos x + x \cos x - x \sin x\right)$

Exam tip:

如果你忘记了扩展规律，可以将两个因子分组，两次运用双函数乘积法则，这样总能得到正确结果。

3. AP考点应用：求切线方程★★★☆☆⏱ 4 min

乘积法则在AP考试中最常见的应用之一，就是求由函数乘积定义的曲线的切线方程。这类问题结合了你对乘积法则的掌握，以及导数作为切线斜率的几何定义，核心步骤分为三步：1) 用乘积法则求出 $f^{'} (x)$ ，2) 在给定的 $x = a$ 处计算 $f^{'} (a)$ 得到斜率 $m$ ，3) 计算 $f (a)$ 得到切点坐标 $(a, f (a))$ ，再用点斜式写出切线方程。

📐 例题

求 $f (x) = (x^{2} - 4) (3 x + 2)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程。

1
1. 识别因子及其导数：
2
$g(x) = x^2 - 4, \quad g'(x) = 2x \\ h(x) = 3x + 2, \quad h'(x) = 3$
3
1. 运用乘积法则求出 $f^{'} (x)$ 并化简：
4
$f'(x) = (x^2 - 4)(3) + (3x + 2)(2x) = 3x^2 - 12 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x - 12$
5
1. 计算 $x = 1$ 处的斜率：
6
$f'(1) = 9(1)^2 + 4(1) - 12 = 1 \implies m = 1$
7
1. 计算切点的y坐标：
8
$f(1) = (1 - 4)(3 + 2) = -15 \implies \text{Point} = (1, -15)$
9
1. 使用点斜式，化简为斜截式：
10
$y + 15 = 1(x - 1) \implies y = x - 16$

Exam tip:

对于多项式乘积，你可以先展开原乘积再逐项求导，以此快速验证你的导数结果是否正确。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用以下AP风格练习题测试你的理解：

$f (x) = 4 x e^{2 x}$ 的导数是什么？
- A) $4 e^{2 x} (2 x + 1)$
- B) $8 e^{2 x}$
- C) $4 e^{2 x} (x + 1)$
- D) $8 x e^{2 x}$
显示答案
A) $4e^{2x}(2x + 1)$ —
错误选项都来自常见错误：忘记乘积法则中的一项，或者错误运用常数倍法则。正确解题过程为： $g (x) = 4 x$ ， $g^{'} (x) = 4$ ， $h (x) = e^{2 x}$ ， $h^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ ，因此 $f^{'} (x) = (4 x) (2 e^{2 x}) + 4 e^{2 x} = 4 e^{2 x} (2 x + 1)$ 。
设 $f (x) = (x^{2} - 5 x) cos x$ 。(a) 求 $f^{'} (x)$ 。(b) 求 $x = π$ 处切线的斜率。(c) $f (x)$ 在 $x = π$ 处是递增还是递减？证明你的结论。
显示答案
(a) $f'(x) = -(x^2 - 5x)\sin x + (2x - 5)\cos x$ (b) 斜率 = $5 - 2\pi \approx -1.28$ (c) $f(x)$是递减的，因为$f'(\pi) = 5 - 2\pi < 0$。 —
这是一道典型的多部分自由作答题风格题目，同时考察乘积法则的应用和对导数符号的解读。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于 $f (x) = g (x) h (x)$ ，认为 $f^{'} (x) = g^{'} (x) h^{'} (x)$

原因:

学生错误地将和法则的规律（ $(g + h)^{'} = g^{'} + h^{'}$ ）推广到乘积上

正确做法:

开始计算前，先写出完整的乘积法则公式 $f^{'} (x) = g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)$

错误做法:

对于 $f (x) = 3 x^{2} sin x$ ，写出 $f^{'} (x) = 3 (2 x cos x) = 6 x cos x$ ，忘记了乘积法则的第二项

原因:

混淆了常数倍法则和乘积法则，导致只对一个因子求导就停止了

正确做法:

先把常数提出来，只对非恒定因子运用乘积法则，或者将常数视为一个导数为零的因子

错误做法:

对于 $f (x) = (x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3)$ ，计算得 $f^{'} (x) = 1 \cdot 1 = 1$

原因:

和第一个易错点相同：直接将导数相乘，没有运用完整的乘积法则

正确做法:

运用乘积法则： $f^{'} (x) = (1) (x + 3) + (x + 3) (1) = 2 (x + 3)$ ，和链式法则得到的结果一致

错误做法:

对于 $f (x) = uv w$ ，写出 $f^{'} (x) = u^{'} v^{'} w + u v^{'} w^{'} + u^{'} v^{'} w^{'}$

原因:

记错了扩展规律，每一项对两个因子求导，而不是仅一个

正确做法:

遵循规律：每一项恰好只有一个因子求导，其余所有因子保持不变： $f^{'} (x) = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}$

错误做法:

求 $x = a$ 处的切线时，计算斜率 $m = f (a)$ 而不是 $m = f^{'} (a)$

原因:

做题太匆忙，混淆了原函数和导数的意义

正确做法:

在解题过程中明确标注「斜率 = $f^{'} (a)$ 」和「y坐标 = $f (a)$ 」，避免混淆

6. 速查表

类别	公式	说明
双函数乘积法则	若 $f (x) = g (x) h (x)$ ，则 $f^{'} (x) = g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)$	适用于可导函数 $g, h$ ；乘积的导数 $\neq =$ 导数的乘积
莱布尼茨记号	$\frac{d}{d x} [uv] = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$	常用于自由作答题，方便追踪哪个项进行了求导
三函数乘积法则	若 $f (x) = uv w$ ，则 $f^{'} (x) = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}$	每一项恰好对一个因子求导，其余所有因子保持不变
扩展法则（n个因子）	$\frac{d}{d x} [\prod_{i = 1}^{n} f_{i}] = \sum_{i = 1}^{n} (f_{i}^{'} \prod_{j \neq = i} f_{j})$	在AP微积分AB中n>3的情况很少考察；如果不确定可以分组后使用双函数乘积法则
常数倍法则（特殊情况）	若 $f (x) = c \cdot g (x)$ ，则 $f^{'} (x) = c \cdot g^{'} (x)$	由乘积法则推导得出：常数 $c$ 的导数为0
$x = a$ 处切线斜率	斜率 $m = f^{'} (a)$	斜率总是来自导数，而非原函数
切线方程	$y - f (a) = m (x - a)$	标准点斜式；题目要求时化简为斜截式

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求指数函数与多项式乘积的导数
2022 · FRQ
求乘积函数的切线方程

下一步

掌握乘积法则是AP微积分AB所有后续微分主题必不可少的前提。接下来你会将乘积法则和链式法则结合，对包含简单内层函数乘积的复合函数求导，这是选择题和自由答题部分都很常见的得分点。之后，隐函数微分、相关变化率和优化问题都需要用到乘积法则，在这些问题中，你需要求导的大多数函数都是两个或多个简单函数的乘积。如果没有扎实掌握乘积法则，你将无法正确建立并求解这些更复杂的问题，造成不必要的失分。