正切、余切、正割、余割的导数

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 求导：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 使用商法则推导公式★★☆☆☆⏱ 4 min

本文讨论的四个三角函数都可以定义为正弦和余弦的比值，因此它们的导数可以用商法则结合正弦余弦的已知导数推导得到。回顾对于 $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ 的商法则：

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

推导 $tan x$ 的导数时，我们从恒等式 $tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ 出发，代入商法则可得：

f'(x) = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}

利用勾股恒等式 $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ ，可化简得到 $\frac{1}{c o s ^{2} x} = sec^{2} x$ ，所以 $\frac{d}{d x} [tan x] = sec^{2} x$ 。对另外三个函数重复该过程，我们得到完整的标准公式组：

$\frac{d}{d x} [cot x] = - csc^{2} x$ （余函数带负号）
$\frac{d}{d x} [sec x] = sec x tan x$
$\frac{d}{d x} [csc x] = - csc x cot x$ （余函数带负号）

📐 例题

使用商法则和三角恒等式推导 $f (x) = cot x$ 的导数，写出所有步骤。

1
将 $cot x$ 改写为正弦余弦形式：根据定义， $cot x = \frac{c o s x}{s i n x}$ ，因此 $g (x) = cos x$ （分子）， $h (x) = sin x$ （分母）。
2
计算分子和分母的导数：
3
$g'(x) = \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x, \quad h'(x) = \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
4
应用商法则：
5
$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x}$
6
利用勾股恒等式化简，提取分子的负号：
7
$\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$
8
最终结果： $\frac{d}{d x} [cot x] = - csc^{2} x$ 。

Exam tip:

如果你考试时忘记了公式，可以在一分钟内用商法则重新推导任意一个导数，这种方法始终可以获得满分。

2. 计算某点处的导数值★★☆☆☆⏱ 3 min

AP考试中最常见的常规题型是让你对这些三角函数的线性组合求导，然后计算特定输入点的导数，得到切线斜率或瞬时变化率。这需要正确应用常数倍法则和和差法则，还要利用常见角度的已知三角函数值化简。

📐 例题

求 $f (x) = 3 sec x - 4 tan x$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线斜率。

1
使用导数公式逐项求导：
2
$f'(x) = 3(\sec x \tan x) - 4(\sec^2 x)$
3
回忆 $x = \frac{π}{4}$ 处的三角函数值： $sec (\frac{π}{4}) = 2$ ， $tan (\frac{π}{4}) = 1$ ，因此 $sec^{2} (\frac{π}{4}) = 2$ 。
4
将 $x = \frac{π}{4}$ 代入导数：
5
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3(\sqrt{2} \cdot 1) - 4(2) = 3\sqrt{2} - 8 \approx -3.76$
6
切线斜率等于 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数值，因此最终斜率为 $32 - 8$ （或约-3.76）。

Exam tip:

代入前请明确写出每个函数的三角函数值，避免混淆倒数三角函数的值。

3. 对复合函数求导（链式法则）★★★☆☆⏱ 4 min

AP考试中大多数非常规题型都涉及复合函数，即本文讨论的四个三角函数之一是更复杂表达式的外层函数。回顾链式法则：对于 $f (x) = u (v (x))$ ，有 $f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ 。当外层是三角函数时，你需要先计算三角函数的导数，代入内层函数的结果，再乘以内层函数的导数。

📐 例题

求 $f (x) = csc (5 x^{2} + π x)$ 的导数。

1
为链式法则识别外层和内层函数：设 $u (v) = csc v$ （外层）， $v (x) = 5 x^{2} + π x$ （内层）。
2
使用余割导数公式对外层函数求导： $u^{'} (v) = - csc v cot v$ 。
3
使用幂法则对内层函数求导： $v^{'} (x) = 10 x + π$ 。
4
应用链式法则，将 $v (x)$ 代回替换 $v$ ：
5
$f'(x) = -\csc(5x^2 + \pi x) \cot(5x^2 + \pi x) \cdot (10x + \pi)$

Exam tip:

即使FRQ不要求你化简最终答案，也要明确写出链式法则因子以获得满分；即使导数其余部分正确，省略它也会扣分。

4. AP风格练习题★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道多选题测试你的理解：

若 $y = tan (2 x) - csc (\frac{x}{2})$ ，则 $x = π$ 处 $\frac{d y}{d x}$ 的值是多少？
- $- 2$
- $0$
- $2$
- $4$
显示答案
2 —
回答正确。使用链式法则逐项求导得到 $\frac{d y}{d x} = 2 sec^{2} (2 x) + \frac{1}{2} csc (\frac{x}{2}) cot (\frac{x}{2})$ ，代入 $x = π$ 得到结果为2。

📐 例题

已知 $f (x) = x sec x$ ，定义域 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ 。(a) 求 $f^{'} (x)$ 。(b) 求 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线方程。(c) 使用切线近似计算 $f (\frac{π}{4} + 0.02)$ 。

