# 微分：定义与基本性质

> AP 微积分 AB · 介绍导数定义、核心微分法则，以及可微性与连续性的关系
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-overview/
> 占比: 占 AP 微积分 AB 考试的 10-12%

本单元介绍导数的定义和计算导数的核心法则，这些是你学习所有 AP 微积分 AB 主题的基础技能。你将把导数与瞬时变化率联系起来，并学习导数存在的条件。

**先修:** [第一单元：极限与连续性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-overview/)

## 学习目标

- 将导数定义为平均变化率的极限，并正确使用标准导数符号
- 解释可微性与连续性的关系，并识别导数不存在的点
- 应用核心微分法则计算常见代数函数和三角函数的导数
- 从图像、表格和数值数据中估算函数在某点的导数

## 单元概览

本单元建立在你第一单元学到的极限知识之上，将瞬时变化率的概念形式化，这是微分的核心。我们从导数的正式定义开始，然后逐步推导基本法则，让你无需对大多数常见函数进行繁琐的极限计算，使导数计算成为一项简单的代数技能。

本单元从概念理解逐步推进到法则应用，因此你会先掌握导数是什么，再学习后续课程中会用到的计算捷径。AP 微积分 AB 所有后续单元都依赖你在本单元打下的技能基础。

本单元包含以下核心子主题：
- [AP 微积分 AB 可微性与连续性的联系](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-connecting-differentiability-and-continuity/) — 探究可微性与连续性的关系，识别导数不存在的情况。
- [AP 微积分 AB 常数法则、和法则、差法则与常数倍法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-constant-sum-difference-and-constant/) — 介绍常数、和、差与常数倍的导数基本法则。
- [AP 微积分 AB 某点平均变化率与瞬时变化率的定义](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-defining-average-and-instantaneous-rates/) — 介绍平均变化率与瞬时变化率，作为导数概念的基础。
- [AP 微积分 AB 导数的定义与导数符号的使用](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-defining-the-derivative-and-using/) — 形式化定义导数，讲解标准导数符号约定。
- [AP 微积分 AB cos、sin、e^x、ln(x) 的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-cos-sin-e/) — 讲解正弦、余弦、$e^x$, 和自然对数 $
(x)$ 的导数公式。
- [AP 微积分 AB tan、cot、sec、csc 的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/) — 介绍其余四个三角函数的导数公式。
- [AP 微积分 AB 估算函数在某点的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-estimating-derivatives-of-a-function/) — 讲解如何从图像、表格和近似数据中估算某点的导数。
- [AP 微积分 AB 幂法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-power-rule/) — 讲解幂法则，这是多项式和幂函数最常用的基本导数法则。
- [AP 微积分 AB 乘积法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-product-rule/) — 介绍计算两个可微函数乘积导数的乘积法则。
- [AP 微积分 AB 商法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-ab-u2-quotient-rule/) — 讲解计算两个可微函数比值导数的商法则。

## 常见错误

- **错误做法:** 假设所有连续函数都是可微的，或认为不连续性不影响可微性
  - 原因: 许多学生混淆了可微性和连续性之间的逻辑推导方向
  - 正确做法: 记住：可微一定连续，但连续不一定可微
- **错误做法:** 颠倒商法则分子中各项的顺序
  - 原因: 商法则中各项的顺序很容易记错，从而导致符号错误
  - 正确做法: 记住口诀『下导上减上导下』，或将商改写为乘积后使用乘积法则
- **错误做法:** 忘记$\cos x$导数中的负号
  - 原因: 余弦的导数是核心三角函数导数中唯一带负号的，因此经常被遗忘
  - 正确做法: 对余弦、余切和余割求导时，务必再次检查符号

## 速查表

| 概念/公式 | 核心总结 |
| --- | --- |
| 在$a$点的导数：$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ | $x=a$处瞬时变化率的正式极限定义 |
| 可微性 $\implies$ 连续性 | 可微要求连续，但连续不能保证可微 |
| 幂法则：$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ | 适用于所有实数$n$，包括负指数和分数指数 |
| 乘积法则：$\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'$ | 乘积的导数等于每个导数乘另一函数后相加 |
| 商法则：$\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ | 始终保持分子中各项的顺序，避免符号错误 |
| $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$ | 两个基本三角函数的核心导数法则 |
| $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$ | 自然指数函数和自然对数函数的导数 |
| $\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$ | 正切函数的常用考点导数法则 |

## 下一步

开始学习本单元时，请先掌握导数作为变化率的概念基础。本单元从定义到法则应用是循序渐进的，因此按顺序学习子主题能帮助你将概念与AP考试所需的计算技能联系起来。完成本单元所有子主题后，你就可以进入下一单元学习更高级的微分主题了。

- [AP 微积分 AB 某点平均变化率与瞬时变化率的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-defining-average-and-instantaneous-rates/)
- [第三单元：微分：复合函数、隐函数与反函数 概览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-overview/)
- [导数的定义与导数记号的使用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-defining-the-derivative-and-using/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-overview/