# 正切、余切、正割、余割的导数

> AP 微积分 AB · 求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/

本指南讲解正切、余切、正割、余割导数公式的推导与应用。你将学习如何计算某点处的导数值、解决切线问题，并在AP微积分AB中对复合三角函数应用链式法则。

**先修:** [求导的商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-product-and-quotient-rule/); 正弦和余弦的导数公式; 勾股三角恒等式

## 学习目标

- 使用商法则推导正切、余切、正割和余割的导数公式
- 将导数公式应用于三角函数的组合求导
- 计算某点处的导数值，求解切线斜率和瞬时变化率
- 使用链式法则对复合三角函数求导

## 使用商法则推导公式

本文讨论的四个三角函数都可以定义为正弦和余弦的比值，因此它们的导数可以用商法则结合正弦余弦的已知导数推导得到。回顾对于 $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ 的商法则：

$$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$$

推导$\tan x$的导数时，我们从恒等式$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$出发，代入商法则可得：

$$f'(x) = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

利用勾股恒等式$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，可化简得到$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$，所以$\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$。对另外三个函数重复该过程，我们得到完整的标准公式组：

- $\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x$（余函数带负号）
- $\frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x$
- $\frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x$（余函数带负号）

**例题:** 使用商法则和三角恒等式推导$f(x) = \cot x$的导数，写出所有步骤。

1. 将$\cot x$改写为正弦余弦形式：根据定义，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，因此$g(x) = \cos x$（分子），$h(x) = \sin x$（分母）。
2. 计算分子和分母的导数：
3. $$g'(x) = \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x, \quad h'(x) = \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$$
4. 应用商法则：
5. $$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x}$$
6. 利用勾股恒等式化简，提取分子的负号：
7. $$\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$
8. 最终结果：$\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x$。

> **考试提示:** 如果你考试时忘记了公式，可以在一分钟内用商法则重新推导任意一个导数，这种方法始终可以获得满分。

## 计算某点处的导数值

AP考试中最常见的常规题型是让你对这些三角函数的线性组合求导，然后计算特定输入点的导数，得到切线斜率或瞬时变化率。这需要正确应用常数倍法则和和差法则，还要利用常见角度的已知三角函数值化简。

**例题:** 求$f(x) = 3\sec x - 4\tan x$在$x = \frac{\pi}{4}$处的切线斜率。

1. 使用导数公式逐项求导：
2. $$f'(x) = 3(\sec x \tan x) - 4(\sec^2 x)$$
3. 回忆$x = \frac{\pi}{4}$处的三角函数值：$\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$，$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$，因此$\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$。
4. 将$x = \frac{\pi}{4}$代入导数：
5. $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3(\sqrt{2} \cdot 1) - 4(2) = 3\sqrt{2} - 8 \approx -3.76$$
6. 切线斜率等于$x = \frac{\pi}{4}$处的导数值，因此最终斜率为$3\sqrt{2} - 8$（或约-3.76）。

> **考试提示:** 代入前请明确写出每个函数的三角函数值，避免混淆倒数三角函数的值。

## 对复合函数求导（链式法则）

AP考试中大多数非常规题型都涉及复合函数，即本文讨论的四个三角函数之一是更复杂表达式的外层函数。回顾链式法则：对于$f(x) = u(v(x))$，有$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$。当外层是三角函数时，你需要先计算三角函数的导数，代入内层函数的结果，再乘以内层函数的导数。

**例题:** 求$f(x) = \csc(5x^2 + \pi x)$的导数。

1. 为链式法则识别外层和内层函数：设$u(v) = \csc v$（外层），$v(x) = 5x^2 + \pi x$（内层）。
2. 使用余割导数公式对外层函数求导：$u'(v) = -\csc v \cot v$。
3. 使用幂法则对内层函数求导：$v'(x) = 10x + \pi$。
4. 应用链式法则，将$v(x)$代回替换$v$：
5. $$f'(x) = -\csc(5x^2 + \pi x) \cot(5x^2 + \pi x) \cdot (10x + \pi)$$

> **考试提示:** 即使FRQ不要求你化简最终答案，也要明确写出链式法则因子以获得满分；即使导数其余部分正确，省略它也会扣分。

## AP风格练习题

**概念自测**

用这道多选题测试你的理解：

1. 若$y = \tan(2x) - \csc\left(\frac{x}{2}\right)$，则$x = \pi$处$\frac{dy}{dx}$的值是多少？

   - $-2$
   - $0$
   - $2$
   - $4$

   *答案:* $2$

   *解析:* 回答正确。使用链式法则逐项求导得到$\frac{dy}{dx} = 2\sec^2(2x) + \frac{1}{2}\csc\left(\frac{x}{2}\right)\cot\left(\frac{x}{2}\right)$，代入$x = \pi$得到结果为2。

**例题:** 已知$f(x) = x \sec x$，定义域$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$。(a) 求$f'(x)$。(b) 求$x = \frac{\pi}{4}$处的切线方程。(c) 使用切线近似计算$f\left(\frac{\pi}{4} + 0.02\right)$。

