cos x、sin x、e^x、ln(x) 的导数

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Differentiation: Definition and Fundamental Properties· 14 分钟阅读

1. 核心概述★★☆☆☆⏱ 3 min

本主题讲解AP微积分AB考试中最常考的四个非代数（超越）函数的核心求导法则，占第二单元总分占比（10–12%）的一部分，几乎每场考试都会考到，既会出独立选择题，也会作为长自由回答题中必要的中间步骤。

你会运用这些法则求解函数组合的导数、切线斜率和瞬时变化率问题。和代数函数的幂法则不同，这些法则对每个函数是特定的，需要（基于定义）记忆才能正确运用。掌握这些法则对所有后续求导主题来说是必须的。

2. 正弦与余弦函数的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

🔬 推导

目标:

从第一原理推导 $sin x$ 和 $cos x$ 的求导法则

起点:

导数的极限定义和三角加法恒等式

1
从 $\frac{d}{d x} [sin x]$ 的极限定义出发：
2
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$
3
用正弦加法恒等式拆分极限：
4
$\lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)$
5
代入标准三角极限 $lim_{h \to 0} \frac{c o s h - 1}{h} = 0$ 和 $lim_{h \to 0} \frac{s i n h}{h} = 1$ ，然后化简。对 $cos x$ 重复该过程得到第二条法则。

结果:

最终求导法则为：对所有实数 $x$ ，有 $\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$ 和 $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$ 。

📘 定义

正弦与余弦函数的求导法则

$sin x$ 的导数是 $cos x$ ， $cos x$ 的导数是 $- sin x$ 。余弦导数的负号可以通过余弦函数图像在任意测试点的斜率验证。

例:

在 $x = \frac{π}{2}$ 处， $cos x$ 的斜率为 $- 1$ ，和 $- sin (\frac{π}{2}) = - 1$ 一致。

📐 例题

求 $f (x) = 3 sin x - 2 cos x$ 在 $x = π$ 处切线的斜率。

1
运用和法则与常数倍法则将求导拆分到每个项。
2
运用正弦和余弦的求导法则：
$\frac{d}{dx}[3\sin x] = 3\cos x \quad \frac{d}{dx}[-2\cos x] = -2(-\sin x) = 2\sin x$
3
合并项得到导函数：
$f'(x) = 3\cos x + 2\sin x$
4
在 $x = π$ 处计算导数值：
$f'(\pi) = 3\cos(\pi) + 2\sin(\pi) = 3(-1) + 2(0) = -3$
5
$x = π$ 处切线的斜率是 $- 3$ 。

Exam tip:

务必反复检查余弦导数的符号：负号是三角函数导数选择题中最常被遗漏的细节。如果你的答案只差一个负号，几乎肯定是这里错了。

3. 自然指数函数$e^x$的导数★★☆☆☆⏱ 3 min

🔬 推导

目标:

从极限定义推导 $e^{x}$ 的导数

起点:

导数的极限定义和欧拉常数 $e$ 的定义

1
从极限定义出发：
$\frac{d}{dx}[e^x] = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$
2
提出对极限来说是常数的 $e^{x}$ ：
$e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$
3
根据 $e$ 的定义，极限 $lim_{h \to 0} \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1$ 。

结果:

$\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ ：自然指数函数的导数就是它本身。

📐 例题

已知 $f (x) = 5 e^{x} + sin x - 4$ ，求 $f^{'} (0)$ 。

1
运用和差法则逐项求导。
2
用核心法则对每一项求导：
$\frac{d}{dx}[5e^x] = 5e^x, \quad \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x, \quad \frac{d}{dx}[-4] = 0$
3
合并项得到导函数：
$f'(x) = 5e^x + \cos x$
4
在 $x = 0$ 处计算：
$f'(0) = 5e^0 + \cos 0 = 5(1) + 1 = 6$
5
最终结果： $f^{'} (0) = 6$ 。

Exam tip:

不要把 $e^{x}$ 的导数和幂法则弄混：如果你错误对 $e^{x}$ 用幂法则，会得到 $x e^{x - 1}$ ，这是错的。

4. 自然对数函数$\ln x$的导数★★★☆☆⏱ 4 min

🔬 推导

目标:

用隐函数求导推导 $ln x$ 的导数

起点:

自然对数作为 $e^{x}$ 反函数的定义， $e^{x}$ 的导数

1
令 $y = ln x$ ，根据定义，对 $x > 0$ 有 $e^{y} = x$ 。
2
对 $x$ 两边求导：
$e^y \frac{dy}{dx} = 1$
3
解出 $\frac{d y}{d x}$ 并代入 $e^{y} = x$ ：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$

结果:

$ln x$ 的导数是 $\frac{1}{x}$ ，仅在 $x > 0$ 时有定义，和原函数的定义域一致。

📘 定义

自然对数的导数

对所有 $x > 0$ ， $\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{x}$ 。导数始终为正，符合 $ln x$ 在定义域内单调递增的性质。

