# 乘积法则

> AP 微积分 AB · 第二单元：微分：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-product-rule/

本学习指南涵盖微分中的乘积法则，包括适用于两个及多个函数的核心公式、从第一性原理推导、切线应用，以及AP微积分AB考试中的常见易错点。

**先修:** [导数的极限定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivative-definition/); [基本求导法则（幂法则、常数倍法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-basic-derivative-rules/); 代数因式分解与展开

## 学习目标

- 陈述两个及多个可导函数的乘积法则
- 运用乘积法则求函数乘积的导数
- 运用乘积法则求乘积函数的切线
- 识别并避免运用乘积法则时的常见错误

## 两个可导函数的乘积法则

对于任意函数$f(x) = g(x)h(x)$，若$g(x)$和$h(x)$在$x$处均可导，乘积法则可以直接从导数的极限定义推导得出。

**推导:** 从第一性原理推导乘积法则公式

*起点:* $f(x) = g(x)h(x)$的$f'(x)$极限定义

1. 从标准极限定义出发：
2. $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)h(x+\Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$$
3. 在分子中同时加上和减去$g(x+\Delta x)h(x)$进行因式分解：
4. $$\text{Numerator} = g(x+\Delta x)\left(h(x+\Delta x) - h(x)\right) + h(x)\left(g(x+\Delta x) - g(x)\right)$$
5. 拆分极限，利用可导函数必连续的性质（$\lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) = g(x)$），再代入$g'(x)$和$h'(x)$的定义。

*结论:* 我们最终得到两个函数的标准乘积法则公式。

**乘积法则（两个函数）** — 若$g$和$h$都在$x$处可导，则$f(x)$的导数为：$f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)$

*记法:* f(x) = g(x)h(x)

*例:* 对于$f(x) = x^3 \sin x$，$f'(x) = x^3 \cos x + 3x^2 \sin x$

**例题:** 求$f(x) = x^3 \sin x$的导数。

1. 1. 识别两个可导因子：
2. $$g(x) = x^3, \quad h(x) = \sin x$$
3. 2. 计算每个因子的导数：
4. $$g'(x) = 3x^2, \quad h'(x) = \cos x$$
5. 3. 代入乘积法则公式：
6. $$f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = x^3 \cos x + (\sin x)(3x^2)$$
7. 4. 提出公因子$x^2$进行化简：
8. $$f'(x) = x^2\left(x \cos x + 3 \sin x\right)$$

> **考试提示:** 在自由作答题（FRQ）的解题过程中，务必明确标出$g(x), g'(x), h(x), h'(x)$，这样即使出现小错误也能获得部分分数。

## 三个及更多函数的扩展乘积法则

乘积法则可以自然推广到三个及以上可导函数的乘积，这一扩展内容是AP考试的常见考点。规律很简单：$n$个因子相乘，导数会有$n$项，每一项恰好是其中一个因子的导数，乘以其余所有保持不变的原因子。

**乘积法则（三个函数）** — 导数公式为：$f'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)$

*记法:* f(x) = u(x)v(x)w(x)

如果你忘记了扩展规律，总能通过将两个因子合并为一个乘积，两次运用双函数乘积法则推导出结果。这种方法不需要额外记忆，总能得到正确结果。

**例题:** 求$f(x) = 2x e^x \cos x$的导数。

1. 1. 标出三个因子及其各自的导数：
2. $$u(x) = 2x, \quad u'(x) = 2 \\ v(x) = e^x, \quad v'(x) = e^x \\ w(x) = \cos x, \quad w'(x) = -\sin x$$
3. 2. 运用扩展乘积法则：
4. $$f'(x) = (2)(e^x)(\cos x) + (2x)(e^x)(\cos x) + (2x)(e^x)(-\sin x)$$
5. 3. 提出公因子$2e^x$进行化简：
6. $$f'(x) = 2e^x\left(\cos x + x \cos x - x \sin x\right)$$

> **考试提示:** 如果你忘记了扩展规律，可以将两个因子分组，两次运用双函数乘积法则，这样总能得到正确结果。

## AP考点应用：求切线方程

乘积法则在AP考试中最常见的应用之一，就是求由函数乘积定义的曲线的切线方程。这类问题结合了你对乘积法则的掌握，以及导数作为切线斜率的几何定义，核心步骤分为三步：1) 用乘积法则求出$f'(x)$，2) 在给定的$x=a$处计算$f'(a)$得到斜率$m$，3) 计算$f(a)$得到切点坐标$(a, f(a))$，再用点斜式写出切线方程。

**例题:** 求$f(x) = (x^2 - 4)(3x + 2)$在$x=1$处的切线方程。

1. 1. 识别因子及其导数：
2. $$g(x) = x^2 - 4, \quad g'(x) = 2x \\ h(x) = 3x + 2, \quad h'(x) = 3$$
3. 2. 运用乘积法则求出$f'(x)$并化简：
4. $$f'(x) = (x^2 - 4)(3) + (3x + 2)(2x) = 3x^2 - 12 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x - 12$$
5. 3. 计算$x=1$处的斜率：
6. $$f'(1) = 9(1)^2 + 4(1) - 12 = 1 \implies m = 1$$
7. 4. 计算切点的y坐标：
8. $$f(1) = (1 - 4)(3 + 2) = -15 \implies \text{Point} = (1, -15)$$
9. 5. 使用点斜式，化简为斜截式：
10. $$y + 15 = 1(x - 1) \implies y = x - 16$$