1. (a)问：对$f(x) = x \cdot \sec x$使用乘积法则：
2. $$f'(x) = 1 \cdot \sec x + x \cdot \sec x \tan x = \sec x (1 + x \tan x)$$
3. (b)问：计算$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$和$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$：
4. $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi \sqrt{2}}{4}, \quad f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}$$
5. 将切线写成点斜式，再化简：
6. $$y - \frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \left(\sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\right)\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$
7. $$y = \sqrt{2}\left(1 + \frac{\pi}{4}\right)x - \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$$
8. (c)问：代入$x = \frac{\pi}{4} + 0.02$得到近似值：
9. $$y \approx 1.16$$

**例题:** 一个振动木块的位置为$s(t) = 10 \tan(0.1t)$，其中$s$单位为厘米，$t$单位为秒。求$t = \pi$处的瞬时速度并解释结果。

1. 瞬时速度是位置的导数，应用链式法则：
2. $$v(t) = \frac{d}{dt}[10 \tan(0.1t)] = 10 \cdot \sec^2(0.1t) \cdot 0.1 = \sec^2(0.1t)$$
3. 在$t = \pi$处求值，此时$0.1t = \frac{\pi}{10}$：
4. $$v(\pi) = \sec^2\left(\frac{\pi}{10}\right) = \left(\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{10}\right)}\right)^2 \approx 1.11$$
5. 解释：在$t = \pi$秒时，木块沿轨道向上运动，速度约为1.11厘米每秒。

## 常见错误

- **错误做法:** 写出$\frac{d}{dx}[\cot x] = \csc^2 x$或$\frac{d}{dx}[\csc x] = \csc x \cot x$，遗漏了余函数导数的负号。
  - 原因: 学生忘记了所有余三角函数的导数在商法则推导后都带有负号，混淆了符号规律。
  - 正确做法: 记住规律：所有带"余"的函数导数都为负；如果你不确定，可以快速重新推导公式确认符号。
- **错误做法:** 对$\tan(4x)$求导时，写出$\frac{dy}{dx} = \sec^2(4x)$，遗漏了链式法则因子4。
  - 原因: 学生记住了$\tan x$的导数，却忘记乘以内层线性项的导数。
  - 正确做法: 对于任意复合函数$\tan(u(x))$，始终将导数写为$\sec^2(u(x)) \cdot u'(x)$，在继续下一步之前明确写出$u'(x)$项。
- **错误做法:** 混淆导数公式，写出$\frac{d}{dx}[\sec x] = \sec^2 x$，$\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec x \tan x$。
  - 原因: 相似的记号导致混淆哪个公式对应哪个函数。
  - 正确做法: 如果你混淆了公式，花30秒用商法则重新推导，不要猜测。
- **错误做法:** 对$f(x) = x^2 \sec x$求导时，写出$f'(x) = 2x \cdot \sec x \tan x$，忘记应用乘积法则。
  - 原因: 学生专注于三角函数求导，忽略了它和另一个函数相乘。
  - 正确做法: 求导前始终检查是否存在乘积、商或复合结构；任意两个函数的乘积都要使用乘积法则，无论函数类型是什么。
- **错误做法:** 化简$\tan x$的导数时，写出$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sec^2 x}$，而非$\sec^2 x$。
  - 原因: 学生混淆了余弦和正割的倒数关系，错误地翻转了分数。
  - 正确做法: 记住$\frac{1}{\cos^2 x} = \left(\frac{1}{\cos x}\right)^2 = \sec^2 x$，因此$\cos^2 x$的倒数是$\sec^2 x$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 正切的导数 | $\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$ | 对所有$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$成立（$k$为整数） |
| 余切的导数 | $\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x$ | 对所有$x \neq k\pi$成立（$k$为整数）；余函数带负号 |
| 正割的导数 | $\frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x$ | 对所有$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$成立（$k$为整数） |
| 余割的导数 | $\frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x$ | 对所有$x \neq k\pi$成立（$k$为整数）；余函数带负号 |
| 复合正切 | $\frac{d}{dx}[\tan(u(x))] = \sec^2(u(x)) \cdot u'(x)$ | 始终乘以链式法则因子$u'(x)$ |
| 复合余切 | $\frac{d}{dx}[\cot(u(x))] = -\csc^2(u(x)) \cdot u'(x)$ | 不要忘记负号和链式法则 |
| 复合正割 | $\frac{d}{dx}[\sec(u(x))] = \sec(u(x)) \tan(u(x)) \cdot u'(x)$ | 避免和余割公式混淆 |
| 复合余割 | $\frac{d}{dx}[\csc(u(x))] = -\csc(u(x)) \cot(u(x)) \cdot u'(x)$ | 所有余函数导数都带负号 |

## 下一步

本主题是AP微积分AB中所有后续三角函数相关内容的关键基础。后续单元几乎所有涉及三角函数的问题都需要掌握这四个导数公式，包括隐函数求导、相关变化率、优化、积分和微分方程。接下来你会在所有复合函数的完整链式法则学习中应用这些公式，经常对三角代数混合的复杂函数求导。本主题也为本课程后续三角函数积分打下基础，因为积分公式就是你在此学到的导数公式的逆运算。AP考试中大量考察的切线和瞬时变化率问题完全依赖这项技能。

- [微分：复合函数、隐函数与反函数 概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-overview/)
- [AP微积分AB 链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/