1
(a)问：对 $f (x) = x \cdot sec x$ 使用乘积法则：
2
$f'(x) = 1 \cdot \sec x + x \cdot \sec x \tan x = \sec x (1 + x \tan x)$
3
(b)问：计算 $f (\frac{π}{4})$ 和 $f^{'} (\frac{π}{4})$ ：
4
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi \sqrt{2}}{4}, \quad f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}$
5
将切线写成点斜式，再化简：
6
$y - \frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \left(\sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\right)\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
7
$y = \sqrt{2}\left(1 + \frac{\pi}{4}\right)x - \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$
8
(c)问：代入 $x = \frac{π}{4} + 0.02$ 得到近似值：
9
$y \approx 1.16$

📐 例题

一个振动木块的位置为 $s (t) = 10 tan (0.1 t)$ ，其中 $s$ 单位为厘米， $t$ 单位为秒。求 $t = π$ 处的瞬时速度并解释结果。

1
瞬时速度是位置的导数，应用链式法则：
2
$v(t) = \frac{d}{dt}[10 \tan(0.1t)] = 10 \cdot \sec^2(0.1t) \cdot 0.1 = \sec^2(0.1t)$
3
在 $t = π$ 处求值，此时 $0.1 t = \frac{π}{10}$ ：
4
$v(\pi) = \sec^2\left(\frac{\pi}{10}\right) = \left(\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)}\right)^2 \approx 1.11$
5
解释：在 $t = π$ 秒时，木块沿轨道向上运动，速度约为1.11厘米每秒。

5. 常见陷阱

错误做法:

写出 $\frac{d}{d x} [cot x] = csc^{2} x$ 或 $\frac{d}{d x} [csc x] = csc x cot x$ ，遗漏了余函数导数的负号。

原因:

学生忘记了所有余三角函数的导数在商法则推导后都带有负号，混淆了符号规律。

正确做法:

记住规律：所有带"余"的函数导数都为负；如果你不确定，可以快速重新推导公式确认符号。

错误做法:

对 $tan (4 x)$ 求导时，写出 $\frac{d y}{d x} = sec^{2} (4 x)$ ，遗漏了链式法则因子4。

原因:

学生记住了 $tan x$ 的导数，却忘记乘以内层线性项的导数。

正确做法:

对于任意复合函数 $tan (u (x))$ ，始终将导数写为 $sec^{2} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ，在继续下一步之前明确写出 $u^{'} (x)$ 项。

错误做法:

混淆导数公式，写出 $\frac{d}{d x} [sec x] = sec^{2} x$ ， $\frac{d}{d x} [tan x] = sec x tan x$ 。

原因:

相似的记号导致混淆哪个公式对应哪个函数。

正确做法:

如果你混淆了公式，花30秒用商法则重新推导，不要猜测。

错误做法:

对 $f (x) = x^{2} sec x$ 求导时，写出 $f^{'} (x) = 2 x \cdot sec x tan x$ ，忘记应用乘积法则。

原因:

学生专注于三角函数求导，忽略了它和另一个函数相乘。

正确做法:

求导前始终检查是否存在乘积、商或复合结构；任意两个函数的乘积都要使用乘积法则，无论函数类型是什么。

错误做法:

化简 $tan x$ 的导数时，写出 $\frac{1}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{s e c ^{2} x}$ ，而非 $sec^{2} x$ 。

原因:

学生混淆了余弦和正割的倒数关系，错误地翻转了分数。

正确做法:

记住 $\frac{1}{c o s ^{2} x} = (\frac{1}{c o s x})^{2} = sec^{2} x$ ，因此 $cos^{2} x$ 的倒数是 $sec^{2} x$ 。

6. 速查表

类别	公式	备注
正切的导数	$\frac{d}{d x} [tan x] = sec^{2} x$	对所有 $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ 成立（ $k$ 为整数）
余切的导数	$\frac{d}{d x} [cot x] = - csc^{2} x$	对所有 $x \neq = k π$ 成立（ $k$ 为整数）；余函数带负号
正割的导数	$\frac{d}{d x} [sec x] = sec x tan x$	对所有 $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ 成立（ $k$ 为整数）
余割的导数	$\frac{d}{d x} [csc x] = - csc x cot x$	对所有 $x \neq = k π$ 成立（ $k$ 为整数）；余函数带负号
复合正切	$\frac{d}{d x} [tan (u (x))] = sec^{2} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	始终乘以链式法则因子 $u^{'} (x)$
复合余切	$\frac{d}{d x} [cot (u (x))] = - csc^{2} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	不要忘记负号和链式法则
复合正割	$\frac{d}{d x} [sec (u (x))] = sec (u (x)) tan (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	避免和余割公式混淆
复合余割	$\frac{d}{d x} [csc (u (x))] = - csc (u (x)) cot (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	所有余函数导数都带负号

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
计算某点处的导数值
2022 · FRQ
切线问题

下一步

本主题是AP微积分AB中所有后续三角函数相关内容的关键基础。后续单元几乎所有涉及三角函数的问题都需要掌握这四个导数公式，包括隐函数求导、相关变化率、优化、积分和微分方程。接下来你会在所有复合函数的完整链式法则学习中应用这些公式，经常对三角代数混合的复杂函数求导。本主题也为本课程后续三角函数积分打下基础，因为积分公式就是你在此学到的导数公式的逆运算。AP考试中大量考察的切线和瞬时变化率问题完全依赖这项技能。