单元总览

微分：定义与基本性质

AP 微积分 AB· 5 分钟阅读 📊 占 AP 微积分 AB 考试的 10-12%

1. 单元概览

本单元建立在你第一单元学到的极限知识之上，将瞬时变化率的概念形式化，这是微分的核心。我们从导数的正式定义开始，然后逐步推导基本法则，让你无需对大多数常见函数进行繁琐的极限计算，使导数计算成为一项简单的代数技能。

本单元从概念理解逐步推进到法则应用，因此你会先掌握导数是什么，再学习后续课程中会用到的计算捷径。AP 微积分 AB 所有后续单元都依赖你在本单元打下的技能基础。

本单元包含以下核心子主题：

AP 微积分 AB 可微性与连续性的联系

探究可微性与连续性的关系，识别导数不存在的情况。

★★⏱ 8 min

AP 微积分 AB 常数法则、和法则、差法则与常数倍法则

介绍常数、和、差与常数倍的导数基本法则。

★⏱ 6 min

AP 微积分 AB 某点平均变化率与瞬时变化率的定义

介绍平均变化率与瞬时变化率，作为导数概念的基础。

★★⏱ 7 min

AP 微积分 AB 导数的定义与导数符号的使用

形式化定义导数，讲解标准导数符号约定。

★★⏱ 8 min

AP 微积分 AB cos、sin、e^x、ln(x) 的导数

讲解正弦、余弦、 $e^{x}$ , 和自然对数 $ (x)$ 的导数公式。

★★⏱ 7 min

AP 微积分 AB tan、cot、sec、csc 的导数

介绍其余四个三角函数的导数公式。

★★★⏱ 6 min

AP 微积分 AB 估算函数在某点的导数

讲解如何从图像、表格和近似数据中估算某点的导数。

★★★⏱ 7 min

AP 微积分 AB 幂法则

讲解幂法则，这是多项式和幂函数最常用的基本导数法则。

★⏱ 6 min

AP 微积分 AB 乘积法则

介绍计算两个可微函数乘积导数的乘积法则。

★★⏱ 7 min

AP 微积分 AB 商法则

讲解计算两个可微函数比值导数的商法则。

★★★⏱ 7 min

2. 常见陷阱

错误做法:

假设所有连续函数都是可微的，或认为不连续性不影响可微性

原因:

许多学生混淆了可微性和连续性之间的逻辑推导方向

正确做法:

记住：可微一定连续，但连续不一定可微

错误做法:

颠倒商法则分子中各项的顺序

原因:

商法则中各项的顺序很容易记错，从而导致符号错误

正确做法:

记住口诀『下导上减上导下』，或将商改写为乘积后使用乘积法则

错误做法:

忘记 $cos x$ 导数中的负号

原因:

余弦的导数是核心三角函数导数中唯一带负号的，因此经常被遗忘

正确做法:

对余弦、余切和余割求导时，务必再次检查符号

3. 速查表

概念/公式	核心总结
在 $a$ 点的导数： $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	$x = a$ 处瞬时变化率的正式极限定义
可微性 $⟹$ 连续性	可微要求连续，但连续不能保证可微
幂法则： $\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$	适用于所有实数 $n$ ，包括负指数和分数指数
乘积法则： $\frac{d}{d x} [f g] = f^{'} g + f g^{'}$	乘积的导数等于每个导数乘另一函数后相加
商法则： $\frac{d}{d x} [\frac{f}{g}] = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$	始终保持分子中各项的顺序，避免符号错误
$\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$ , $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$	两个基本三角函数的核心导数法则
$\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ , $\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{x}$	自然指数函数和自然对数函数的导数
$\frac{d}{d x} [tan x] = sec^{2} x$	正切函数的常用考点导数法则

下一步

开始学习本单元时，请先掌握导数作为变化率的概念基础。本单元从定义到法则应用是循序渐进的，因此按顺序学习子主题能帮助你将概念与AP考试所需的计算技能联系起来。完成本单元所有子主题后，你就可以进入下一单元学习更高级的微分主题了。