> **考试提示:** 对于多项式乘积，你可以先展开原乘积再逐项求导，以此快速验证你的导数结果是否正确。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用以下AP风格练习题测试你的理解：

1. $f(x) = 4x e^{2x}$的导数是什么？

   - A) $4e^{2x}(2x + 1)$
   - B) $8e^{2x}$
   - C) $4e^{2x}(x + 1)$
   - D) $8x e^{2x}$

   *解析:* 错误选项都来自常见错误：忘记乘积法则中的一项，或者错误运用常数倍法则。正确解题过程为：$g(x) = 4x$，$g'(x)=4$，$h(x)=e^{2x}$，$h'(x)=2e^{2x}$，因此$f'(x) = (4x)(2e^{2x}) + 4e^{2x} = 4e^{2x}(2x+1)$。

2. 设$f(x) = (x^2 - 5x) \cos x$。(a) 求$f'(x)$。(b) 求$x = \pi$处切线的斜率。(c) $f(x)$在$x = \pi$处是递增还是递减？证明你的结论。

   *解析:* 这是一道典型的多部分自由作答题风格题目，同时考察乘积法则的应用和对导数符号的解读。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于$f(x) = g(x)h(x)$，认为$f'(x) = g'(x)h'(x)$
  - 原因: 学生错误地将和法则的规律（$(g+h)' = g' + h'$）推广到乘积上
  - 正确做法: 开始计算前，先写出完整的乘积法则公式$f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)$
- **错误做法:** 对于$f(x) = 3x^2 \sin x$，写出$f'(x) = 3(2x \cos x) = 6x \cos x$，忘记了乘积法则的第二项
  - 原因: 混淆了常数倍法则和乘积法则，导致只对一个因子求导就停止了
  - 正确做法: 先把常数提出来，只对非恒定因子运用乘积法则，或者将常数视为一个导数为零的因子
- **错误做法:** 对于$f(x) = (x+3)^2 = (x+3)(x+3)$，计算得$f'(x) = 1 \cdot 1 = 1$
  - 原因: 和第一个易错点相同：直接将导数相乘，没有运用完整的乘积法则
  - 正确做法: 运用乘积法则：$f'(x) = (1)(x+3) + (x+3)(1) = 2(x+3)$，和链式法则得到的结果一致
- **错误做法:** 对于$f(x) = uvw$，写出$f'(x) = u'v'w + uv'w' + u'v'w'$
  - 原因: 记错了扩展规律，每一项对两个因子求导，而不是仅一个
  - 正确做法: 遵循规律：每一项恰好只有一个因子求导，其余所有因子保持不变：$f'(x) = u'vw + uv'w + uvw'$
- **错误做法:** 求$x=a$处的切线时，计算斜率$m = f(a)$而不是$m = f'(a)$
  - 原因: 做题太匆忙，混淆了原函数和导数的意义
  - 正确做法: 在解题过程中明确标注「斜率 = $f'(a)$」和「y坐标 = $f(a)$」，避免混淆

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 双函数乘积法则 | 若$f(x) = g(x)h(x)$，则$f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)$ | 适用于可导函数$g, h$；乘积的导数$\neq$导数的乘积 |
| 莱布尼茨记号 | $\frac{d}{dx}[uv] = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ | 常用于自由作答题，方便追踪哪个项进行了求导 |
| 三函数乘积法则 | 若$f(x) = uvw$，则$f'(x) = u'vw + uv'w + uvw'$ | 每一项恰好对一个因子求导，其余所有因子保持不变 |
| 扩展法则（n个因子） | $\frac{d}{dx}\left[\prod_{i=1}^n f_i\right] = \sum_{i=1}^n \left(f_i' \prod_{j \neq i} f_j\right)$ | 在AP微积分AB中n>3的情况很少考察；如果不确定可以分组后使用双函数乘积法则 |
| 常数倍法则（特殊情况） | 若$f(x) = c \cdot g(x)$，则$f'(x) = c \cdot g'(x)$ | 由乘积法则推导得出：常数$c$的导数为0 |
| $x=a$处切线斜率 | 斜率$m = f'(a)$ | 斜率总是来自导数，而非原函数 |
| 切线方程 | $y - f(a) = m(x - a)$ | 标准点斜式；题目要求时化简为斜截式 |

## 下一步

掌握乘积法则是AP微积分AB所有后续微分主题必不可少的前提。接下来你会将乘积法则和链式法则结合，对包含简单内层函数乘积的复合函数求导，这是选择题和自由答题部分都很常见的得分点。之后，隐函数微分、相关变化率和优化问题都需要用到乘积法则，在这些问题中，你需要求导的大多数函数都是两个或多个简单函数的乘积。如果没有扎实掌握乘积法则，你将无法正确建立并求解这些更复杂的问题，造成不必要的失分。

- [商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-quotient-rule/)
- [隐函数微分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [正切、余切、正割、余割的导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-product-rule/