📐 例题

求 $y = ln x + 2 e^{x}$ 在点 $(1, 2 e)$ 处的切线方程。

1
用 $ln x$ 和 $e^{x}$ 的求导法则逐项求导：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + 2e^x$
2
代入 $x = 1$ 计算导数得到斜率：
$m = \frac{1}{1} + 2e^1 = 1 + 2e$
3
使用直线的点斜式： $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ，其中 $(x_{1}, y_{1}) = (1, 2 e)$ 。
4
代入数值并化简为斜截式：
$y - 2e = (1 + 2e)(x - 1) \implies y = (1 + 2e)x - 1$
5
切线方程为 $y = (1 + 2 e) x - 1$ 。

Exam tip:

永远记住 $ln x$ 的定义域限制：如果题目要求在非正 $x$ 处求 $ln x$ 的导数，那么导数不存在，因为 $ln x$ 本身在那里没有定义。这是选择题中常见的陷阱题。

5. 概念检查★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对核心法则的理解。

如果 $f (x) = 2 e^{x} - ln x + 5 cos x$ ，下列哪项等于 $f^{'} (x)$ ？
- A) $2 e^{x} - \frac{1}{x} - 5 sin x$
- B) $2 e^{x} - \frac{1}{x} + 5 sin x$
- C) $2 e^{x} + \frac{1}{x} - 5 sin x$
- D) $2 x e^{x - 1} - \frac{1}{x} - 5 sin x$

6. 常见陷阱

错误做法:

对 $cos x$ 求导得到 $\frac{d}{d x} [cos x] = sin x$ （遗漏负号）

原因:

学生混淆正弦和余弦导数的规律，把两者都记成正的。

正确做法:

开始解题时，立刻把余弦导数的负号写上，并且可以在 $x = \frac{π}{2}$ 这样的测试点检查符号是否符合余弦图像的斜率。

错误做法:

对 $e^{x}$ 用幂法则得到 $\frac{d}{d x} [e^{x}] = x e^{x - 1}$

原因:

学生把常数底数 $e$ 和幂函数中的变量底数 $x$ 弄混。

正确做法:

当你看到底数是 $e$ 时，立刻想起这是指数函数，所以用法则 $\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ ，不要用幂法则。

错误做法:

把 $ln x$ 的导数写成 $\frac{d}{d x} [ln x] = x$ 或 $\frac{d}{d x} [ln x] = ln (1/ x)$

原因:

学生把 $ln x$ 的导数和 $e^{x}$ 的导数（本身是自身导数）弄混，所以错误认为 $ln x$ 也是自身的导数。

正确做法:

永远把自然对数导数和倒数联系起来： $ln x \to \frac{1}{x}$ ，没有其他结果。

错误做法:

尝试在 $x = 0$ 或 $x = - 2$ 处计算 $ln x$ 的导数，得到斜率为 $\frac{1}{x} = - \frac{1}{2}$

原因:

学生忘记 $ln x$ 的定义域只有正 $x$ ，所以函数在非正输入处不存在，因此导数也不存在。

正确做法:

在某点计算 $ln x$ 的导数前，先检查该点是否在 $ln x$ 的定义域内（即 $x > 0$ ）。

错误做法:

对 $ln 5$ （常数）求导得到 $\frac{1}{5}$

原因:

学生看到 $ln$ 就自动套用 $ln x$ 的求导法则，忘记 $ln 5$ 是常数，不是 $x$ 的函数。

正确做法:

运用任何求导法则前，先检查该项是不是常数；任何常数的导数都是零。

7. 速查表

类别	公式	注意事项
正弦导数	$\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$	自变量为 $x$ 时适用
余弦导数	$\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$	不要忘记负号
$e^{x}$ 的导数	$\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$	不要使用幂法则； $e$ 是常数
$ln x$ 的导数	$\frac{d}{d x} [ln x] = \frac{1}{x}$	仅在 $x > 0$ 时有定义
常数倍法则	$\frac{d}{d x} [c f (x)] = c f^{'} (x)$	常数可以从导数中提出来
和差法则	$\frac{d}{d x} [f (x) \pm g (x)] = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$	用于函数的线性组合

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求组合函数的导数
2022 · FRQ
$ln x + e^{x}$ 的切线

下一步

本主题给你讲解了四个最常见超越函数的核心求导法则，你会在AP微积分AB后续所有求导主题中用到它们。接下来你马上会学习乘积法则和商法则，对这些基本函数的乘积和商求导，之后会学习链式法则，对 $e^{2 x}$ 或 $sin (x^{2})$ 这样的复合函数求导。如果没有正确记住这四个基本求导法则，你就无法正确运用乘积、商或链式法则，会在后续所有求导问题中犯下不必要的错误。从更大的范围看，这些法则是所有后续主题（包括图像分析、相关变化率、最优化和积分）的基础。